Như chúng ta đã biết, quá trình mất năng lượng của electron khi tương tác với vật chất chủ yếu do hai quá trình: (1) va chạm không đàn hồi (ion hóa) và (2) phát bức xạ hãm. Độ mất năng lượng do quá trình ion hóa tỉ lệ thuận với số Z và tăng theo năng lượng theo hàm logarit. Độ mất năng lượng do quá trình phát bức xạ
với Z thấp với Z cao
lượng bị mất trong bia trên một đơn vị chiều dài được gọi là “công suất hãm” của vật liệu.
Hình 2.1. Độ mất năng lượng trong không khí của một số hạt tích điện trong không khí như là hàm của năng lượng hạt tới.
Độ mất năng lượng trung bình do quá trình ion hóa có thể được theo công thức Born [16].
c 2 k
dE Z E
0.306 ln 1.16
dx A I
(2.14)
cho trường hợp phi tương đối tính β < 0.5. Đối với trường hợp tương đối tính β ≥ 0.5, độ mất năng lượng trung bình được tính theo công thức Bethe-Bloch.
2 2 2
c 2 k k
2 2
2 2
2 2 2
dE Z E (E mc )
0.153 [ ln
dx A 2I mc
(1 ) 2 1 1
1(1 1 ) ]
8
(2.15)
Ở đây, độ mất năng lượng trung bình có đơn vị là MeV/cm, mật độ tính theo g/cm3, Ek là động năng của electron tính theo MeV, mc2 = 0.51 MeV và I là thế năng ion hóa của nguyên tử trong vật liệu [17]. Tham số là tham số hiệu chỉnh hiệu ứng mật độ. Công thức bán thực nghiệm để tính giá trị của có dạng như sau:
với X < Xo
m
0
4.606X C a(X X)
Ở đây,
10 1
2 2
X log
(1 )
(2.17) là tham số phụ thuộc vào vận tốc của electron,
p
C 2ln I 1
h
(2.18)
là tham số phụ thuộc vào vật liệu với là tần số plasma.
o 1 o
a (C 4.606X ) / (X X ),
o
0.2
0.326 | C | 1
X 0.2
0.326 | C | 1.5
1
2 X 2
3 3
(2.19)
Độ mất năng lượng được tính theo công thức Bethe-Bloch trong hai trường hơp có hiệu chỉnh hiệu ứng mật độ và không hiểu chỉnh hiệu ứng này được biểu diễn trên hình 2.2.
với I < 100 eV và |C| < 3.681 với I < 100 eV và |C| 3.681 với I 100 eV và |C| < 5.215 với I 100 eV và |C| 5.215 với I < 100 eV và |C| < 3.681
với I < 100 eV và |C| 3.681 với I 100 eV và |C| < 5.215 với I 100 eV và |C| 5.215
Hình 2.2.So sánh công thức Bethe-Bloch với hiệu chỉnh hiệu ứng mật độ và không hiệu chỉnh hiệu ứng mật độ.
Để tính toán độ mất năng lượng do quá trình phát bức xạ hãm, trước hết, chúng ta cần tính tiết diện vi phân của quá trình này theo năng lượng của electron.
Công thức tính tiết diện vi phân này có dạng [14]:
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 BNa
BN E
BN
BSd
BSc
BN
BSd
BSc
BN
CSa
CSb
f d dk f d
dk d
dk d
dk d
dk
d d
dk dk
d dk d
dk d
dk d
dk d
dk
Ở đây:
2 2 3
2
2 1/2 2 2
3 2 2
2 2 3 3
16 1 ' 1
ln ,
137 3 '
(1 ) ,
4 ' ' ' ' 1
2 ' ,
137 ' 3 ' ' '
ln ,
BNa
o
o o BN
o
Z r
d p p
dk p p p k
p
Z r
d p p p E E
EE LU
dk p p p p p pp k
E p
E p
với 0.01 MeV < Ee < 0.1 MeV và k 0.01To với 0.1 MeV Ee < 2 MeV và k 0.01To với 2 MeV Ee < 12MeV và 15 với 2 MeV Ee < 12MeV và 2< < 15 với 2 MeV Ee < 12MeV và 2 với 15 MeV Ee < 50 MeV và 15 với 15 MeV Ee < 50 MeV và 2< < 15 với 15 MeV Ee < 50 MeV và 2 với 50 MeV Ee < 500 MeV và 15 với 50 MeV Ee < 500 MeV và 2< < 15 với 50 MeV Ee < 500 MeV và 2
(2.21) (2.22) (2.23)
(2.24) (2.20)
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 2 2
' '
' ln ,
' '
' ' 1
2ln ,
8 ' ' ' ' ' ' 2 '
3 ' ' 2 ' ' ' '
E p
E p
L pp
k
EE E E p p k p p kEE
U k
pp p p pp p p p p
2 2 2 3BSd
4Z ro
d E ' 2 E ' 2EE ' 1 1
1 x ln c( ) ,
dk 137 E 3 E k 2 k
c( ) 0.102exp( 0.151 ) 0.47 exp( 19.8 ),
2 2 2 3BSc
o 1 2
4Z r
d E ' ( ) ln Z 2E ' ( ) ln Z 1
dk 137 1 E 4 3 3E 4 3 k
,
1 2
2
( ) ( ) 0.5exp( 2.31 ) 0.12exp( 19.8 ), ( ) 20.14exp( 0.151 )
2 2 2 3
1/3
2 2
4 ' 2 ' 183 ' 1
1 ln ( ) ,
137 3 9
( ) 1 0.20206 ,
1 137 137
BSa
Z ro
d E E E
dk E E Z f Z E k
f Z Z
Z
2 2 2 3
1 2
4 ' ( ) ln 2 ' ( ) ln
1 ( ) ( )
137 4 3 3 4 3
BSc
Z ro
d E Z E Z
f Z f Z
dk E E
,
Độ mất năng lượng trung bình do quá trình bức xạ sẽ được tính bằng công thức
23 2
0
6.0249 10
,
Eb
d Eb x mc d
k dk
dx A dk
Vì vậy, độ mất năng lượng tổng cộng sẽ là:dE dEc dEb
dx dx dx
Như đã đề cập, các công thức nói trên cho phép chúng ta tính độ mất năng lượng trung bình. Tuy nhiên, như chúng ta đã biết, quá trình tương tác của electron (2.25) (2.26)
(2.27)
(2.28) (2.29)
(2.30) (2.31) (2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
với vật chất và dẫn tới mất năng lượng là quá trình ngẫu nhiên. Vì vậy, độ mất năng lượng có tính thống kê. Sự thăng giáng của độ mất năng lượng cũng sẽ dẫn tới sự thăng giáng trong kết quả tính quãng chạy của electron trong bia. Hơn nữa, do tiết diện tạo bức xạ hãm phụ thuộc rất nhiều vào năng lượng của electron, vì vậy, việc tính đến sự thăng giáng của độ mất năng lượng là hết sức quan trọng. Sự thăng giáng của độ mất năng lượng có thể biểu diễn bằng phân bố Landau [18].
Trong công cụ Geant4, độ mất năng lượng do quá trình ion hóa được tính toán trên cơ sở thừa kế lớp G4eIonisation, trong khi đó quá trình mất năng lượng do phát bức xạ hãm và việc mô phỏng quá trình phát bức xạ hãm sẽ được tính toán trên cơ sở xây dựng các lớp thừa kế lớp cơ sở G4eBremsstrahlung [19]. Chi tiết về công cụ Geant4 sẽ được giới thiệu trong phần 3.1.