Chương 3. Định lý giới hạn trung tâm 46
3.2 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm
Cho X1, X2, ... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0, phương sai đơn vị, và moment bậc ba bị chặn, tức: sup16n<∞E|Xn|3 6 p. Khi đó với mọi n,
sup
−∞<x<∞
P n−1/2
n
X
1
Xi 6 x
!
−Φ(x)
6 Cn−1/2ρ
trong đó Φ biểu thị hàm phân phối chuẩn chuẩn và C là hằng số tuyệt đối.
Đây là một phiên bản của định lý Berry-Esseen nổi tiếng, được phát hiện bởi Berry (1941) và Esseen (1942). Nó cung cấp một tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm nói chung là tốt nhất có thể, theo nghĩa là đối với một số phân phối thỏa mãn các điều kiện trên và các hằng số nhất định C0 >0, ta có
sup
−∞<x<∞
P n−1/2
n
X
1
Xi 6 x
!
−Φ(x)
> C0n−1/2ρ Ví dụ, nếu Xi là phân phối độc lập và đồng nhất với
P(Xi = −1) =P(Xi = +1) = 1
2, khi đó:
P
n
X
1
Xi <0
!
− 1 2
= 1 2P
n
X
1
Xi = 0
!
= 2n
n
2−(2n+1) ∼ 1
2(πn)−1/2 khi n→ ∞.
Gọi {Sni,Fni} là một mảng martingale có kì vọng 0, bình phương khả tích.
Căn cứ vào hệ quả (3.1.6) và các nhận xét ngay sau đó, nếu Vnk2n = X
i
E(Xni2|Fn,i−1)→p 1 và nếu điều kiện Lindeberg cố định, thì Snkn = P
iXni
→d N(0,1). Nó chỉ ra rằng tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm này được xác định một phần bởi tốc độ hội tụ của Vnk2n là 1 và nói chung không tốt hơn (E|Vnk2n −1|)1/2. Thực tế này được sinh ra bởi ví dụ sau, nó cho thấy rằng ngay cả một bảng martingale chỉ hơi khác với một chuỗi các biến ngẫu nhiên tầm thường và đồng nhất, tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm có thể chậm tùy ý.
Định lý 3.2.1. Cho {Si = Pi
1Xj,Fi,1 6 i 6 n} là martingale có kỳ vong 0, với Fi là σ− trường sinh bởi X1, . . . , Xn. Đặt
Vi2 =
i
X
1
E(Xj2|Fj−1),16 i6 n, và giả sử rằng
maxi6n |Xi| 6 n−1/2M h.c.c. (3.14) và
P(|Vn2−1| >9M2Dn−1/2(logn)2)6 Cn−1/4logn (3.15) với các hằng số M, C và D(> e). Khi đó với n> 2
sup
−∞<x<∞
|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6 (2 +C + 7M D1/2)n−1/4logn. (3.16) Bổ đề 3.2.2. Cho W(t), t> 0, là một chuyển động Brown chuẩn và T là một biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với mọi x thực và mọị >0,
|P(W(T)6 x)−Φ(x)| 6(2e)1/2+P(|T −l| > e).
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta lưu ý rằng nếu 0 < < 1 2,
P(W(T)6 x)6 P(W(T)6x;|T −1| 6 ) +P(|T −l| > ), và
P(W(T)6 x;|T −1| 6 )6P
|t−1|inf6W(t)6 x
= P(W(1−) + inf
|t−1|6[W(t)−W(1−)]6 x)
= Z 0
−∞
P(W(1−)6 x−y)dP
06inft62W(t)6 y
= (π)−1/2 Z ∞
0
Φ((1−)−1/2(x+y)) exp(−y2/4)dy
= (π)−1/2 Z ∞
0
Φ((1−)−1/2(x+1/2))e−z2/4dz.
Hậu quả là,
P(W(T)6 x)−Φ(x)6π−1/2 Z ∞
0
Φ((1−)−1/2(x+)l/2z))e−z2/4dz
−Φ(x) +P(|T −1| > ) 6π−1/2
Z ∞ 0
|Φ((1−)−1/2(x+1/2z))
−Φ(x)|e−z2/4dz+P(|T −1| > ).
