Dầm congxon chịu tải phân bố - Độ cong của dầm khi- 123docz.net

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.3 Độ cong của dầm khi xét ảnh hưởng phi cục bộ

2.3.2 Dầm congxon chịu tải phân bố

Xét một dầm công xon, chiều dài L, chịu tải phân bố đềuq:

Hình 2.5. Mô hình dầm phần tử rời rạcvới đầu ngàm một đầu tự do

Cách giải phương trình liên tục phi cục bộ cũng giống như trên nhưng điều kiện biên thay đổi:

d w 0 w

d x

  tại x  0 vàQ  M  0 tại x  L (2.50)

Giải 4 phương trình (2.37), (2.38), (2.39), (2.40) từ điều kiện (2.50):

1 ;

2 c q L



2 2

c  q L c3  0 ; c4  0 ; (2.51)

Độ võng của dầm congxon tìm được:

2 2 2

4 6 1 2 2

2 4

w x x x x L L

E I L

  

      

 

  

 

( ) (2.52)

Phân tích dầm phần tử rời rạc, thu được kết quả hợp lý hơn so với mô hình của Eringen

0 0 1 1 n 1 2 n n 1 0

w( )  , w  w , w   w  w  

1 3 3 1 2

n n n n 2

w w w w q a

        E I

(2.53)

Giải phương trình vi phân cấp 4:

4 4 4 2 4 4

4 3 2

2 4 6 4 2 4 6

q a q a n q a n q a q a n

w i i i i

E I E I E I E I E I

 

      

 

 

(2.54) Phương trình rời rạc có thể được viết lại như phương trình liên tục với giá trị x=ai

4 3 2 2 2

2 4 6 4 2 4 6

q x x L L a L a

w x x x

E I

   

       

 

   

 

( ) (2.55)

Dựa trên hệ số tỷ lệ chiều dàilc  a / 2 3, kết quả thu được tương tự khi phân tích mô hình dầm phi cục bộ Eringen, ngoại trừ số hạng cuối:

2 2

2 2 2

4 6 1 2 2

2 4

c c

l q L l

w x q x x x L L x

E I L E I

  

      

 

  

 

( ) (2.56)

Độ võng đầu tự do của mô hình này:

2 2 2 2 2 2

4 4 4

2 3

8 2 8 2 8

c c c

q L l q L l q L l

q L q L q L

w L

E I E I E I E I E I E I

     

( ) (2.57)

Trong trường hợp này rõ ràng dầm hệ số qui mô nhỏ có tác động làm mềm kết cấu kết quả hợp lý hơn so với mô hình dầm phi cục bộ Eringen

Hình 2.6. Lưu đồ tính toán Bắt đầu

Nhập thông số đầu vào E, I, A, M, P, L, q, n

Thiết lập ma trận độ cứng K

Giải phương trình K w  q a

để tìm độ võng lớn nhất Tăng dần n để kết quả độ võng

hội tụ về giá trị giải tích

Xác định dạng chuyển vị và vẽ biểu đồ momen

Thay đổi giá trị của L và q

Xác định độ võng của dầm

So sánh với SAP2000

Kết thúc

Chương này trình bày các kết quả phân tích số để khảo sát ứng xử uốn của mô hình dầm phần tử rời rạc. Các nghiên cứu thực hiện nhắm đến mục tiêu chính sau:

- Khảo sát ứng xử uốn của mô hình dầm rời rạc với các điều kiện biên và tải trọng khác nhau.

- So sánh các kết quả có được về chuyển vị,momen với phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng SAP2000 và mô hình phi cục bộ của Eringen.

