Trước hết ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 3.1. Xác định giá trị tổng quát un của dãy {un}∞n=0 với u0 = −1
un = 5un−1 + 1
Nhận xét 3.1. - Trong ví dụ này, dãy {un}∞n=0 không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân để áp dụng công thức tổng quát của cấp số thì ta phải đưa về cấp số.
- Ta nhận thấy ở biểu thức thứ (2) của bài toán nếu không có số 1 thì dãy {un}∞n=0 bài toán rõ ràng là cấp số nhân có công bội là q = 5. Do đó để biến thành cấp số nhân, ta phải tìm cách khử số 1 ở vế phải của (2).
Giải
Ta sẽ tìm số s ∈ R sao cho
un−s = 5(un−1 −s), n ∈ N. Suy ra
un = 5un−1 −4s = 5un−1 + 1
⇒s = −1 4 . Khi đó
un − −1
4 = 5(un−1 − −1 4 )
⇔un + 1
4 = 5(un−1 + 1 4).
Ta đặt
vn = un+ 1 4 Biểu thức trên trở thành
vn = 5vn−1
Vậy {vn}∞n=0 là cấp số nhân có công bội q = 5, số hạng đầu là v0 = u0 + 1
4 = −1 + 1
4 = −3 4. Ta có
vn = v0.5n = −3
4.5n = −3.5n
4 , n ∈ N. Vậy số hạng tổng quát cần tìm là
un = vn+ −1
4 = −3.5n+ 1
4 , n ∈ N Ví dụ 3.1 có thể tổng quát hóa như sau
Ví dụ 3.2. (Bài toán tổng quát) Xác định công thức tổng quát của dãy {un}∞n=0 với
u0 = a
un = αun−1 +β, n ≥ 1(α, β 6= 0) Giải
Vẫn ý tưởng của ví dụ 3.1 ta chia bài toán thành 2 trường hợp
1. Với α = 1 thì dãy {un}∞n=0 là cấp số cộng có công sai là d = β và số hạng đầu là u0 = a.
Khi đó số hạng tổng quát là
un = a+n.β, n ∈ N,∀a, β ∈ R,(β 6= 0).
2. Với α 6= 1 sẽ đi tìm số s ∈ R sao cho dãy đã cho trở thành cấp số nhân
un −s = α(un−1 −s), n ≥ 0.
Suy ra
un = αun−1 −(α−1)s = αun−1 +β
⇒s = β 1−α. Khi đó
un− β
1−α = α(un−1 − β 1−α).
Ta đặt
vn = un − β 1−α. Biểu thức trên trở thành
vn = αvn−1.
Vậy {vn}∞n=0 là cấp số nhân có công bội q = α,(α 6= 1), số hạng đầu là
v0 = u0 − β
1−α = a− β
1−α = a−β −aα 1−α . Ta có
vn = v0.αn = a−β −aα
1−α .αn, n ∈ N. Vậy số hạng tổng quát cần tìm là
un = vn+ β
1−α = a−β −aα
1−α .αn + β
1−α, n ∈ N.
Vậy số hạng tổng quát của bài toán là
un = a+n.β với α = 1
un = a−β −aα
1−α .αn + β
1−α với α 6= 1 với n∈ N;a, β ∈ R,(β 6= 0).
Ví dụ 3.3. Xác định công thức tổng quát của dãy {un}∞n=0 với u0 = 2
un = 4un−1 + 3n, n ≥ 1.
Giải
Vẫn với ý tưởng giống trên ta sẽ đưa về một dãy là cấp số nhân bằng cách: Tìm số s ∈ R sao cho
un −s.3n = 4(un−1 −s.3n−1), n ≥1, suy ra
un = 4un−1 −s.3n−1 = 4un−1 + 3n
⇒s = −3.
Khi đó
un + 3.3n = 4(un−1 + 3.3n−1).
Ta đặt vn = un+ 3.3n thay vào biểu thức trên ta được vn = 4vn−1.
Vậy dãy {vn}∞n=0 là một cấp số nhân có công bội q = 4. Ta có v0 = u0 + 3 = 5
vn = v0.4n = 5.4n,∀n∈ N∗. Do đó
un = vn−3.3n = 5.4n −3.3n, n ∈ N. Từ ví dụ trên ta đi đến Bài toán tổng quát sau
Ví dụ 3.4. (Bài toán tổng quát) Xác định công thức tổng quát của dãy {un}∞n=0 với
u0 = a (4.1)
un = αun−1 +β.γn, n ∈ N∗; (γ > 0) (4.2) Giải
a) Nhận thấy nếu β = 0 thì dãy số đã cho là một cấp số nhân với số hạng đầu là u0 = a và công sai q = α.
b) Nếu β 6= 0 thì ta có:
1. Nếu α = γ thay vào đề bài ta có
u0 = a (4.1a)
un = αun−1 +β.αn, n ∈ N∗; (α > 0) (4.2a) Ta sẽ đưa về một dãy là cấp số nhân bằng cách như sau: Tìm s ∈ R sao cho
un −s.αn = α(un−1 −s.αn−1) un = αun−1.