(3.17)
Thuật ngữ trong các dấu hiệu modulus trong tích phân được bao quanh bởi
|Φ((1−)−1/2(x+1/2z))−Φ((1−)−1/2x)|+|Φ((1−)−1/2x)−Φ(x)|.
Thuật ngữ đầu tiên ở đây không lớn hơn(2π)−l/2(l−)−1/21/2z và cho cụm từ thứ hai không lớn hơn
(2π)−l/2e−x2/2x[(l−)−1/2−1] 6 (2π)−1/2e−1/2[(1−)−1/2−1]< π−1/2e−1/2, miễn là 0 < < 1
2. Bằng cách đối xứng, cùng một giới hạn được áp dụng khi x < 0, và kết hợp các ước tính này, ta suy ra rằng đối với 0< < 1
2, P(W(T)6 x)−Φ(x)−P(|T −1| > )
6 π−1/2e−l/2+π−l/21/2 Z ∞
0
ze−z2/4dz 6 l/2((2πe)−1/2+ 2π−1/2)
< (2)1/2. Đó là
P(W(T)6 x)−Φ(x)6 (2)1/2+P(|T −l| > ). (3.18) Điều này ràng buộc tầm thường nếu > 1
2. Hơn nữa, bằng cách sử dụng một thủ tục tương tự, ta suy ra
P(W(T)6 x)> P(W(T)6 x;|T −1| 6)−P(|T −1| > )
> P sup
|t−1|<
W(t)6 x
!
−P(|T −1| > )
= π−1/2 Z ∞
0
Φ((1−)−1/2(x−1/2z))e−z2/4dz −P(|T −l| > )
> Φ(x)−(2)1/2−P(|T −1| > ).
(3.19)
Bổ đề (3.2.2) sau khi kết hợp (3.18) và (3.19). Quay trở lại với việc chứng minh Định lý (3.2.1), Ta biết rằng tồn tại một chuyển động Brown tiêu chuẩn W và biến ngẫu nhiênTi,1 6i6 n, sao cho (không mất tổng quát)
Si = (Ti),1 6i6 n.
Bổ đề (3.2.2) bây giờ khẳng định rằng với mọi n, x, và ∆> 0,
|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6 2∆1/2 +P(|Tn −Vn2| >∆) +P(|Vn2−1| >∆). (3.20) Đặt τ1 = T1 và τi = Ti − Ti−1,2 6 i 6 n. Với mỗi τi là Gi-đo được và E(τi|Gi−1) = E(Xi2|Fi−1) hầu chắc chắn trong đó Gi là σ− trường sinh bởi Sl,˙,St và W(t) với t6 Ti. Vì thế
Tn−Vn2 =
n
X
1
(τi−E(τi|Gi−1)) là tổng của các martingale phân biệt.
Đối với bất kỳ martingale phân biệt nào đó Zi,1 6 i 6 n và bất kỳ p > 2 ta có từ bất đẳng thức của Holder và Burkholder (xem Định lý (1.2.9)
E
n
X
1
Zi
p
6 (18pq1/2)pE
n
X
1
Zi2
p/2
6(18pq1/2)pnp/2−1
n
X
1
E|Zi|p 6(18pq1/2)pnp/2max
i6n E|Zi|p,
(3.21)
trong đó q = (1−p−1)−1 6 2 với p> 2. Áp dụng những bất đẳng thức này cho các martingale phân biệt Zi =τi−E(τi|Gi−1), ta suy ra rằng
P(|Tn −Vn2| >∆)6 ∆−pE|
n
X
1
Zi|p
6 ∆−p(18p21/2)pnp/2max
i6n E|Zi|p
(3.22)
Bây giờ, với |Zi| 6 max(τi, E(τi|Gi−1)) và E[E(τi|Gi−1)p] 6 E(τip), theo bất đẳng thức Jensen.
E|Zi|p 6E[τip+E(τi|Gi−1)p]
62E(τip)6 4Γ(p+ 1)E|Xi|2p
(3.23)
Việc mở rộng Γ(p+ 1) của Stirling ngụ ý rằng đối với p> 2, Γ(p+ 1)6 (2π)l/2pp+l/2e−p+l/24,
và kết hợp điều này với cả hai phương trình(3.22) và (3.23), chúng ta thấy rằng P(|Tn−Vn2| > ∆)6 10.5(9.4p2)pp1/2np/2δ−pmax
i6n E|Xi− |2p. (3.24) Từ điều kiện (3.14) chúng ta có
maxi6n E|Xi|2p 6 n−pM2p,
và điều này cùng với (3.20) và (3.24) ngụ ý rằng đối với mọi δ > 0,
|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6 2∆1/2+ 10.5(9.4p2M2)ppl/2n−p/2∆−p+P(|Vn2−1| > ∆).
