Phương pháp điểm gần kề được đề xuất bởi B. Martinet [34] vào năm 1970 cho bất đẳng thức biến phân và được phát triển bởi R.T. Rockafellar [50] trong năm 1976 cho bao hàm thức đơn điệu cực đại. Cũng từ đây, phương pháp này trở thành một trong những phương pháp thông dụng nhất để giải rất nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau như phương trình phi tuyến, bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, ..., và đến năm 1999, A. Moudafi [37] đã mở rộng phương pháp điểm gần kề vào BTCB đơn điệu.
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu thuật toán điểm gần kề xấp xỉ cho BTCB giả đơn điệu. Kết quả hội tụ của thuật toán này cho thấy, tương tự như phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề xấp xỉ có thể sử dụng được cho BTCB giả đơn điệu. Điểm khác biệt cơ bản của phương pháp điểm gần kề so với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, đó là: tại mỗi bước lặp của phương pháp điểm gần kề, bài toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp ở bước trước và tham số hiệu chỉnh ck >0 không cần dần đến 0. Cụ thể, xuất phát từ một điểm x0 := xg cho trước, tại mỗi bước lặp k = 1,2, ..., xét bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ được cho bởi
Eδk(K, fk) :
Tìm xk∈K sao cho fk(xk, y)≥ −δk, ∀y ∈K, trong đó
fk(x, y) :=f(x, y) +ck
x−xk−1, y−x ,
và δk ≥0 là sai số cho trước. Tương tự như ở phần trước, ta gọi một nghiệm của bài toán Eδk(K, fk)là một δk− nghiệm của bài toánE(K, fk) và ký hiệu tập tất cả các δk− nghiệm bởi SEδk(K, fk).
Định lý dưới đây chỉ ra tính hội tụ của thuật toán điểm gần kề xấp xỉ cho BTCB giả đơn điệu. Trong quá trình chứng minh định lý, chúng tôi có sử dụng
một vài kỹ thuật trong N.N. Tam, J.-C. Yao, N.D. Yen [52] và R.T. Rockafellar [50]. Trước hết, ta có bổ đề:
Bổ đề 4.4. (Xem [38, Lemma 2.2]) Cho {αn},{βn} và {γn} các dãy số trong R+ sao cho {γn} ∈l1 và
αn+1 ≤αn−βn+γn, ∀n ∈N. Khi đó {αn} hội tụ và {βn} ∈l1, trong đó
l1 :=
(
{γn} ⊂R+ :
∞
X
n=1
γn<+∞
) .
Định lý 4.5. Giả sử f giả đơn điệu trên K, thỏa mãn các giả thiết (A1),(A2) và bài toán E(K, f) có nghiệm. Cho {ck} và {δk} là hai dãy số không âm sao cho ck ≤c <+∞ với mọi k ∈N và P∞
k=1 δk
ck <+∞. Khi đó
a) Với mọi k ∈ N, tập δk− nghiệm SEδk(K, fk) là khác rỗng, compắc yếu và
kxk−1−xkk2+kxk−xk¯ 2 ≤ kxk−1−xk¯ 2+ 2δk
ck, (4.7) trong đó x¯∈SE(K, f) và xk ∈SEδk(K, fk).
b) Dãy {xk}, trong đó xk được chọn tùy ý trong SEδk(K, fk), hội tụ yếu về một nghiệm nào đó của bài toán E(K, f). Hơn nữa, nếu {xk} có một dãy con {xkj}hội tụ mạnh về x∗ ∈ H nào đó thì x∗ ∈SE(K, f)và xk hội tụ mạnh về x∗.
Chứng minh. a) Sử dụng Bổ đề 4.2 với xg =xk−1 ∈K và ε=ck>0, ta thấy tập δk− nghiệm SEδk(K, fk) của bài toán E(K, fk) là khác rỗng và compắc yếu với mọi k = 1,2, .... Để chứng minh bất đẳng thức (4.7) chỉ cần áp dụng Bổ đề 4.1.a) với
ε =ck, xg =xk−1, x(ε) =xk, δ=δk.
b) Cố định một điểm x¯bất kỳ trong tập nghiệm của bài toánE(K, f). Lấy xk ∈SEδk(K, fk) với k ≥1. Từ (4.7), ta có
kxk−xk¯ 2 ≤ kxk−1−xk¯ 2+ 2δk
ck. (4.8)
Do P+∞
k=1 δk
ck <+∞ nên có thể áp dụng Bổ đề 4.4 với αn=kxk−xk¯ 2, βn = 0, γn = 2δk
ck, ta nhận được
k→∞lim kxk−xk¯ =à <∞. (4.9) Sử dụng lần nữa bất đẳng thức (4.7), ta có thể viết
kxk−xk−1k2 ≤ kxk−1−xk¯ 2− kxk−xk¯ 2+ 2δk ck. Do tính chất (4.9) và vì δck
k →0khi k → ∞nên
k→∞lim kxk−xk−1k= 0. (4.10) Mặt khác, dãy
nPk j=1
δj
cj
o
bị chặn, tức là
∃M > 0 : 0≤2
k
X
j=1
δj
cj ≤M, ∀k.