Các bài toán thực hiện trong luận văn này bao gồm:

- Ví dụ 1: Phân tích dầm rời rạc hai đầu khớp chịu lực phân bố

o Bài toán 1: So sánh chuyển vị lớn nhất của dầm rời rạc hai đầu khớp chịu lực phân bố với SAP2000, giải tích và phương pháp phi cục bộ của Eringen

o Bài toán 2: So sánh chuyển dạng chuyển vị và biểu đồ momen của dầm rời rạchai đầu khớp chịu lực phân bố với SAP2000

o Bài toán 3: So sánh độ võng của dầm rời rạc hai đầu khớp chịu lực phân bố với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng thay đổi

- Ví dụ 2:Phân tích dầm rời rạc congxon chịu tải tập trung

o Bài toán 4: So sánh chuyển vị lớn nhất của dầm phần tử rời rạccongxon chịu tải tập trung với SAP2000 và giải tích

o Bài toán 5: So sánh dạng chuyển vị và biểu đồ momen của dầm phần tử rời rạccongxon chịu tải tập trung với SAP2000

- Ví dụ 3: Phân tích dầm rời rạc hai đầu ngàm chịu lực phân bố

o Bài toán 6:So sánh chuyển vị lớn nhất của dầm phần tử rời rạc kết cấu hai đầu ngàm chịu lực phân bố với SAP2000,giải tích và phương pháp phi cục bộ của Eringen

o Bài toán 7: So sánh dạng chuyển vị và biểu đồ momen của dầm phần tử rời rạckết cấu hai đầu ngàm chịu lực phân bố với SAP2000

o Bài toán 8: So sánh độ võng của dầm phần tử rời rạc hai đầu ngàm chịu lực phân bố với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng thay đổi - Ví dụ 4:Phân tích dầm rời rạc một đầu ngàm, một đầu khớp tải phân bố

o Bài toán 9: So sánh chuyển vị lớn nhất của dầm rời rạcmột đầu ngàm, một đầu khớp chịu lực phân bố với SAP2000,giải tích và phương pháp phi cục bộ của Eringen

o Bài toán 10: So sánh dạng chuyển vị và biểu đồ momen của dầm rời rạcmột đầu ngàm, một đầu khớp chịu lực phân bố với SAP2000

o Bài toán 11: So sánh độ võng của dầm rời rạcmột đầu ngàm, một đầu khớp chịu lực phân bố với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng thay đổi

- Ví dụ 5:Phân tích mô hình dầm rời rạc congxon chịu tải phân bố đều

o Bài toán 12: So sánh chuyển vị lớn nhất của dầm rời rạccongxon chịu tải phân bố đều với SAP2000,giải tích và phương pháp phi cục bộ của Eringen

o Bài toán 13: So sánh dạng chuyển vị và biểu đồ momen của dầm rời rạccongxon chịu tải phân bố đều với SAP2000

o Bài toán 14: So sánh độ võng của dầm rời rạccongxon chịu tải phân bố đều với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng thay đổi

- Ví dụ 6: Phân tích dầm rời rạc có tiết diện thay đổi chịu tải phân bố đều o Bài toán 15: So sánh chuyển vị lớn nhất của dầm phần tử rời rạccó tiết

diện thay đổi chịu tải phân bố đều với SAP2000 và giải tích

o Bài toán 16: So sánh dạng chuyển vị và biểu đồ momen của dầm phần tử rời rạccó tiết diện thay đổi chịu tải phân bố đềuvới SAP2000

o Bài toán 17: So sánh độ võng dầm rời rạccó tiết diện thay đổi chịu tải phân bố đều với SAP2000 khi chiều dài dầm và tải trọng thay đổi

chia thành nphần tử nối với nhau bằng lò xo xoay, mỗi phần tử có chiều dài làa.

Dầm chịu một lực dọc trục làP .

Hình 3.1. Sơ đồ ví dụ 1

Bảng 3.1. Thông số của dầm ví dụ 1

L 4 (m) A 21 03 (m2)  7 8 5 0 (kg/m3)

E 21 01 1 (N/m2) I 1 4 0 6 2 5. 1 05 (m4) P 0 (N)

q 2000 (N/m)

Thế năng đàn hồi U :

1 1

1 2 2

j j j

w w w

U C

 



 

 

  

 

 (3.1)

Thế năng V :

2 1

1 2

j j

w w

V P a q a





  

    

 

 (3.2)

Động năng T :

1 2

j j j

T m

 t

  

  

  

 (3.3)

Áp dụng nguyên lý Hamilton:

 

4 3 2 3 2 2

2 4 5 2

j  , w  w  w    w  w   w  q a (3.4)

 

2 1 1 2 1 1

3 1 j 4 j 6 j 4 j j j 2 j j

j n w w w w w w w w

w q a

 



     

 

          

 

.. ,

(3.5)

 

1 2 1

5 n 4 n n 2 n n n

j  n,  w  w   w      w  w    w  q a (3.6) trong đó  C / a2,   M2 / n, và   P / a .

