Phương pháp phần tử biên là phương pháp mà sự rời rạc chỉ xảy ra trên biên của kết cấu. Vì chỉ có biên của kết cấu bị rời rạt hóa nên số lượng phương trình cân bằng ít hơn phương pháp phần tử hữu hạn. Ứng suất và chuyển vị có thể tìm được từ việc giải hệ các phương trình cân bằng. Là một phương pháp cung cấp lời giải trực tiếp và chính xác, đồng thời yêu cầu dung lượng bộ nhớ máy tính nhỏ, BEM thường được sử dụng để phân tích các nhóm cọc lớn.
Butterfield, R. và Banerjee, P. K. (1971) dùng phương pháp phần tử biên để phân tích ứng xử của nhóm cọc trong bán không gian đàn hồi lý tưởng được liên kết với bè tuyệt đối cứng. Tác giả dùng lời giải Mindlin để mô tả ứng xử của các tương tác trong móng bè cọc.
Brown, P. T. và Wiesner, T. J. (1975) dùng phương pháp phần tử biên để phân tích móng băng trên nền cọc trong môi trường bán không gian đàn hồi đồng nhất đẳng hướng. Trong phương pháp này, bè và cọc được chia ra thành nhiều vùng với lực hoặc ứng suất trên bề mặt tác dụng vào các vùng tương ứng. Lời giải Mindlin cũng được sử dụng để phân tích các mối quan hệ tương tác do lực bề mặt gây ra.
Kuwabara, F (1989) dùng phương pháp phần tử biên dựa trên lý thuyết đàn hồi để phân tích ứng xử của móng bè cọc trong khối đất đàn hồi tuyến tính. Trong phân tích này, bè đƣợc xem nhƣ tuyệt đối cứng, nhƣng cọc thì đƣợc xem có thể biến dạng dọc trục đƣợc. Phần bè đƣợc rời rạc hóa thành nhiều phần tử chữ nhật và cọc thì đƣợc rời rạc thành các phần tử ma sát thành và sức kháng mũi.
Mendonỗa, A. V.và de Paiva, J. B. (2000) giới thiệu phương phỏp phần tử biờn cho phân tích móng bè cọc với tất cả các tương tác giữa bè, cọc và nền đất. Không giống như các phương pháp BEM khác sự rời rạc hệ móng không được đề cập đến trong phương pháp này. Nền đất được mô tả như một bán không gian đàn hồi đồng
- 42 -
nhất tuyến tính Mindlin. Bè đƣợc xem nhƣ là một bản mỏng và đƣợc mô tả bằng các phương trình tích phân. Cọc được mô tả như các phần tử đơn và ứng suất cắt dọc trục được tính toán gần đúng bằng đa thức bậc hai. Tương tác giữa bè và cọc được phân tích bằng cách chia bề mặt thành những phần tử tam giác.
2.1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)
Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong các phương pháp mạnh nhất để phân tích móng bè cọc. Trong phương pháp này, cả kết cấu gồm bè cọc và nền đều được rời rạc hóa. Khi đó số lượng phương trình cân bằng sẽ rất lớn, chỉ có thể tính toán dựa vào máy tính. Một trong những phương pháp làm giảm sự phụ thuộc vào máy tính là chuyển bài toán không gian ba chiều thành bài toán đối xứng trục hoặc bài toán ứng suất phẳng.
Ví dụ tính toán đầu tiên về móng bè cọc dùng phương pháp phần tử hữu hạn đƣợc trình bày bởi Hooper (1973), với mô hình đối xứng trục dùng phần tử tám nút.
Trong phương pháp này, độ cứng của nhóm cọc được ước lượng một cách gần đúng.
Nền đất đƣợc mô phỏng nhƣ một vật liệu đồng nhất đàn hồi tuyến tính với module tăng tuyến tính theo độ sâu. Hooper dùng phương pháp này để phân tích móng bè cọc của công trình Hyde Park Barracks. Năm 1975, Ottaviani ứng dụng phương pháp này để phân tích bè tuyệt đối cứng đặt trên nhóm cọc trong một không gian đồng nhất.