Từ đây và (4.8) suy ra rằng kxk−xk¯ 2 ≤ kx0−xk¯ 2+ 2
k
X
j=1
δj
cj ≤ kx0−xk¯ 2+M,∀k
⇒ kxk−xk ≤¯ p
kx0−xk¯ 2+M , ∀k
⇒ kxkk ≤ k¯xk+p
kx0−xk¯ 2+M , ∀k
⇒xk∈SEδk(K, fk)⊂B
0,k¯xk+p
kx0 −xk¯ 2 +M
∩K, ∀k.
Do đó {xk} bị chặn nên sẽ có một dãy con {xkj} ⊆ {xk} sao cho xkj * x∗ ∈B
0,k¯xk+p
kx0−xk¯ 2+M
∩K.
Vì xkj là một δkj−nghiệm của bài toán E(K, fkj) với mỗikj nên fkj(xkj, y) =f(xkj, y) +ckj
xkj −xkj−1, y−xkj
≥ −δkj, ∀y ∈K. (4.11) Bởi tính chất (4.10), tính nửa liên tục trên yếu của f(., y) và các điều kiện 0< ckj < c <+∞,δkj →0+ nên từ (4.11), ta có
0≤limkj→∞fkj(xkj, y)≤limkj→∞f(xkj, y)≤f(x∗, y), ∀y∈K.
Điều này có nghĩa là x∗ ∈SE(K, f).
Bây giờ ta sẽ chứng tỏ x∗ là điểm giới hạn yếu duy nhất của {xk}. Thực vậy, giả sử x∗1 và x∗2 là hai điểm giới hạn yếu phân biệt của {xk}. Khi đó x∗1, x∗2 ∈ SE(K, f) như ta thấy ở trên. Vì vậy ta có thể áp dụng (4.9) cho x∗i (i= 1,2) đóng vai trò của x¯ để nhận được
k→∞lim kxk−x∗ik=ài, i= 1,2. (4.12) Rõ ràng
2
xk−x∗1, x∗1−x∗2
=kxk−x∗2k2− kxk−x∗1k2− kx∗1−x∗2k2. (4.13) Vì x∗1 là điểm tụ yếu của {xk} nên từ (4.12) và (4.13), ta có
0 = 2 lim
k→∞
xk−x∗1, x∗1−x∗2
=à22−à21− kx∗1−x∗2k2. Suy ra
à22−à21 =kx∗1−x∗2k2 >0.
Đổi vai trũ của x∗1 và x∗2 cho nhau ta cũng cú à21 −à22 > 0. Điều mõu thuẫn này khẳng định tính duy nhất của điểm giới hạn yếu của dãy {xk}.
Để chứng minh khẳng định cuối, giả sử {xk} có một dãy con{xkj} hội tụ mạnh về x∗ ∈ Hnào đó. Tương tự như trên, ta thấyx∗ ∈SE(K, f). Áp dụng (4.8) với x¯=x∗, ta nhận được
kxk−x∗k2 ≤ kxk−1−x∗k2+ 2δk ck
, ∀k ∈N. (4.14) Với mọi γ > 0, do limkj→∞kxkj −x∗k = 0 và P∞
k=1 δk
ck <+∞ nên có thể tìm được l∈N sao cho
kxkl−x∗k ≤ γ
√2 và
∞
X
i=kl+1
δi ci
≤ γ2 4 . Do đó, với k > kl+ 1, từ (4.14) suy ra
kxk−x∗k2 ≤ kxk−1−x∗k2+ 2δk ck
≤ kxk−2−x∗k2+ 2 δk
ck + δk−1
ck−1
≤...
≤ kxkl−x∗k2+ 2 δk
ck
+ δk−1
ck−1
+...+ δkl+1 ckl+1
≤ γ2 2 +γ2
2 =γ2.
Vậy
kxk−x∗k ≤γ, ∀k > kl+ 1.
Do đó, limk→∞kxk−x∗k= 0, tức là{xk} hội tụ mạnh về x∗.