   

1 2

3 4

1 1 1

0 0

0 0 0 0

0 0

n n n

j j j

h g

g h g

g h

w w w



 





   





 

 

 



 1 1

n n

q a

w  

 

 

 

 

 

 

K w

(3.7)

trong đó h1  hn1  5    2 ,h2  hn2  6    2,g  4   .

Phân tích dầm tựa đơn phi cục bộ chịu tải trọng phân bố theo lý thuyết của Eringen như trong Chương 2:

Độ võng và momen của dầm congxon tìm được:

2 2

( )

E q L x x

M x

L L

   

      

   

 

 

(3.9) Độ võng và momen lớn nhất tại x  L / 2 :

m a x

4 4 2

2 2

5 4 8 5

3 8 4 8 4

E q L lc q L a

L E I L

   

       

 

với lc  a / 2 3 (3.10)

2 m a x

E q L

M  (3.11)

Trong trường hợp này, thấy rằng dầm tựa đơn chịu tải phân bố khi phân tích phi cục bộ theo Eringen có độ võng bị tác động phi cục bộ dẫn đến độ võng lớn hơn giá trị của giải tích, tuy nhiên momen uốn lại không chịu ảnh hưởng của tác động phi cục bộ.

3.1.1 Bài toán 1: So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm phần tử rời rạc hai đầu tựa đơn với SAP2000, giải tích và mô hình phi cục bộ của Eringen

Khảo sát được thực hiện với dầm phần tử rời rạchai đầu tựa với thông số đầu vào ở Bảng 3.1. Dầm được chia phần tử tăng dần từ 4 phần từ đến 30 phần từ với mỗi bước tăng là 2 phần từ. Khi tăng dần số phần tử trong dầm phần tử rời rạc, kết quả chuyển vị lớn nhất của dầm hội tụ rất nhanh về giá trị của phương pháp PTHH và kết quả giải tích. Khi số phần tử trong dầm là 14 kết quả gần như trùng với giá trị của SAP2000, tiếp tục tăng số phần tử lên, kết quả từ mô hình dầm phần tử rời rạc tiếp tục hội tụ về giá trị giải tích trong khi ở phương pháp PTHH giá trị gần như không đổi. Đến giá trị là 30 phần tử kết quả của mô hình phần tử rời rạc gần chính xác với giá trị giải tích (0.089%). Ở đây ta xét đến 30 phần tử.

Trong trường hợp này, kết quả của mô hình phần tử rời rạc vàmô hình dầm phi cục bộ của Eringen hoàn toàn trùng khớp nhau.Đoạn chênh lệch giữa 2 đường biểu đồ biểu thị cho phương pháp giải tích và mô hình phần tử rời rạc là tác động phi cục bộ của kết cấu.

Hình 3.2. Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn nhất của dầm tựa đơn Bảng 3.2. So sánh chuyển vị lớn nhất dầm tựa đơn Số

phần tử

Chuyển vị lớn nhất (m)

Độ lệch với PP giải tích (%)

Giải tích SAP2000 Phần tử rời rạc

Phi

cục bộ SAP2000

Phần tử rời

rạc

Phi cục bộ 4

0.002370 0.002379

0.002489 0.000622

0.364

5.000 5.000

6 0.002423 0.000606 2.222 2.222

8 0.002400 0.000600 1.250 1.250

10 0.002389 0.000597 0.800 0.800

12 0.002384 0.000596 0.556 0.556

14 0.002380 0.000595 0.408 0.408

16 0.002378 0.000594 0.312 0.312

18 0.002376 0.000594 0.247 0.247

20 0.002375 0.000594 0.200 0.200

22 0.002374 0.000594 0.165 0.165

24 0.002374 0.000593 0.139 0.139

26 0.002373 0.000593 0.118 0.118

28 0.002373 0.000593 0.102 0.102

30 0.002372 0.000593 0.089 0.089

0 5 10 15 20 25 30 35

2.36 2.38 2.4 2.42 2.44 2.46 2.48

2.5 x 10-3

Số phần tử

Độ võng lớn nhất (m)