Bây giờ chúng ta chọn ∆ = ∆(n) → 0 và p = p(n) → ∞ để giảm thiểu tổng của hai cụm từ đầu tiên ở trên. Đặt
∆ = 9.4M2Dn−1/2(logn)2 và p= logn.
Nếu n > e2thp > 2, và
2δ1/2+ 10.5(9.4p2M2)ppl/2n−p/2δ−p
6 6.2M D1/2n1/4logn+ 10.5D−logn(logn)1/2 6 (7M D1/2+ 2)n−l/4logn,
vì thế, ta giả định rằng D >e. Hậu quả là,
|P(Sn 6x)−Φ(x)| 6 (7M D1/2+ 2)n−1/4logn+P(|Vn2−1| > ∆), và kết hợp với(3.15) điều này ngụ ý (3.16). Các ràng buộc trong (3.16) áp dụng tầm thường nếu 2 6 n < e2. Điều kiện hạn chế đồng nhất (3.14) sẽ quá hạn chế đối với một số ứng dụng, nhưng nó có thể được thay thế bằng một giới hạn về các thời điểm mũ.
Định lý 3.2.3. Vẫn sử dụng ký hiệu trong định lý (3.2.1), giả sử rằng cho α >0 và các hằng số M, C và D
maxi6n E[exp(|n1/2Xi|α)]< M (3.25) và
P(|Vn2−1| > Dn−1/2(logn)2+2/α)6 Cn−1/4(logn)1+1/α (3.26) Khi đó với n>2
sup
−∞<x<∞
|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6 An1/4(logn)1+1/α (3.27) trong đó A là hằng số chỉ phụ thuộc α, M, C và D
Nhận xét 3.2.4. Như trong trường hợp của Định lý (3.2.1), kết quả tiếp tục giữ cho chuỗi bất kỳ chuỗi của σ− trường Fi sao cho Si,Fi là một martingale.
Chứng minh. Lưu ý rằng
sup
x>0
xpe−x = ppe−p, và vì thế với mọi x > 0
xp 6 ppe−pex. Hậu quả là,
npE|Xi|2p = E[(|n1/2Xi|α)2p/α] 6 (2p/α)2p/αe−2p/αM,
sử dụng (3.25). Kết hợp điều này với (3.24), chúng tôi suy ra rằng đối với các hằng số dương a và b không phụ thuộc vào n, p, hoặc ∆ và có thể được thực hiện tùy ý lớn,
P(|Tn−Vn2| > ∆)6a(bpα+1)2p/αpl/2n−p/2∆−p. Từ đó và từ (3.20) chúng ta có được
|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6 2∆1/2+a(bpα+1)2p/αpl/2n−p/2∆−p+P(|Vn2−1| >∆).
(3.28) Lần nữa, chúng ta chọn ∆ và p để giảm thiểu tổng của hai điều kiện đầu tiên. Lần này lựa chọn tối ưu là
∆ =b1+2/αn−1/2(logn)2+2/α và p= logn.
Khi đó
∆1/2+ (bpα+1)2p/αp1/2n−p/2∆−p = b1/2+l/αn−1/4(logn)1+1/α+b−logn(logn)1/2 6 cn−1/4(logn)1+1/α
với một hằng số c, nếu chúng ta chọn b > e. Quay trở lại (3.28), chúng ta thấy rằng
|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6dn−1/4(logn)1+1/α+P(|Vn2−1| >∆) với hằng số d và kết hợp với (3.26) điều này ngụ ý (3.27)
Kết luận
Tóm lại, Nội dung luận văn tìm hiểu và tổng kết một cách hệ thống các kết quả kinh điển về Luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm và một số định lý hội tụ cho Martingale.
1. Chương 1 trình bày một số khái niệm và tính chất của martingale cùng các bất đẳng thức cơ bản.
2. Chương 2 nghiên cứu Luật số lớn và các định lý hội tụ.
3. Chương 3: Định lý giới hạn trung tâm và tốc độ hội tụ của nó.