Vậy dãy đã cho là một cấp số nhân với số hạng đầu là u0 = a, công bội q = α và khi đó un = αun−1.
2. Nếu α 6= γ ta sẽ đưa về một dãy là cấp số nhân bằng cách như sau:
Tìm số s ∈ R sao cho
un−s.β.γn = α(un−1 −s.β.γn−1).
Suy ra
un = αun−1 −s.(α.β.γn−1 −β.γn) = αun−1 +β.γn
⇒s = γ γ −α Khi đó
un − γ
γ −α.β.γn = α(un−1 − γ
γ −αβ.γn−1)
Ta đặt vn = un − γ
γ −αβ.γn = un − βγn+1
γ −α biểu thức trên trở thành
vn = αvn−1
Vậy dãy {vn}∞n=0 là một cấp số nhân có công bội q = α. Ta có
v0 = u0 − βγ
γ −α = a− βγ γ −α vn = v0.αn = (a− βγ
γ −α).αn,∀n∈ N∗. Do đó
un = vn + βγn+1 γ −α
= (a− βγ
γ−α).αn+ βγn+1
γ −α,∀n ∈ N∗.
Vậy số hạng tổng quát của dãy là
un = αun−1;u0 = a với β = 1
un = αun−1;u0 = a với β 6= 1, α = γ un = (a− βγ
γ −α).αn+ βγn+1
γ −α;u0 = a với β 6= 1, α 6= γ.
với n∈ N∗;a ∈ R.
Chú ý 3.1. Trong ví dụ 3.4 ta giả thiết số hạng thứ hai của số hạng tổng quát có một thừa số mũ n, còn nếu như mũ k với k 6= n thì ta viết βγk = βγk−nγn rồi đặt β1 = βγk−n. Rồi giải tương tự trên do đó ta luôn có thể giả thiết thứ hai là βγn.
Ví dụ 3.5. Xác định công thức tổng quát của dãy {un}∞n=0 với
u0 = −2 (5.1)
un = 3un−1 + 4n+ 1, n ≥ 1. (5.2) Giải
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số này, ta tìm cách khử 4n+ 1 để chuyển về dãy số là một cấp số nhân, bằng cách tìm s, t∈ R sao cho:
un −(s.n+ t) = 3{un−1 −[s(n−1) +t]}.
Từ đây ta suy ra
un = 3un−1 + (s.n+t)−3[s(n−1) +t]
= 3un−1 −2sn−2t+ 3s, kết hợp với (5.2) ta có
3un−1 −2s.n−2t+ 3s = 3un−1 + 4n+ 1
⇔ −2s.n−2t+ 3s = 4n+ 1.
Chọn n = 1 ta được
s−2t= 5. (5.3)
Chọn n = 2 ta được
−s−2t = 9. (5.4)
Từ (5.3) và(5.4) ta có s = −2;t= −7
2 , do đó un + (2n+ 7
2) = 3{un−1 + [2(n−1) + 7 2]}.
Đặt vn = un+ (2n+ 7
2), ta có
vn = 3vn−1.
Vậy dãy {vn}∞n=0 là một cấp số nhân có công bội q = 3 và số hạng đầu là v0 = u0 + (2.0 + 7
2) = −2 + 7 2 = 3
2, nên
vn = v0.qn = 3 2.3n. Do đó
un = vn−(2n+ 7 2)
= 3
2.3n−2n− 7
2, n ∈ N. Từ ví dụ trên ta đi đến Bài toán tổng quát sau
Ví dụ 3.6. (Bài toán tổng quát) Xác định công thức tổng quát của dãy {un}∞n=0 với
u0 = a (6.1)
un = αun−1 +pk(n), n, k ∈ N∗ (6.2) trong đó pk(n) là một đa thức bậc k theo n.
Giải
Vẫn với ý tưởng như trên ta sẽ tìm cách khử đa thức pk(n) để đưa dãy đã cho về một dãy là cấp số nhân.