Phần tử rời rạc SAP2000 Giải tích Phi cục bộ

Khảo sát dầm phần tử rời rạc khi số lượng phần tử trong dầm là 30 phần tử.Tiến hành phân tích dạng chuyển vị của dầm phần tử rời rạc để so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn SAP2000.

Hình 3.3. Biểu đồ so sánh dạng chuyển vị của dầm tựa đơn

Nhận thấy rằng biểu đồ dạng chuyển vị của hai phương pháp gần như trùng nhau.

Tiếp tục vẽ biểu đồ momen uốn của dầm phần tử rời rạc 30 phần tử, kết quả nhận được cũng hoàn toàn trùng khớp với biểu đồ momen từ SAP2000.

0 5 10 15 20 25 30 35

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

0x 10-3

Nút

Chuyển vị (m)

Sap2000 Phần tử rời rạc

Hình 3.4. Biểu đồ so sánh momen của dầm tựa đơn

Nhận thấy rằng kết quả từ mô hình phần tử rời rạc gần như trùng khớp với phương pháp PTHH, độ lệch là không đáng kể.

Bảng 3.3. So sánh dạng chuyển vị ,momen uốn và lực cắt dầm tựa đơn

Nút

Chuyển vị (m) Momen (Nm) Lực cắt(N)

SAP2000 Phần tử Độ lệch

SAP2000

Phần tử Độ lệch

SAP2000 Phần tử Độ lệch

rời rạc (%) rời rạc (%) rời rạc (%)

1 0 0 - 0 0 - 0 0 -

4 -0.00075 -0.00075 0.29 1440 1440 0 -3200 -3200 0

7 -0.00141 -0.00141 0.27 2560 2560 0 -2400 -2400 0

10 -0.00193 -0.00193 0.25 3360 3360 0 -1600 -1600 0

13 -0.00227 -0.00226 0.25 3840 3840 0 -800 -800 0

16 -0.00238 -0.00237 0.27 4000 4000 0 0 0 0

19 -0.00227 -0.00226 0.25 3840 3840 0 -800 -800 0

22 -0.00193 -0.00193 0.25 3360 3360 0 -1600 -1600 0

25 -0.00141 -0.00141 0.27 2560 2560 0 -2400 -2400 0

28 -0.00075 -0.00075 0.29 1440 1440 0 -3200 -3200 0

30 -0.00025 -0.00025 0.17 515.56 515.56 0 -3733 -3733 0

0 5 10 15 20 25 30 35

-4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0

Nút

Sap2000 Phần tử rời rạc

Momen (Nm)

Bây giờ xét dầm phần tử rời rạc tựa đơn như trên với 30 phần tử, lần lượt cho chiều dài dầm và tải trọng thay đổi để so sánh với mô hình của SAP2000

Hình 3.5. Biểu đồ so sánh độ võng của dầm tựa đơn khi L thay đổi

Hình 3.6. Biểu đồ so sánh độ võng của dầm tựa đơn khi q thay đổi

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10-3

Độ võng lớn nhất (m)

SAP2000 Phần tử rời rạc

Tải trọng q (kN)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 1 2 3 4 5 6x 10-3

Chiều dài dầm (m)

Độ võng lớn nhất (m)

SAP2000 Phần tử rời rạc

Nhận thấy rằng khi thay đổi chiều dài dầm hoặc tải trọng phân bố, mô hình phần tử rời rạc với 30 phần tử cho kết quả chuyển vị gần như trùng khớp với mô hình của SAP2000.

