BÀI 1 GÓC Ở TÂM - SỐ ĐO CUNG
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Góc ở tâm đường tròn
Định nghĩa 1. Góc ở tâm đường tròn là góc mà đỉnh của nó là tâm của đường tròn.
Mỗi góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó xác định hai cung tròn và có thể xảy ra hai trường hợp:
1 Một cung nhỏ và một cung lớn.
2 Hai cung đều bằng nửa đường tròn.
2. Số đo của cung tròn
Định nghĩa 2. số đo của cung AB (kí hiệu là sđ AB) được xác định như sau:˜ 1 Số đo (độ) của cung nhỏ AB bằng số đo (độ) của góc ở tâm chắn cung đó.
2 Số đo (độ) của cung lớn AB bằng 360◦ trừ đi số đo độ cung nhỏ AB.
3 Số đo (độ) của nửa đường tròn bằng180◦.
Định nghĩa 3. Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
1 Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo (độ).
2 Trong hai cung không bằng nhau, cung lớn hơn là cung có số đo (độ) lớn hơn.
3. Điểm nằm trên cung tròn
Định lí 1. Nếu điểm C nằm trên cung AB và chia cung này thành hai cung kí hiệu là ˜AC và CB˜ thì ta có sđ ˜AB=sđ˜AC+sđCB.˜
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VÍ DỤ 1. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào những thời điểm sau:
3 giờ.
a) b) 5giờ. c)6 giờ. d)12 giờ. e) 20giờ.
- LỜI GIẢI.
90◦.
a) 360
12 ã5 = 150◦.
b) c)180◦. d) 0◦. 360
12 ã4 = 120◦. e)
VÍ DỤ 2. Cho đường tròn (O;R), dây AB=R. Tính số đo hai cungAB.˜ - LỜI GIẢI.
Xét4OAB có
OA=OB =AB=R ⇔ 4OABđều⇒AOB’ = 60◦ Từ đó ta được
Số đo (độ) của cung nhỏ AB˜ bằng 60◦.
Số đo (độ) của cung lớn ˜AB bằng 360◦−60◦ = 300◦.
O
A B
VÍ DỤ 3. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O)tại A vàB cắt nhau tạiM. BiếtAM B÷= 35◦.
1 Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA,OB.
2 Tính số đo mỗi cung AB˜ (cung lớn và cung nhỏ).
- LỜI GIẢI.
1 Ta có AOB’ +÷OBM +÷BM A+÷M AO = 360◦. Do đó AOB’ = 360◦−90◦−90◦−35◦ = 145◦.
2 Ta có sđ˜ABnhỏ = 145◦; sđ˜ABlớn = 360◦ −145◦ = 215◦.
O A
B
35◦ M
VÍ DỤ 4. Cho đường tròn (O), góc ở tâmAOB’ = 120◦, góc ở tâm AOC’ = 30◦. Tính số đo cung BC.˜
- LỜI GIẢI.
Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1.Điểm C nằm trên cung lớn AB.
Khi đó sđ˜BC =sđ˜AB+sđ˜AC = 120◦−30◦ = 150◦. Trường hợp 2.Điểm C nằm trên cung nhỏ AB.
Khi đó sđ˜BC =sđ˜AB−sđ˜AC = 120◦−30◦ = 90◦.
Nhận xét: Nhiều em học sinh khi thực hiện ví dụ trên chỉ xét một trong hai trường hợp, để tránh mắc phải những thiếu sót kiểu này cần học thuộc thật kỹ định nghĩa về góc ở tâm.
O
A B
C
C
VÍ DỤ 5. Cho 4ABC có Ab = α, B“ = β. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác với AB, AC, BC theo thứ tự ở D,E, F.
1 Tính số đo cung nhỏ và cung lớn DE.˜ 2 Tính số đo cung nhỏ và cung lớn EF.
- LỜI GIẢI.
1
Xét tứ giác ADOE, ta có
DOE˘ = 360◦−Ab−D“−E“
= 360◦−α−90◦−90◦
= 180◦−α.
A
B C
D O E
F Vậy ta được:
Số đo (độ) của cung nhỏ DE˜ bằng 180◦−α.
Số đo (độ) của cung lớn DE˜ bằng 360◦−(180◦−α) = 180◦+α.
2 Trong 4ABC, ta có Cb = 180◦−Ab−B“= 180◦−α−β.
Xét tứ giác CEOF có
EOF’ = 360◦−Cb−Fb−E“= 360◦−(180◦−α−β)−90◦−90◦ =α+β.
Vậy ta được:
Số đo (độ) của cung nhỏ EF˜ bằng α+β.
Số đo (độ) của cung lớn EF˜ bằng 360◦ −(α+β).
VÍ DỤ 6. Chứng minh rằng nếu một tiếp tuyến song song với một dây thì tiếp điểm chia đôi cung căng dây.
- LỜI GIẢI.
Gọi I là tiếp điểm, nối OI cắt AB tại M, ta có
OI ⊥xy (tính chất của tiếp tuyến) Mặt khác ABkxy⇒OI ⊥AB, suy ra
IA=IB (tính chất đường kính vuông góc với một dây).
O
A B
M
y x
Nhận xét:Ví dụ trên là một trường hợp đặc biệt của định lý hai cung chắn giữa hai dây song song.
VÍ DỤ 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90◦. Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song vớiAB. Chứng minh rằng:
AC˜=BE.˜
a) b) Ba điểm C,O, E thẳng hàng.
- LỜI GIẢI.
1
Ta có AB vuông góc với CD nên
AC =AD ⇒˜AC =AD˜ (1) Ta có AB song song vớiDE nên
AD=BE ⇒AC˜=BE˜ (2) Từ (1) và (2) suy ra AC˜=BE.˜
B O A
C
D E
1 2 3
2 Ta có Oc2+Oc3 = 180◦ (hai góc kề bù); Oc1 =Oc2 (vì AC =BE <180◦).
Suy ra Oc1+Oc3 = 180◦ ⇒C, O,E thẳng hàng.