Đặt
un −qk(n) = α[un−1−qk(n−1)], (6.3) trong đó qk(n) là một đa thức bậc k theo n. Khi đó
un = αun−1 +qk(n)−αqk(n−1), kết hợp với (6.2) ta có
pk(n) = qk(n)−αqk(n−1). (6.4) Lần lượt cho n = 1; 2; 3....;k + 1 vào (6.4) ta thu được một hệ gồm k+ 1 phương trình. Giải hệ trên ta tìm được hệ số của qk(n).
Từ (6.3) ta đặt vn = un −qk(n), ta được một cấp số nhân thỏa mãn v0 = u0 −qk(0)
vn = αvn−1, n ∈ N∗
cấp số nhân có công bội q = α. Suy ra vn = v0qn = [a−qk(0)]αn. Vậy công thức tổng quát của un là:
un = [u0 −qk(0)]αn+qk(n), n ∈ N.
Ví dụ 3.7. Xác định công thức tổng quát của dãy {un}∞n=0 với
u0 = 1 (7.1)
un = 3un−1 +n2 + n−1, n ∈ N. (7.2) Giải
Để đưa dãy đã cho về cấp số nhân ta sẽ tìm cách khử đa thức3n2+n−1. Đặt
un−q2(n) = 3[un−1−q1(n−1)] (7.3) trong đó q2(n) = a2n2 +a1n+ a0. Khi đó
un = 3un−1 + q2(n)−3q1(n−1)
Kết hợp với (7.2) ta có
n2 +n−1 = q2(n)−3q1(n−1)
⇒n2 +n−1 = a2n2 + a1n+a0 −3(a1n+ a0)
⇔ n2+n−1 = a2n2−2a1n−2a0 (7.4) Lần lượt cho n = 1; 2; 3 vào (7.4) ta thu được một hệ phương trình
1 = a2 −2a1 −2a0 5 = 4a2 −4a1 −2a0 11 = 9a2 −6a1 −2a0
⇔
a0 = 1 2 a1 = −1 a2 = 1.2 Vậy đa thức q2(n) = n2 − 1
2n+ 1
2. Thế lên (7.3) ta được un −(n2 − 1
2n+ 1
2) = 3[un−1 −(−1
2n+ 1 2)]
Từ đó ta đặt vn = un−q2(n), ta được một cấp số nhân thỏa mãn (
v0 = u0 −q2(0) = 1− 1 2 = 1 vn = 3vn−1, n ∈ N∗ 2
cấp số nhân có công bội q = 3. Suy ra vn = 1
2qn = 1 2.3n Vậy công thức tổng quát của un là:
un = vn+q2(n) = 1
2.3n+n2 − 1
2n+ 1
2, n ∈ N. Ví dụ 3.8. Xác định công thức tổng quát của dãy {un}∞n=0 với
u0 = −2 (8.1)
un = 2un−1 + 5.3n −4.7n + 1, n ∈ N∗ (8.2) Giải
Để đưa dãy đã cho về cấp số nhân ta sẽ tìm cách khử : 5.3n−4.7n+ 1.
Đặt
un−(s.3n +t.7n+l) = 2[un−1 −(s.3n−1 + t.7n−1 +l)]
⇒un = 2un−1 +s.3n +t.7n)−2(s.3n−1 +t.7n−1)−l.
Kết hợp với (8.2 ) ta có
2un−1 +s.3n+t.7n −2(s.3n−1 +t.7n−1)−l = 2un−1 + 5.3n−4.7n+ 1
⇔ s.3n+t.7n−2(s.3n−1+t.7n−1) = 5.3n−4.7n+ 1. (8.3) Lần lượt cho n = 1; 2; 3 vào (8.3) ta được hệ phương trình
s+ 5t−l = −12 3s+ 35t−l = −150 9s+ 245t−l = −1236
⇔
s= 15 t= −28 l = −1.5 Do đó ta có
un −(15.3n− 28
5 .7n−1) = 2[un−1 −(15.3n−1 − 28
5 .7n−1 −1)].
Đặt vn = un−(15.3n − 28
5 .7n −1). Khi đó ta có vn = 2vn−1
, dãy {vn}∞n=0 là cấp số nhân với công bội q = 2 và số hạng đầu là v0 = u0 −(15.30 − 28
5 .70 −1) = −52 5 Vậy vn = v0.2n = −52
5 ã2n.
Số hạng tổng quát của cần tìm là un = vn+ (15.3n− 28
5 .7n−1) = −52
5 ã2n+ (15ã3n−28
5 ã7n−1), n ∈ N.