CHƯƠNG 3. THUẬT TOÁN TỐI ƯU
3.2.4. Bài toán tối ưu lồi
Thiết kế và tối ưu hóa mạng vô tuyến dựa nhiều vào các công cụ mô hình toán học. Mặc dù tối ưu hóa không lồi đã được chứng minh là phù hợp trong nhiều tình huống, các phương pháp tối ưu lồi đã được sử dụng rộng rãi trong mô hình, phân tích và thiết kế hệ thống thông tin. Đặc biệt, sự phổ biến của tối ưu lồi là do thực tế rằng nhiều vấn đề trong thông tin và xử lý tín hiệu có thể được xây dựng hoặc viết lại như bài toán tối ưu lồi. Về mặt lý thuyết, tối ưu lồi được quan tâm từ khi điểm tối ưu cục bộ cũng là tối ưu toàn cục đối với một bài toán lồi. Vì vậy, việc tính toán cần thiết để tìm tối ưu toàn cục ít hơn nhiều so với bài toán với nhiều điểm tối ưu cục bộ.
Tối ưu lồi cũng thu hút vì nó thường cho cái nhìn sâu vào cấu trúc của giải pháp tối ưu và thiết kế riêng của nó. Tính năng cuối cùng thường không thể có được từ các phương pháp tối ưu không lồi kể từ khi người ta tập trung vào việc tính toán các điểm tối ưu. Hơn nữa, sự sẵn có của phần mềm để giải quyết bài toán lồi làm tối ưu lồi nên phổ biến hơn.
3.2.4.1. Bài toán tối ưu lồi ở dạng chuẩn
Một bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tùy ý có thể luôn được viết theo dạng chuẩn như sau:
minơ f0(x) (3.2a) Subject to fi(x) ≤ 0, i=1,…,m (3.2b) hi(x) = 0, i=1,…,p (3.2c) x ∈ S (3.2d)
Trong đó f0 là hàm mục tiêu. fi(x), hi (x) là hàm ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tương ứng, và S là tập ràng buộc.
Bài toán tối ưu hóa (3.2) là một bài toán tối ưu lồi nếu hàm mục tiêu và hàm ràng buộc bất đẳng thức là lồi và các hàm ràng buộc đẳng thức là tuyến tính, ví dụ: các ràng buộc đẳng thức những hạn chế bình đẳng hi (x) = 0, i = 1,. . . , p có thể được trình bày lại dưới dạng phương trình ma trận Ax = b, trong đó A, b là ma trận và vector kích thước phù hợp. Việc tối ưu biến x được cho là khả thi nếu x ∈ S và nó thỏa mãn tất cả các ràng buộc bất đẳng thứ và đẳng thức. Một giải pháp khả thi xopt được cho là tối ưu toàn cục nếu đối với tất cả các giải pháp khả thi x thì f0(xopt) ≤ f0(x).
3.2.4.2. Bài toán tối ưu lồi trong dạng hình học
Trong khi xây dựng bài toán cấp phát tài nguyên trong viễn thông, thường xảy ra trường hợp hàm mục tiêu và các tập ràng buộc không lồi, nó làm cho bài toán rất khó giải quyết một cách có hiệu quả cho việc tìm điểm tối ưu toàn cục. May mắn là đa số trong các bài toán tối ưu có tính lồi ẩn và có thể viết lại được dưới dạng bài toán lồi. Dạng bài toán đó còn được gọi là GP (Geometric Programming). Một đơn thức được định nghĩa dưới dạng một hàm:
o → ℝ[[p → ℝ
o ‹ = !‹\â q ‹âS … ‹pâÝ 3.3 Trong đú ! ≥ 0 và hằng số mũ ó ọ ∈ ℝ , j=1, .., n. Một đa thức bằng tổng các đơn thức:
K ‹ = ồ !ổ‹\õỗq ‹õỗS … ‹põỗí
~ ổº\
.
Một bài toán GP ở dạng chuẩn của nó có thể được viết như sau [15 ]:
minơ f0(x) (3.4a) Subject to fi(x) ≤ 1, i=1,…,m (3.4b) hi(x) = 1, i=1,…,p (3.4c)
Trong đó fi , i = 1, …, m là các đa thức và hi , i = 1, …, p các đơn thức, các hàm ràng buộc bất đẳng thức và các hàm ràng buộc đẳng thức là các đơn thức. Bài toán GP trong dạng chuẩn là không lồi. Tuy nhiên, biến đổi logaric của các biến, các hằng số nhân và các giá trị hàm để xây dựng một bài toán tương đương lồi với các biến mới. Nền tảng và ứng dụng của GP trong viễn thông được trình bày trong [15], [16]. Tóm lại, GP là một bài toán tối ưu không tuyến tính, không lồi mà có thể trình bày lại thành bài toán lồi.
