DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
2.2 Phương pháp điều khiển tuyến tính hóa riêng phần
2.2.5 Phương pháp hồi tiếp tuyến tính hóa riêng phần áp dụng cho hệ Acrobot
*Cho hệ thống điều khiển có dạng :
{ ( ) ̈ ( ) ̈ ( ̇) ( ) ( )
( ) ̈ ( ) ̈ ( ̇) ( ) ( )
Trong đó:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ̇) ̈ ( ̇ ̇ ) ( ) ( )
( ̇) ̇ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Xuất phát từ việc phân tích hai bộ điều khiển phi tuyến khác nhau để thu được hai hệ thống khác nhau ∑1, ∑2, và lần lượt thực hiện tuyến tính hóa của đáp ứng khớp một, khớp hai.
Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng hai hệ thống này để đưa ra hai phương pháp tiếp cận khác nhau cho quá trình Swing-up.
Từ phương trình (1a) ta suy ra ̈ hoặc ̈ và thay vào phương trình (1b). Khi đó phương trình (1b) sẽ trở thành phương trình có thể tuyến tính hóa hồi tiếp gồm hai trường hợp:
Trường hợp ̈ và ̈ . Chọn để tuyến tính hóa phương trình (1b) chúng ta thu được hệ thống ∑ : { ( ) ̈ ( ̇) ( ) ( ) ( )
̈ ( )
Hoặc hệ thống ∑ : { ( ) ̈ ( ̇) ( ) ( ) ( ) ̈ ( )
Với v1, v2 là biến điều khiển được thiết kế thêm vào ngõ vào điều khiển. Chúng ta sử dụng tuyến tính hóa không hồi tiếp biến điều khiển để biểu diễn ∑ từ đáp ứng tuyến tính hóa của khớp nối thiếu cơ cấu truyền động, và sử dụng tuyến tính hóa hồi tiếp biến điều khiển để biểu diễn hệ thống ∑ từ đáp ứng tuyến tính óa của khớp nối có cơ cấu truyền động.
Như vậy với điều kiện đó chúng ta sẽ thấy hệ thống ∑ ∑ là hai hệ thống hồi tiếp tương đương của hệ thống động lực học Acrobot. Những hệ thống này, ∑ ∑ có thể được sử dụng để suy ra giải thuật điều khiển Swing-up.
Đạo hàm của hệ thống ∑ : không hồi tiếp biến điều khiển
{ ( ) ̈ ( ̇) ̈ ( ̇) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Và giả sử rằng (6*) là khác 0 cho tất cả các giá trị q2. Điều kiện này làm giới hạn sự kết hợp của momen quán tính lớn trong (5*) và khái quát hóa tới trường hợp nhiều bậc tự do với m2 là hàm ma trận của q2. Chú ý rằng, tình trạng kết hợp momen quán tính lớn để lợi dụng một số giới hạn trên thông số quán tính của Acrobot, cụ thể là:
( ( ) ). Với giả định này, chúng ta có thể tìm ra lời giải ̈ từ phương trình (5*):
̈ ( )( ( ) ̈ ( ̇ ) ( ) ( )
Thay (7*) vào phương trình (1b) ta được : ̈ ( )
Trong đó : được tính như sau:
(9*) (10*) (11*)
Số hạng dễ dàng thấy được hoàn toàn dương như một hệ quả rõ ràng của ma trận quán tính Acrobot và sự kết hợp momen quán tính lớn. Một bộ điều khiển tuyến tính hóa hồi tiếp có thể được định nghĩa từ phương trình (9*), (10*), (11*) như sau:
̈ (12*)
Trong đó v1 là biến điều khiển thêm vào điều khiển vòng ngoài, được sử dụng để hình thành luật điều khiển Swing-up. Hệ thống hình thành ∑ :
{ ( ) ̈ ( ̇) ( ) ( ) ( ) ̈ ( )
Nếu q1d (t) là một quỹ đạo chuẩn cho q1, chúng ta có thể chọn ngõ vào biến điều khiển v1 là: ̈ ( ̇ ̇ ) ( ) (15*)
Trong đó Kp, kd có độ lợi dương. Với biến trạng thái :
Z1=q1-q1d Z2= ̇ ̇
̇
Hệ thống vòng kín có thể được viết lại như sau:
̇ (16*)
̇ (17*) ̇ (18*)
̇ ( )
(19*)
Chú ý rằng kết quả có thể đạt được bằng cách chọn phương trình ngõ ra y= q1-q1d =z1 cho hệ thống ban đầu. Lấy vi phân ngõ ra y cho đến khi xuất hiện ngõ vào, và sau đó chọn bậc hai đối với ngõ ra y. Theo hướng như vậy, chúng ta thu được ∑ .
*Đạo hàm của hệ thống ∑ : Trường hợp hồi tiếp biến điều khiển;
Xuất phát từ việc lựa chọn giải thuật điều khiển Swing-up, trong trường hợp này chúng ta có thể giới hạn khớp thứ hai của Acrobot không quay hết một vòng xung quanh khớp nối, cụ thể như thí nghiệm Acrobot. Giải thuật được chọn ở đây là tuyến tính hóa hệ thống theo q2 thay vì q1 . Dựa vào phương trình (1b) ta được:
( ) ̈ ( ) ̈ ( ̇) ( ) ( )
Lần này chúng ra rút ̈ từ phương trình (1a) và thay kết quả biểu thức vào phương trình (20*) ta được: : ̈ ( )
Trong đó : được tính như sau:
(22*) (23*) (24*)
Chú ý rằng yêu cầu số hạng m11 khác 0 với mọi cấu hình đa dạng của Acrobot. Tuy nhiên điều này bao hàm không giới hạn thông số của momen quán tính khi m11 luôn luôn bị chặn ngoài điểm 0 là kết quả xác định dương không đồng nhất của ma trận momen quán tính như của Acrobot. Bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa được định nghĩa từ phương trình (21*) như sau: (25*)
Thay vào phương trình (21*) và (25*) ta suy ra hệ thống ∑ { ( ) ̈ ( ̇) ( ) ( ) ( )
̈ ( )
Biến điều khiển ngõ vào v2 có thể được chọn sao cho q2 bám theo một số quỹ đạo chuẩn q2d. Điểm quan trọng của bài toán là chọn tín hiệu chuẩn q2d
để thực hiện chuyển động của năng lượng được sử dụng để giải quyết bài toán điều khiển Swing-up.