Ví dụ 4.2.1. Với bài toán E(K, f)trong Ví dụ 4.1.1, theo phương pháp điểm gần kề, bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ Eδk(K, fk) của bài toán đó là
Tìm xk ∈K sao cho fk(xk, y) := f(xk, y) +ck
xk−xk−1, y−xk
≥ −δk, ∀y ∈K,
trong đó x0 =xg = (xg1, xg2, ..., xgi, ...)∈K là điểm xuất phát của dãy lặp đóng vai trò nghiệm phỏng đoán của bài toán E(K, f); {ck} và {δk} là hai dãy số không âm sao cho ck ≤c <+∞với mọi k ∈N và P∞
k=1 δk
ck <+∞; và fk(xk, y) = (2− kbxkk)
bxk,yb−xbk +ck(xk1 −xk−11 )(y1−xk1) +ck
bxk−bxk−1,yb−xbk
=ck(xk1 −xk−11 )(y1−xk1) +ck
(2− kxbkk+ck)bxk−ckbxk−1,yb−xbk . Tương tự như trong Ví dụ 4.1.1, ta thấy, nếu
xk1 =xk−11 ,(2− kbxkk+ck)xbk−ckbxk−1 = 0
được thỏa mãn thì xk = (xk1,bxk) là một nghiệm của bài toán Eδk(K, fk) và ta cũng có ước lượng
0≤ kxbkk=k ckbxk−1
2− kbxkk+ckk ≤ ck√ 2 2−√
2 +ck.
Tuy nhiên, khác với Ví dụ 4.1.1 khi sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, trong trường hợp này do khik → ∞thì ck 90nên từ ước lượng đó ta không suy ra được dãy xk hội tụ mạnh đến một nghiệm cụ thể nào đó của bài toán gốcE(K, f)mà chỉ có kết luận được rằng dãy này bị chặn và nó sẽ hội tụ yếu về một nghiệm nào đó của bài toán gốc như định lý trên đã khẳng định.
Hệ quả 4.6. Giả sử K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Euclide Rn; f giả đơn điệu trên K và thỏa mãn các giả thiết (A1),(A2); bài toán E(K, f) có nghiệm. Cho {ck} và {δk} là hai dãy số dương sao cho ck < c < +∞ và P∞
k=1 δk
ck <+∞. Khi đó
a) Với mọik, tậpδk−nghiệm của bài toánE(K, fk)là khác rỗng và compắc.
b) Dãy{xk}, vớixk là δk−nghiệm tùy ý của bài toán E(K, fk), hội tụ mạnh về một nghiệm nào đó của bài toán E(K, f).
Chứng minh. Áp dụng Định lý 4.5 và để ý đến tính chất, bất kỳ dãy bị chặn nào trong không gian EuclideRn đều có dãy con hội tụ mạnh, ta có được các khẳng định của định lý.
Nhận xét 4.2.1. Định lý 4.5 cho thấy rằng, mọi quỹ đạo của thuật toán điểm gần kề đều có chung một điểm giới hạn yếu. Tuy nhiên, việc tìm điểm giới hạn này là một việc khó khăn bởi sự hội tụ đó là không mạnh và các kết quả trong định lý nói trên không đưa ra được cách xác định được điểm giới hạn này.
Để khắc phục hạn chế nói trên, B.V. Dinh và L.D. Muu [17] đã đưa ra một thuật toán, lai ghép giữa phương pháp điểm gần kề và phương pháp siêu phẳng cắt, nhằm tạo ra được sự hội tụ mạnh của dãy lặp cũng như chỉ ra cách xác định được điểm giới hạn của dãy. Thuật toán được mô tả như sau:
Giả sử δk≥0với mọik ∈Nvàxg ∈K là nghiệm phỏng đoán của bài toán E(K, f). Xuất phát từx1 =xg, thuật toán xây dựng hai dãy lặp {xk} và{uk} thỏa mãn
uk ∈K :fk(uk, y)≥ −δk,∀y∈K, xk+1 =PBk(xg),
(4.15) trong đó
fk(uk, y) := f(uk, y) +ck
ukưxk, yưuk
và Bk :=Ck∩Dk với Ck và Dk là hai nửa không gian được xác định bởi Ck :=
z ∈ H:kuk−zk2 ≤ kxk−zk2+ 2δk
ck
, Dk :={z ∈ H :
xk−z, xg −xk
≥0}.
Định lý sau đây, đã được chứng minh bởi B.V. Dinh và L.D. Muu, cho thấy các dãy lặp trong thuật toán nói trên, hội tụ mạnh đến cùng một điểm, chính là hình chiếu của xg lên tập nghiệm Ke :=SE(K, f) của bài toánE(K, f).
Định lý 4.7. (Xem [17, Theorem 3.1]) Giả sử f giả đơn điệu trên K, thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2) và bài toán E(K, f) có nghiệm. Cho {ck},{δk} là
hai dãy số sao cho∞> c0 > ck > c >0 với mọik ∈N vàP∞
k=1δk <∞, trong đó c, c0 là các hằng số cho trước. Khi đó, cả hai dãy {uk} và {xk} được xác định bởi (4.15) hội tụ mạnh tới hình chiếu của xg trên tập nghiệm SE(K, f) của bài toán E(K, f).