CHƯƠNG 1 MẠNG XÃ HỘI VÀ CÁC ĐỘ ĐO TRÊN ĐỒ THỊ MẠNG XÃ HỘI
1.3.3. Độ đo trung tâm của đỉnh
Chúng ta xét một đồ thị vô hướng G = (V, E) bất kỳ (liên thông hoặc không liên thông). Xét cặp đỉnh (vi, vj) bất kỳ, không phân biệt thứ tự. Giữa chúng có thể có một hoặc nhiều đường đi. Nếu có đường đi giữa chúng thì độ dài đường đi là bằng số cạnh (tổng trọng số trên các cạnh đối với đồ thị có trọng số) trên đường đi đó. Trong số các đường đi đó sẽ có một số đường đi ngắn nhất. Nếu (vi, vj), (vj, vi) E, thì đường đi ngắn nhất sẽ có độ dài là 1. Trường hợp đường đi ngắn nhất lớn hơn 1 thì chắc chắn phải có ít nhất một đỉnh khác nằm trên đường đi ngắn nhất nối giữa vi với vj và những đỉnh này có tiềm năng
để điều khiển sự liên thông hay truyền thông (Control communications) giữa các đỉnh vi, vj.
Ví dụ 1.3.
Xét đồ thị ở Hình 1.4. Giữa v1 và v3 có 2 đường đi ngắn nhất có độ dài là 2, một đi qua v2, còn đường kia đi qua v4 và những đỉnh này có tiềm năng điều khiển sự liên thông giữa các đỉnh v1, v3.
Hình 1.4. Đồ thị có 4 đỉnh và 5 cạnh
Chúng ta nghiên cứu và khái quát hóa khái niệm “khoảng giữa”, hay “độ trung gian” (Betweenness) trong lý thuyết đồ thị [5]. Trước tiên xét một đỉnh vk V và cặp các đỉnh (vi, vj) bất kỳ không phân biệt thứ tự với i j k.
Chúng ta định nghĩa độ trung gian (khoảng giữa) bộ phận của đỉnh vk đối với (vi, vj), ký hiệu là Bij(vk) như sau:
Nếu giữa vi và vj không có đường đi thì Bij(vk) = 0
Ngược lại, nếu giữa chúng có đường đi, nghĩa là chúng liên thông với nhau qua một số đường đi. Khi đó xác suất trao đổi, quan hệ giữa chúng là 1/gij, với gij là số đường đi ngắn nhất giữa vi và vj. Như vậy, tiềm năng mà vk điều khiển (control) thông tin trao đổi (mối quan hệ) giữa vi với vj
được xác định bằng chính bằng xác suất mà vk nằm trên những đường đi ngắn nhất giữa chúng. Ký hiệu gij(vk) là số đường đi ngắn nhất có đi qua vk, ta có
Bij(vk) = gij(vk) / gij (1.5) v1
v3
v2 v4
Ví dụ 1.4.
Trên Hình 1.4., v2, v4 có xác suất nằm trên 2 đường đi ngắn nhất giữa v1
và v2 là ẵ. Như vậy, nếu vk nằm trờn tất cả cỏc đường đi ngắn nhất giữa vi và vj thì Bij(vk) = 1. Trong những trường hợp này, thì vk là cần thiết để điều khiển mối liên kết giữa vi và vj.
Để xác định được độ trung tâm (centrality) tổng thể của đỉnh vk trên đồ thị thì cần phải tính tổng tất cả các độ trung gian bộ phận của vk đối với tất cả các cặp đỉnh trên đồ thị.
Định nghĩa 1.1. Độ trung tâm của đỉnh vk trong đồ thị G = (V, E), ký hiệu là C(vk) được xác định như sau:
C(vk) = n
j i j i
k ij v B
, ,
)
( , với |V| = n (1.6)
Nếu vk xuất hiện trên tất cả các đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh vi, vj
thì C(vk) tăng lên 1. Trường hợp vk chỉ xuất hiện trên một số đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh vi, vj thì C(vk) sẽ tăng lên với một giá trị tương ứng là tỉ số những lần xuất hiện trên những đường đi ngắn nhất giữa vi, vj như công thức (1.5).
Độ trung tâm của đỉnh vk, C(vk) chính là hệ số tiềm năng để điều khiển sự liên kết giữa các đỉnh trên đồ thị.
Việc tính C(vk) phụ thuộc vào hai yếu tố chính:
1. Sắp xếp các cạnh để xác định vị trí của vk và những đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh.
2. Số đỉnh n trên đồ thị.
Chúng ta nhận thấy, độ trung tâm của đỉnh vk đạt được giá trị cực đại khi mọi đỉnh khác trong G đều có cạnh nối với vkvà vk nằm trên tất cả các đường
đi ngắn nhất có độ dài lớn hơn 1. Những đồ thị như thế sẽ có dạng hình sao (Star) hoặc bánh xe (wheel) như Hình 1.5 trong đồ thị, khi mọi đỉnh đều đến được (có đường đi) tới tất cả các đỉnh khác (trực tiếp hoặc gián tiếp đi qua vk) thì số đường đi giữa chúng là n * (n – 1)/2, trong đó có n-1 được nối với vk. Vậy, độ trung tâm của đỉnh vk cực đại sẽ là
max C(vk) = ( 1) 2
) 1 (
*
n n
n =
2 2
2 3n
n (1.7)
Ví dụ 1.5. Những đồ thị hình sao và bánh xe có số đỉnh 3, 4, 5, 6, 7.
Hình 1.5. Những đồ thị hình sao, bánh xe có số đỉnh 3, 4, 5, 6, 7 Một số độ đo “trung tâm” chuẩn:
𝐶𝐶(𝑣) = 1
∑𝑡∈𝑉𝑑𝐺(𝑣, 𝑡) 𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 (𝑆𝑎𝑏𝑖𝑑𝑢𝑠𝑖, 1966) 𝐶𝐺(𝑣) = 1
𝑚𝑎𝑥𝑡∈𝑉𝑑𝐺(𝑣, 𝑡) 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 (𝐻𝑎𝑔𝑒 𝑎𝑛𝑑 𝐻𝑎𝑟𝑎𝑟𝑦, 1995)
𝐶𝑆(𝑣) = ∑ 𝜎𝑠𝑡(𝑣) 𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 (𝑆ℎ𝑖𝑚𝑏𝑒𝑙, 1953)
𝑠≠𝑣≠𝑡∈𝑉
𝐶𝑆(𝑣) = ∑ 𝜎𝑠𝑡(𝑣)
𝜎𝑠𝑡
𝑠≠𝑣≠𝑡∈𝑉 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 (𝐹𝑟𝑒𝑒𝑚𝑎𝑛 1977; 𝐴𝑛𝑡ℎ𝑜𝑛𝑖𝑠𝑠𝑒, 1971)
Những độ đo trung tâm chuẩn chỉ ra rằng cạnh đó có thể đi tới những cạnh khác trên những đường đi ngắn nhất tương ứng.