3.2.4.3. Thuyết đối ngẫu Lagrange và điều kiện tối ưu KKT
Hàm Lagrange của bài toán tối ưu (3.2) được định nghĩa dưới dạng è: ℛp× ℛÚ× ℛ% → ℛ và
ố ‹, ờ, Ă = oở ‹ + ã ờfof ‹
Ú fº\
+ ã Ăfℎf ‹
% fº\
3.5
Trong đó nhân tử lagrange êf, ¡fđược kết hợp với ràng buộc đẳng thức và ràng buộc bất đẳng thức thứ i. Nhân tử lagrange êf, ¡f cũng được gọi là biến đối ngẫu. Hàm Lagrange đối ngẫu được định nghĩa như sau:
K ờ, Ă = ²ÍoŽ∈ ố ‹, ờ, Ă = ²ÍoŽ∈ 6oở ‹ + ã ờfof ‹
Ú fº\
+ ã Ăfℎf ‹
% fº\
9 3.6 Cú thể thấy rằng oở ‹ ≥ K ờ, Ă đối với bất kỳ x, ờ, Ă khả thi nào. Vỡ vậy, giới hạn dưới tốt nhất của giỏ trị tối ưu fở xớ>ợ của bài toỏn ban đầu (3.2) cú thể được tìm ra bằng cách giải quyết bài toán tối ưu lồi sau đây:
maxù,ð g γ, λ (3.7a) Subject to γi ≥ 0, i=1,…,m (3.7b)
Đó luôn luôn là bài toán tối ưu lồi bất kể cấu trúc lồi của bài toán nguyên thủy ban đầu. Khỏc biệt giữa oở ‹G%g và giỏ trị tối ưu đối ngẫu K ờG%g, ĂG%g được
gọi là khoảng cách đối ngẫu. Một tính chất quan trọng liên quan đến khoảng cách đối ngẫu là nếu bài toỏn tối ưu ban đầu là lồi, tớnh đối ngẫu mạnh, thỡ oở7‹G%g8 = K êG%g, ¡G%g [16]. Một ứng dụng hữu ích của tính đối ngẫu mạnh bài toán tối ưu lồi ban đầu (3.2) có thể được giải quyết tương đương bằng cách giải quyết bài toán đối ngẫu (3.7). Ngược lại nếu đối ngẫu yếu, oở7‹G%g8 > K ờG%g, ĂG%g . Đõy là một kết quả có ích đối với một số bài toán, giải bài toán đối ngẫu đôi khi dễ dàng hơn giải chớnh bài toỏn đú. Giải phỏp tối ưu oở ‹G%g và K ờG%g, ĂG%g cú liờn quan tới điều kiện KKT (Karush-Kuhn-Tucker).
hú7xớ>ợ8 = 0, i = 1, . . . , p; fú7xớ>ợ8 ≤ 0, i = 1, . . . , m; 3.8a ờfử'ữ ≥ 0, ² = 1, . . . , ứ; 3.8b
∂oở
ỳ‹ 7‹G%g8 + ồ ờfử'ữ∂of
ú‹ 7‹G%g8
Ú
fº\
+ ồ Ăf∂ℎf
ú‹ 7‹G%g8
%
fº\
= 0 3.8c
ờfử'ữof7‹G%g8 = 0, ² = 1, . . . , ứ; 3.8d KKT là điều kiện cần và đủ đối với tối ưu hóa trong quy hoạch lồi. Vì vậy, giải quyết điều kiện KKT là tương đương với viêc giải quyết bài toán ban đầu và bài toán đối ngẫu.
3.2.4.4. Giải quyết bài toán tối ưu lồi
Một bài toán tối ưu lồi đôi khi có thể được giải quyết theo phép phân tích sử dụng thuyết đối ngẫu và các biểu thức tương đương có thể được thiết lập bằng điều kiện KKT như đã trình bày bên trên. Tuy nhiên về tổng quan, phương pháp lặp phải được sử dụng [16]. Đáng chú ý là sự phát triển của các thuật toán hiệu quả đối với việc giải quyết bài toán tối ưu lồi đã thu hút nhiều sự quan tâm. Đặc biệt, một bước đột phá lớn trong việc tối ưu là sự phát triển của các công cụ lý thuyết mạnh cũng như các thuật toán tính toán hiệu quả cao như phương pháp interior point (của hai nhà toán học người Nga, Nemirovski và Nesterov) đối với tối ưu lồi phi tuyến.
Phương pháp interior point giải quyết bài toán có ràng buộc bằng việc giải quyết tuần tự các bài toán không ràng buộc, thường sử dụng phương pháp Newton.
Một đặc tính khác biệt của phương pháp interior point là kết quả được tìm ở mỗi lần lặp là nghiệm khả thi. Điều này có thể đạt được kể từ khi tại mỗi lần lặp khi một hàm chặn được sử dụng để đảm bảo rằng các giải pháp nằm bên trong tập khả thi.
Do đó phương pháp này đôi khi còn được gọi là phương pháp chặn. Các phương pháp chặn hàm log là phương pháp interior point phổ biến nhất cho giải quyết các bài toán lồi. Nói chung, các phương pháp chặn hàm log được sử dụng để chuyển bài toán tối ưu ràng buộc bất đẳng thức thành bài toán không ràng buộc, được trình bày tóm tắt như sau:
Cho nghiệm khả thi x, l:=l(0) > 0, û > 1 ( thông số cập nhật), ü > 0 ( giá trị dung sai).
Lặp:
1. Bước trung tâm: Tính x∗ I bằng giải quyết:
min f x −\gý x (3.9) Subject to A x = b (3.10) Sử dụng phương pháp, khởi đầu từ x, trong đó hàm chặn log được cho bởi:
ý x = ã log7 −of ‹ 8
Ú fº\
. 2. Cập nhật: x:= x∗ I
3. Điều kiện dừng: Dừng nếu ¯[\
Ç ≤ ϵ 4. Tăng l:= ûl
Có thể thấy rằng ý x là lồi và khả vi liên tục đến cấp hai.
Luận văn sử dụng phần mềm CVX trên nền MATLAB để giải quyết bài toán tối ưu lồi. CVX là phần mềm mô hình hóa cho các bài toán tối ưu lồi, viết trên MATLAB. Phần mềm này rất hữu ích không chỉ cho người làm toán, toán ứng dụng mà cả các lĩnh vực kỹ thuật, điều khiển, robotic, khoa học máy tính, xử lý ảnh… Phần mềm được phát triển bởi Michel Grant, tải xuống tại: http://cvxr.com/cvx/.