3.2 Ví dụ 2: Phân tích dầm congxon chịu tải tập trung ở đầu tự do

Xét một dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải tập trung ở đầu tự do. Dầm có chiều dài L và được chia làm n phần tử với chiều dài mỗi phần tử là a, được liên kết với nhau bằng các lò xo có độ cứng là C.

Hình 3.7. Sơ đồ ví dụ 2 Bảng 3.4. Thông số của dầm ví dụ 2

L 4 (m) A 21 03 (m2)  7 8 5 0 (kg/m3)

E 21 01 1 (N/m2) I 1 4 0 6 2 5. 1 05 (m4) P 0 (N)

P1 1000 (N)

Sơ đồ dầm phần tử rời rạc hai đầu ngàm được thể hiện trong Hình 3.5. Độ cứng lò xo tại đầu ngàm C1 của dầm là lớn hơn so với độ cứng C của những lò xo đàn hồi còn lại trong dầm.

Hình 3.8. Phân tích độ cứng lò xo C1 tại đầu ngàm

L / n

Từ Hình 3.8 có:

1 1

C   P L (3.13)

Và

1 1

n L

   (3.14)

Thay (3.13) và (3.14) vào (3.12) tìm được C1:

2 1

6 6

3 1 3 1

n E I n

C C

n L n

 

  (3.15)

Dễ dàng nhận thấy trong công thức (3.15) khi tăng n đến vô cùng lớn số lượng phần tử thì C1 sẽ hội tụ về 2C.

Một cách gần đúng lấy C1=2C trong các bài toán sau trong luận văn này.

Khi đó thế năng đàn hồi U trong dầm sẽ là:

2 2

1 1 2

1 2 1

2 2

j j j

w w w w

U C C

a a

 



 

   

     

 

 

 (3.16)

Thế năng V :

1 2

1 1

1 2

 





  

    

 



j j

n j

w w

V P a P w

a (3.17)

Động năng T :

1 2

j j j

T m





 

  

  

 (3.18)

Áp dụng nguyên lý Hamilton:

 

4 3 2 3 2 2

2 4 7 2 0

j  , w  w  w   w  w   w  (3.19)

 

2 1 1 2 1 1

3 1 4 6 4 2

j j j j j j j j

j n w w w w w w w w

 



     

 

          

 

.. ,

(3.20)

 

1 1 2 1 1

2 n 5 n 4 n n n 2 n n n 0

j  n,  w   w  w   w    w   w  w   w  (3.21)

 1 1  1  1 1

1 2

      

  , n  n  n  n  n  n 

j n w w w w w w P (3.22)

trong đó  C / a2,   M2 / n, và   P /a . Viết lại dưới dạng ma trận:

1 2

3 4

0 0

0 0 0 0

0 0



 











 

 

 





n n n

j j j

n n

h g

g h g

g h f

f h

w w w

w 1 1

 

  

 

   

 

 

   

   

 

 

 

K w

n n

(3.23)

Trongđóh1  7    2 ,hn1  5    2 ,h2  hn2  6    2 ,

4 2

n 2

g f h 

     

   ,    ,    .

Khảo sát được thực hiện với dầm phần tử rời rạc congxon tải tập trung với thông số đầu vào ởBảng 3.4. Dầm được chia phần tử tăng dần từ 4 phần từ đến 30 phần từ với mỗi bước tăng là 2 phần từ. Khi tăng dần số phần tử trong dầm phần tử rời rạc, kết quả chuyển vị lớn nhất của dầm hội tụ rất nhanh về giá trị của phương pháp PTHH và kết quả giải tích. Khi số phần tử trong dầm là 20 kết quả gần như trùng với giá trị của SAP2000, tiếp tục tăng số phần tử lên kết quả từ mô hình dầm phần tử rời rạc tiếp tục hội tụ về giá trị giải tích trong khi ở phương pháp PTHH giá trị gần như không đổi. Đến giá trị là 30 phần tử kết quả của mô hình phần tử rời rạc gần chính xác với giá trị giải tích (0.06%). Ở đây ta xét đến 30 phần tử.

