Chương 3 CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG
3.3. THUẬT TOÁN GIẢI PHI TUYẾN
Ứng xử của kết cấu khi đến gần hoặc đi qua điểm tới hạn rất ít khi đúng theo đường tải trọng-biến dạng được giả thiết trong kỹ thuật giải tuyến tính. Xét phản ứng tải trọng-chuyển vị của khung cổng được biểu diễn ở hình bên dưới. Dưới tác dụng của tải trọng, khung bị lệch bên một đoạn , tương ứng với điểm A trên đường cong tải trọng-chuyển vị phi tuyến.Nếu giả thiết ứng xử của khung là tuyến tính và áp dụng kỹ thuật phân tích tuyến tính, ta được độ lệch tương ứng với tải trọng H có giá trị là xấp xỉ . Tuy nhiên , trong thực tế cho thấy rằng, độ lệch thật thật lớn hơn nhiều so với kết quả của ứng xử tuyến tính đã giả thiết.
δthật
δxaỏp xổ Sai soỏ Tải trọng A
Chuyeồn vũ Ki
H w δ
Hình 3. 3 Ứng xử tải trọng-chuyển vị của khung cổng
Sự phát triển của kỹ thuật phân tích phi tuyến xuất hiện từ nhu cầu giải bài toán với đường quan hệ tải trọng-chuyển vị giống như bài toán trên. Hầu hết các kỹ thuật phân tích phi tuyến đều thông qua việc tuyến tính hoá. Sự chuyển đổi qua ứng xử tuyến tính làm cho việc phân tích bài toán phi tuyến được thực hiện qua việc ứng dụng các bước tải trọng gia tăng.
3.3.2. Thuật toán Euler
Thuật toán Euler hay còn gọi là thuật toán gia tăng đơn giản là nền tảng của hầu hết các phương pháp giải phi tuyến . Phương pháp này được mô tả cho mô hình một bậc tự do ở hình sau:
δ thật
Δδ 1
Tải trọng D
Chuyeồn vũ Δδ 2
δ xaỏp xổ Sai soỏ C
B
d 1 d 2 d 3
Δ r 1 Δ r 2
r 1 r 2 r 3
Hình 3. 4 Sơ đồ minh hoạ thuật toán Euler đơn giản
Xét điểm A trên đường cong tải trọng-độ võng. Một bước tải đến một điểm mới B có thể xác định bằng:
2 1 1
1
2 1 T 1 (3.6) r r r
d d K− r
= + Δ
= + Δ
Điểm C có thể được xác định theo cách tương tự.Khi điểm C tiến đến điểm tới hạn , có một sai số tích luỹ trong mỗi bước tăng tải. Sai số này có thể rất lớn trừ khi kích thước bước tác dụng tải trọng được điều chỉnh suốt các giai đoạn tăng tải . Khi có nhiều bước tải trọng thì sai số sẽ giảm đi. Tuy nhiên, sẽ tốn nhiều thời gian để giải hệ phương trình tuyến tính ở mỗi bước tải trọng.Sai số trong thuật toán này có thể trở nên rất lớn, do đó nó hiếm khi được sử dụng ở dạng không được điều chỉnh khi giải hệ phương trình phi tuyến.
Có những cải tiến với thuật toán nền tảng này để làm giảm sai số. Dùng thuật toán Euler đơn giản để giải kết hợp với thuật toán công hằng.
3.3.3. Kỹ thuật điều chỉnh công
Xét đường cân bằng phi tuyến ở hình bên dưới.Một trạng thái cân bằng hiện tại được định nghĩa tại một điểm A trên đường cân bằng. Công thực hiện bởi bước tải trọng gia tăng { } Δ rn khi đi từ sự thay đổi cấu hình từ { } dn đến { } dn+1 được cho bởi công thức sau:
{ } { }T (3.7)
n n n
W d r
Δ = Δ Δ
Trong đó, { Δ Wn} là công gia tăng ứng với bước tăng tải thứ n. Tải trọng gia tăng có thể được viết thành một hệ số tải trọng gia tăng nhân với một vectơ tải trọng { } rre
{ } Δ rn = Δ λn{ } rre
Trong đó hệ số tải trọng gia tăng Δ λnlà một đại lượng vô hướng . Như ta đã biết, chuyển vị gia tăng có thể được tính qua ma trận độ cứng tiếp tuyến của kết cấu như sau:
{ } Δ rn = ⎡ ⎣ KTn⎤ ⎦ { } Δ dn ⇒ Δ { } dn = ⎡ ⎣ KTn⎤ ⎦−1{ } Δ rn
Từ đó ta có thể viết lại như sau:
{ } Δ dn = Δ ⎣ ⎦ λn⎡ KTn⎤−1{ } rre
Mà:
{ } dre = ⎣ ⎦ ⎡ KTn⎤−1{ } rre
Nên:
{ } Δ dn = Δ λn{ } dre
Tải trọng
Chuyeồn vũ Δ r
rn rn+1
dn KnT
A
n
dn+1 Δ dn
Hình 1 Minh họa thuật toán điều khiển công hằng
Công gia tăng ở bước tăng tải thứ n có thể được viết lại theo hệ số tải trọng gia tăng dùng phương trình và như sau:
{ } { }T 2 { } { }T
n n n n re re
W d r λ d r
Δ = Δ Δ = Δ
Nếu công gia tăng được xem như không đổi với mọi bước tăng tải, hệ số tải trọng gia tăng có thể được viết lại bằng:
{ } { } (3.8)
n T
re re
W
d r
λ Δ
Δ =
Phương trình nói lên rằng hệ số tải trọng đã dùng trong thuật toán giải từng bước Euler đơn giản có thể được điều chỉnh bằng cách áp dụng các bước gia tăng có công gia tăng không đổi. Hệ số tải trọng gia tăng được điều chỉnh dựa trên độ cứng hiện tại của kết cấu qua việc tính toán chuyển vị bằng phương trình. Khái niệm công không đổi đảm bảo rằng sai số trong bước giải tiếp theo sẽ gần như đều nhau. Vì vậy, hệ số tải trọng gia tăng đầu tiên được chọn với giá trị nhỏ để có sai số nhỏ, các bước tải
gia tăng tiếp theo được tính bằng việc sử dụng phương trình sẽ đảm bảo cho sai số trong sơ đồ giải được giới hạn.
3.3.4. Kết luận
Tác giả chọn thuật toán Euler đơn giản để giải do phương pháp này đơn giản. Tuy nhiên, nếu chỉ dùng sơ đồ Euler thuần túy mà không có hiệu chỉnh thì sai số tích lũy qua các bước giải có thể rất lớn. Do đó, tác giả kết hợp với kỹ thuật điều khiển công hằng để giải hệ phương trình phi tuyến. Nếu tải trọng gia tăng ban đầu nhỏ, đường tải trọng – biến dạng sẽ hội tụ đến đường phân tích thật. Tuy nhiên, điều này làm số lượng các bước lặp tăng lên, nên thời gian giải bài toán cũng tăng lên.