Trong phần này sẽ phát triển một kỹ thuật đối với các hệ số nhị thức, được gọi là nghịch đảo nhị thức. Ứng dụng chính của nó trong phần này là lời giải cho một quan hệ hồi quy.
Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi của dãy hfni bởi nghịch đảo nhị thức là dãy hgni với
gn =
n
∑j=0
n j
(−1)jfj (1.14)
Có một tính chất đặc trưng của bất kỳ khái niệm toán học nào, gọi là phép toán đối ngẫu, là áp dụng hai lần phép toán sẽ khôi phục lại đối tượng ban đầu. Định lý 1.2.2 khẳng định rằng phép biến đổi nghịch đảo nhị thức các dãy có tính chất nói trên.
Định lí 1.2.2. Giả sử hfni là một dãy và hgni là biến đổi của nó bởi phép nghịch đảo nhị thức. Khi đó, với mọi n≥0
fn =
n
∑j=0
n j
(−1)jgj (1.15)
Nói cách khác, biến đổi hai lần phục hồi lại dãy ban đầu hfni.
Chứng minh. Xuất phát từ vế phải của phương trình (1.15) và thay thế công thức nghịch đảo của phương trình (1.14) đối vớigj
n j=0∑
n j
(−1)jgj =
n
∑j=0
n j
(−1)j
j i=0∑
j i
(−1)ifi
= ∑
j=0∑
i=0
n j
j
i (−1)j+ifi (1.16)
Sự thay đổi thứ tự của phép lấy tổng là hữu ích ở đây
=
n i=0∑
n
∑j=i
n j
j i
(−1)j+ifi (1.17)
Áp dụng đồng nhất thức tập con của một tập con (Mệnh đề 1.1.20) ta đưa về phép lấy tổng theo chỉ số j
=
n i=0∑
n
∑j=i
n i
n−i j−i
(−1)j+ifi
Sau đó rút gọn thừa số bên trong tổng
=
n i=0∑
n i
fi
n
∑j=i
n−i j−i
(−1)j−i với(−1)2i=1 Thayk= j−i
=
n i=0∑
n i
fi
n−i k=0∑
n−i k
(−1)k Tổng bên trong−→số mũ nhị thức
=
n i=0∑
n i
fi(1−x)n−i
x=1
=
n i=0∑
n i
fi(i=n)
= n
n
fn(n=n) = fn
Trong phương trình (1.17) ở trên, ta thấy rằng trong tổng chỉ số j xuất hiện 2 lần trong số hạng bên trong hệ số nhị thức, một lần là chỉ số trên và một lần là chỉ số dưới. Trong trường hợp như vậy, như đã thấy ở đây,
đồng nhất thức tập con của tập con thường làm biến đổi dễ dàng hơn, nó cho phép giảm số lần xuất hiện chỉ số trong.
Một vài ví dụ cơ bản của phép nghịch đảo
Ba ví dụ đầu tiên sau đây về phép nghịch đảo nhằm giới thiệu phép nghịch đảo được tiến hành như thế nào.
Ví dụ 1.2.3. Dãy số không đổi
hfni=1 1 1 1 ã ãã
có nghịch đảo là
gn =
n
∑j=0
n j
(−1)jfj
=
n
∑j=0
n j
(−1)j
= (1−x)n
x=1
= (1−1)n =
1 nếun=0 0 nếun>0
⇒ hgni=1 0 0 0 ã ãã
Một cách tổng quát, dãy
hfni=c c c c ã ã ã có nghịch đảo là
hgni=c 0 0 0ã ã ã Ví dụ 1.2.4. Dãy số tự nhiên
hfni=0 1 2 3 ã ã ã
được nghịch đảo như sau gn =
n
∑j=0
n j
(−1)jfj
=
n
∑
j=0
j n
j
(−1)j (1.18)
Áp dụng đồng nhất thức hấp thu để loại bỏ sự xuất hiện của chỉ số j.
=
n j=0∑
n
n−1 j−1
(−1)j
=n
n
∑j=0
n−1 j−1
(−1)j
Thay j =i+1để sắp xếp các hệ số nhị thức với giới hạn của tổng.
=n
n−1 i=0∑
n−1 i
(−1)i+1
=−n
n−1
∑
i=0
n−1 i
(−1)i
=−n(1−x)n−1
x=1
=
−1 nếun=1 0 nếun6=1
⇒ hgni=0 −1 0 0 ã ã ã
Trong phương trình (1.18) của ví dụ này, chỉ số lấy tổng j xuất hiện trong một hệ số nhị thức và cũng như là một nhân tử. Đồng nhất thức hấp thu là đồng nhất thức nhị thức thông thường mà số lần xuất hiện của biến chỉ số được rỳt gọn trong trường hợp như vậy. Dóy 0 1 2 3 ã ã ã cũng có thể được biểu diễn như là n
1
. Theo đó, không có gì phải ngạc nhiên nếu nghịch đảo của dãy nr
tương tự như ví dụ 1.2.3.