Hình 3.9. Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn nhất của dầm congxon chịu tải tập trung

0 5 10 15 20 25 30 35

7.5 5

6 7.6 5

7 7.7 5

8 7.8 5

x 10 -3

Số phần tử

Độ võng lớn nhất (m)

Phần tử rời rạc SAP2000 Giải tích

Bảng 3.5. So sánh chuyển vị lớn nhất dầm congxon chịu tải tập trung Số

phần tử

Chuyển vị lớn nhất (m) Độ lệch với PP giải tích (%) Giải tích SAP2000 Phần tử

rời rạc SAP2000 Phần tử rời rạc 4

0.007585 0.007594

0.007822

0.116

3.125

6 0.007691 1.389

8 0.007644 0.781

10 0.007623 0.500

12 0.007612 0.347

14 0.007605 0.255

16 0.007600 0.195

18 0.007597 0.154

20 0.007595 0.125

22 0.007593 0.103

24 0.007592 0.087

26 0.007591 0.074

28 0.007590 0.064

30 0.007589 0.056

3.2.2 Bài toán 5 : So sánh dạng chuyển vị và momen của mô hình dầm phần tử rời rạc congxon chịu tải tập trung với SAP2000

Xét đến biểu đồ dạng chuyển vị và momen của mô hình phần tử rời rạc và SAP2000 khi số lượng phần tử là 30.

Từ hai biều đồ và bảng so sánh chuyển vị của mô hình phần tử rời rạc và phương pháp hữu hạn nhận thấy rằng rất ít sự khác biệt, sai lệch lớn nhất là ở nút đầu tiên thì kết quả cũng chỉ là 0.35%, còn đối với biều đồ momen thì hầu như là trùng khớp hoàn toàn.

Hình 3.10. Biểu đồ so sánh dạng chuyển vị của dầm congxon chịu tải tập trung

Hình 3.11. Biểu đồ so sánh momen của dầm congxon chịu tải tập trung

0 5 10 15 20 25 30 35

-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Nút

Momen (Nm)

SAP2000 Phần tử rời rạc

0 5 10 15 20 25 30 35

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

Nút

Chuyển vị (m)

Bảng 3.6. So sánh dạng chuyển vị và momen uốn dầm congxon chịu tải tập trung Nút

Chuyển vị (m) Momen (Nm)

SAP2000 Phần tử rời rạc

Độ lệch

(%) SAP2000 Phần tử

rời rạc Độ lệch (%)

1 0 0 - 4000 4000 0.00

4 -0.000111 -0.000110 0.535 3600 3600 0.00

7 -0.000426 -0.000426 0.091 3200 3200 0.00

10 -0.000924 -0.000923 0.123 2800 2800 0.00

13 -0.001581 -0.001579 0.101 2400 2400 0.00

16 -0.002375 -0.002372 0.106 2000 2000 0.00

19 -0.003282 -0.003279 0.081 1600 1600 0.00

22 -0.004280 -0.004277 0.065 1200 1200 0.00

25 -0.005347 -0.005343 0.068 800 800 0.00

28 -0.006459 -0.006455 0.062 400 400 0.00

30 -0.007214 -0.007210 0.054 133.33 133.33 0.00 3.3 Ví dụ 3: Phân tích dầm nhịp đơn hai đầu ngàm chịu tải phân bố đều

Hình 3.12. Sơ đồ ví dụ 3

Bảng 3.7. Thông số của dầm ví dụ 3

L 4 (m) A 21 03 (m2)  7 8 5 0 (kg/m3)

E 21 01 1 (N/m2) I 1 4 0 6 2 5. 1 05 (m4) P 0 (N)

q 2000 (N/m)

j  

Thế năng V :

2 1

1 2

n n

j j

w w

V P a q a w



 

  

    

 

  (3.25)

Động năng T :

1 2

j j j

T m

 t

 

  

  

 (3.26)

Áp dụng nguyên lý Hamilton:

 

4 3 2 3 2 2

2 4 7 2

j  , w  w  w   w  w   w  q a (3.27)

 

2 1 1 2 1 1

3 1 j 4 j 6 j 4 j j j 2 j j

j n w w w w w w w w

w q a

 



     

 

          

 

.. ,

(3.28)

 

1 2 1

7 n 4 n n 2 n n n

j  n,  w  w   w      w  w    w  q a (3.29) trong đó  C / a2,   M2 / n, và   P /a .