Chow and Teh (1991) dùng phương pháp số phân tích ứng xử của móng bè cọc tuyệt đối cứng trên nền không đồng nhất. Bè đƣợc rời rạc hóa thành các phần tử con hình vuông. Tác giả xem bè tiếp xúc hoàn toàn với đất nền và mặt tiếp xúc giữa bè và nền đƣợc tính toán chính xác thông qua các vùng chia nhỏ hình vuông đó ( Chow, 1987a). Đất nền được mô phỏng là vật liệu tuyến tính đàn hồi đẳng hướng và module Young tăng tuyến tính theo độ sâu. Cọc tiết diện hình tròn và đƣợc rời rạc thành hai phần tử nút tại mặt tiếp xúc giữa đất và cọc ( Chow, 1987b). Tương tác giữa bè, cọc và đất nền đƣợc kể đến vào quá trình tính toán.
Katzenbach and Reul (1997) dùng phương pháp phần tử hữu hạn để mô tả ứng xử của đất thành vật liệu đàn dẻo. Cọc đƣợc mô hình bằng phần tử ba chiều, còn bè đƣợc
- 43 -
mô phỏng bằng phần tử tấm. Quan hệ ứng suất biến dạng của đất đƣợc mô phỏng bằng mô hình nền bao gồm hai phần mặt dẻo chính: mặt áp lực phụ thuộc hoàn toàn vào phá hoại cắt dẻo và mặt dẻo nắp chịu nén. Katzenbach và các cộng sự. (2000) dùng mô hình tương tự thực hiện các nghiên cứu phân tích ứng xử của móng bè cọc tại đất sét Frankfurt. Reul (1998) tinh chỉnh lại mô hình bằng cách dùng phân tử vô cùng tại biên để mô hình nền đất thành bán không gian đàn hồi.
Prakoso and Kulhawy (2001) phân tích móng bè cọc bằng mô hình phần tử hữu hạn biến dạng phẳng phi tuyến và đàn hồi tuyến tính thông qua mô phỏng móng bè cọc ba chiều thành móng bè hai chiều. Phân tích này dựa trên phần mềm Plaxis version 6.1 và phần tử tam giác sáu nút đƣợc dùng để mô phỏng móng bè cọc và đất nền. Các dãy cọc trong bè được tính gộp thành các cọc tương đương biến dạng phẳng với module Young tương đương Eep được tính toán phụ thuộc vào số lượng cọc trong dãy, kích thước cọc và kích thước bè:
p r
p p rowi p
eq L D
E A E n
(2.8) Với:
- np - rowi: số lƣợng cọc dãy thứ i - Ap: diện tích mặt cắt ngang cọc - Ep: module Young của cọc - Lr: chiều dài của bè
- Dp: đường kính cọc
Reul and Randolph (2003) - với sự trợ giúp của phần mềm ABAQUS - giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn đàn dẻo ba chiều để phân tích móng bè cọc trên nền đất sét quá cố kết – đất sét Frankfurt.
2.1.3.3 Phương pháp kết hợp phần tử hữu hạn và phần tử biên
Hain and Lee (1978) nghiên cứu ứng xử của bè chịu uốn đƣợc gánh đỡ bởi nhóm cọc làm việc tại sức chịu tải cực hạn. Bè đƣợc mô phỏng là một tấm mỏng chịu
- 44 -
uốn – dùng phương pháp phần tử hữu hạn – còn ứng xử giữa nhóm cọc và đất nền được giải quyết bằng phương trình Mindlin – phương pháp phần tử biên để giải quyết bài toán.
Sau đó, nhiều nhà nghiên cứu tiếp tục phân tích ứng xử móng bè cọc dựa theo phương pháp này như: Kakurai và các cộng sự. (1987), Mandolini and Viggiani (1997), Franke và cỏc cộng sự. (2000), Mendonỗa and de Paiva (2003), Sinha (1997)…
2.1.3.4 Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với phần tử lớp
Ta and Small (1996) giới thiệu một phương pháp mới phân tích ứng xử của móng bè cọc trên nền nhiều lớp chịu tải trọng thẳng đứng. Đất nền đƣợc chia thành các lớp theo phương ngang, bè được xem như là một bản mỏng đàn hồi và cọc được chia thành các phần tử nút. Phần đất nền được phân tích bằng phương pháp phần tử lớp ( đƣợc phát triển bởi Small and Booker (1984, 1986) và bè và cọc đƣợc phân tích bằng phương pháp phần tử hữu hạn.