Ví dụ 1.2.5. Dãy số nhị thức
fn = n
r
đối với số không âm cố định r có dãy nghịch đảo là gn =
n
∑
j=0
n j
(−1)jfj
=
n j=0∑
j r
n j
(−1)j (1.19)
Áp dụng đồng nhất thức tập con của một tập con và đặt nhân tử chung
=
n
∑j=0
n r
n−r j−r
(−1)j
= n
r n
j=0∑
n−r j−r
(−1)j Thay j =i+r, ta có
gn= n
r
n−r
i=−r∑
n−r i
(−1)i+r
= n
r n−r
i=0∑
n−r i
(−1)i+r
= (−1)r n
r n−r
i=0∑
n−r i
(−1)i
=
(−1)n nếun=r 0 nếun6=r
Ở phương trình (1.19), số hạng xuất hiện 2 lần có chỉ số lấy tổng là j. Lần này cả hai đều ở trong các hệ số nhị thức khác nhau, với một lần xuất hiện như chỉ số trên và một lần xuất hiện như chỉ số dưới. Đồng nhất thức tập con của một tập con thường được sử dụng để loại bỏ một trong những lần xuất hiện các số hạng như vậy. Do đó tổng được rút gọn.
Sự xáo trộn
Nghịch đảo nhị thức có nhiều ứng dụng đặc biệt.
Ví dụ 1.2.6. Mỗi hoán vị của đoạn các số nguyên [1 :n] có thể thu được bằng cách chọn r số từ đoạn [1 :n]và làm thay đổi thứ tự của chúng. Theo đó, nếu Dj là một sự xáo trộn (thay đổi thứ tự) số, thì
n!= n
0
D0+ n
1
D1+ n
2
D2+ã ã ã+ n
n
Dn
Từ đó suy ra rằng
fn = (−1)nDn
có nhị thức nghịch đảo
gn=n!
Bởi tính chất đối ngẫu nghịch đảo nhị thức, ta có fn = (−1)nDn =
n
∑j=0
n j
(−1)jgj
từ đó suy ra
Dn = (−1)n
n j=0∑
n j
(−1)jgj
= (−1)n
n j=0∑
n j
(−1)jj!
=
n
∑j=0
nj(−1)j
⇒ Dn
n! =1− 1 1!+ 1
2!− 1
3!+ã ã ã+ (−1)n 1 n!
−−−→lim n→∞ e−1
Vì vậy, tỷ lệ giữa các xáo trộn và số các hoán vị của một tập hợp n đối tượng tiến dần đếne−1 khi n lớn.
Các ví dụ khác về phép nghịch đảo
Các phương pháp lấy tổng được trình bày trong phần này đối với các phép biến đổi dãy được áp dụng rộng rãi. Chúng ta bổ sung trong phần này thêm
hai ví dụ, kết hợp cả phương pháp nghịch đảo các số nhị thức với đồng nhất thức của các số nhị thức đã đề cập trước đây.
Ví dụ 1.2.7. Khi hai thừa số của một số hạng là hai hệ số nhị thức có chứa chỉ số của phép lấy tổng như là chỉ số dưới, mấu chốt của sự đơn giản hoá là thiết lập một ánh xạ của phép nhân chập Vandermonde để rút gọn số hạng đó. Dãy số
fn = (−1)n N
n
có dãy nhị thức nghịch đảo là gn =
n
∑
j=0
n j
(−1)jfj
=
n
∑j=0
n j
(−1)j(−1)j N
j
=
n
∑j=0
N j
n j
áp dụng đồng nhất thức đối xứng ta được
=
n
∑j=0
N j
n n− j
và sau đó dùng phép nhân chập Vandermonde
=
N+n n
Ví dụ 1.2.8. Đôi khi tồn tại thương của hai hệ số nhị thức mà cả hai đều chứa chỉ số của phép lấy tổng. Dãy số
fn = (−1)n N
n −1
có biến đổi qua phép nghịch đảo nhị thức là dãy gn =
n j=0∑
n j
(−1)jfj
= ∑
j=0
n
j (−1)j(−1)j N j
=
n
∑
j=0 n
j
N j
Ở đây chúng ta áp dụng đồng nhất thức tập con của một tập con N
n n
j
= N
j
N− j n− j
và có được
gn=
n j=0∑
n j
N n
n
j
N−j
n−j
= N
n
−1 n
∑j=0
N− j n− j
có thể đơn giản hóa bằng cách sử dụng đồng nhất thức tổng đường chéo
= N
n
−1 N+1
n
= N+1 N−n+1
Chương 2
Một số ứng dụng của số nhị thức trong thống kê
Thống kê là khoa học nghiên cứu các phương pháp thu thập, phân tích và xử lý các số liệu nhằm phát hiện các quy luật thống kê trong tự nhiên và xã hội. Trong thống kê, giá trị trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, ... là các số đặc trưng để thu được các thông tin quan trọng. Các số đặc trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra và có mối liên hệ mật thiết với các số nhị thức. Vì vậy trong chương này tác giả xin trình bày một số ứng dụng của số nhị thức trong thống kê để thấy rõ hơn về mối quan hệ đó.