Viết lại dưới dạng ma trận:

   

1 2

3 4

4 3

1 1 1

0 0

0 0 0 0

0 0

n n

n n n

j j j

h g

g h g

g h

w w w



 





   





 

 

 



 1 1

n n

q a

w  

 

 

 

 

 

 

K w

(3.30)

trong đó h1  hn1  7    2 ,h2  hn2  6    2 ,g  4   .

Bây giờ, phân tích một dầm nhịp đơn 2 đầu ngàm chịu tải phân bố đều theo nguyên lý phi cục bộ của Eringen để so sánh với kết quả với mô hình phần tử rời rạc:

Dầm hai đầu ngàm chịu tải phân bố đều, có:

w  và d w 0 d x

 tại x  0 ;L (3.31)

Giải 4 phương trình (2.37), (2.38), (2.39), (2.40) từ điều kiện (3.31):

1 ;

2 c q L

 2 2 2

(1 1 2 2 ) 1 2

c q L

  c3  0 ; c4  0 ; (3.32)

Khi đó, độ võng và momen uốn:

4 3 2 2

2 4 1 2 2 4

E q x x L x L

E I

 

    

 

 

(3.33)

Trong trường hợp này, dầm hai đầu ngàm chịu tải phân bố phân tích phi cục bộ theo Eringen có độ võng không bị tác động phi cục bộ, tuy nhiên momen uốn lại phụ thuộc vào lc, tức là chịu ảnh hưởng của tác động phi cục bộ. Độ võng và momen uốn lớn nhất tại x  L/ 2 .

m a x

3 8 4

E q L

E I

 (3.35)

2 2 2

m a x 1 2 2 1 2 ;

1 2 1 2 6

E q L lc q L a

L L

   

         

 

   

 

vớilc  a / 2 3 (3.36) 3.3.1 Bài toán 6 : So sánh chuyển vị lớn nhất của mô hình dầm phần tử rời rạc hai đầu ngàm với SAP2000, giải tích và mô hình phi cục bộ của Eringen

Khảo sát được thực hiện với dầm phần tử rời rạc 2 đầu ngàm với thông số đầu vào ởBảng 3.7. Dầm được chia phần tử tăng dần từ 4 phần từ đến 30 phần từ với mỗi bước tăng là 2 phần từ. Khi tăng dần số phần tử trong dầm phần tử rời rạc, kết quả chuyển vị lớn nhất của dầm hội tụ rất nhanh về giá trị của phương pháp PTHH và kết quả giải tích. Khi số phần tử trong dầm là 24 kết quả gần như trùng với giá trị của SAP2000, tiếp tục tăng số phần tử lên kết quả từ mô hình dầm phần tử rời rạc tiếp tục hội tụ về giá trị giải tích trong khi ở phương pháp PTHH giá trị gần như không đổi. Đến giá trị là 30 phần tử kết quả của mô hình phần tử rời rạc gần chính xác với giá trị giải tích (0.89%). Ở đây ta xét đến 30 phần tử.

Trong trường hợp này thấy rõ ràng rằng mô hình phần tử rời rạc vượt trội hơn so với phân tích phi cục bộ theo Eringen. Biểu đồ độ võng theo mô hình phi cục bộ của Eringen hoàn toàn giống với giải tích không mô tả được tác động phi cục bộ.

Hình 3.13. Biểu đồ so sánh chuyển vị lớn nhất của dầm hai đầu ngàm Bảng 3.8. So sánh chuyển vị lớn nhất dầm hai đầu ngàm

Số phần

tử

Chuyển vị lớn nhất (m) Độ lệch với PP giải tích (%) Giải tích SAP2000 Phần tử

rời rạc Phi

cục bộ SAP2000 Phần tử

rời rạc Phi cục bộ 4

0.000474 0.000482

0.000711

0.000474 1.672

50.000

0.000

6 0.000579 22.222

8 0.000533 12.500

10 0.000512 8.000

12 0.000500 5.556

14 0.000493 4.082

16 0.000489 3.125

18 0.000486 2.469

20 0.000484 2.000

22 0.000482 1.653

24 0.000481 1.389

26 0.000480 1.183

28 0.000479 1.020

30 0.000478 0.889

0 5 10 15 20 25 30 35

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

8x 10-4

Số phần tử

Độ võng lớn nhất (m)

Phần tử rời rạc Sap2000 Giải tích Phi cục bộ

Xét đến biểu đồ dạng chuyển vị và momen của mô hình phần tử rời rạc và SAP2000 khi số lượng phần tử là 30.

Ở bài toán này nhận thấy rằng ở hai phương pháp có kết quả sai lệch, như trên hình.Tuy nhiên sai lệch cũng là rất nhỏ.Ở biểu đồ so sánh dạng chuyển vị sai lệch lớn nhất ở nút 27 cũng chỉ là 1.71%. Còn ở biều đồ momen nút 25 kết quả lệch 3.81% so với SAP2000.

Hình 3.14. Biểu đồ so sánh dạng chuyển vị của dầm hai đầu ngàm

0 5 10 15 20 25 30 35

-5 -4 -3 -2 -1 0 1x 10-4

Nút

Chuyển vị (m)

Sap2000 Phần tử rời rạc

Hình 3.15. Biểu đồ so sánh momen của dầm hai đầu ngàm

Bảng 3.9. So sánh dạng chuyển vị,momen uốn và lực cắt dầm hai đầu ngàm

Nút

Chuyển vị (m) Momen (Nm) Lực cắt (N)

SAP2000 Phần tử Độ lệch

(%) SAP2000 Phần tử

rời rạc Độ lệch

(%) SAP2000 Phần tử

rời rạc Độ lệch rời rạc (%)

1 0 0 - 2666.67 2657.81 0.33 4000 3987.6 0.31

4 -0.000064 -0.000063 1.56 1226.67 1202.34 1.98 3200 3137.6 1.95 7 -0.0002 -0.000197 1.55 106.67 110.742 3.82 2400 2308.8 3.8 10 -0.000341 -0.000338 0.88 -693.33 -680.27 1.88 1600 1576 1.5 13 -0.000445 -0.000441 0.9 -1173.3 -1186.5 1.12 800 791.04 1.12 16 -0.000482 -0.000478 0.77 -1333.3 -1328.9 0.33 -2E-10 -2E-10 0.22 19 -0.000445 -0.000441 0.9 -1173.3 -1186.5 1.12 800 791.2 1.1 22 -0.000341 -0.000338 0.88 -693.33 -680.27 1.88 1600 1585.92 0.88 25 -0.0002 -0.000197 1.55 106.67 110.742 3.82 2400 2308.8 3.8 28 -0.000064 -0.000063 1.56 1226.67 1202.34 1.98 3200 3139.2 1.9 30 -8.95E-06 -8.94E-06 0.09 2151.11 1980.7 7.92 3733.33 3478.72 6.82

0 5 10 15 20 25 30 35

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Nút

Momen (Nm)

Sap2000 Phần tử rời rạc

Xét dầm phần tử rời rạc với các điều kiện như trong ví dụ 3 với 30 phần tử, lần lượt cho chiều dài dầm và tải trọng thay đổi để so sánh chuyển vị với mô hình của SAP2000, nhận thấy rằng biểu đồ cho từ mô hình phần tử rời rạc gần như trùng khớp với SAP2000.

Hình 3.16. Biểu đồ so sánh độ võng của dầm hai đầu ngàm khi L thay đổi

Hình 3.17. Biểu đồ so sánh độ võng của dầm hai đầu ngàm khi q thay đổi

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Z7000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

x 10 -3

Tải trọng q (kN)

Độ võng lớn nhất (m)

SAP2000 Phần tử rời rạc

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x 10-3

Chiều dài dầm (m)

Độ võng lớn nhất (m)

SAP2000 Phần tử rời rạc