CHƯƠNG II KHAI PHÁ LUẬT KẾT HỢP MỜ
2.1. Khái niệm về tập mờ (Fuzzy set)
Tập mờ hay tập hợp mờ (Fuzzy set) là một mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển. Trong lý thuyết tập hợp kinh điển, mức độ thuộc của các phần tử trong một tập hợp đƣợc đánh giá theo kiểu nhị phân theo một điều kiện rõ ràng, tức là một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp. Ngƣợc lại, lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá về quan hệ phụ thuộc của một phần tử vào một tập hợp; quan hệ này đƣợc mô tả bằng một hàm thuộc hay hàm thành viờn (Membership function) àF. Cỏc tập mờ đƣợc coi là một mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển vì với một không gian nền hay vũ trụ nhất định, một hàm có thể giữ vai trò của một hàm đặc trƣng ánh xạ mỗi phần tử tới một giá trị 0 hoặc 1 nhƣ trong khái niệm kinh điển.
Ví dụ 2.1: Xét tập F là tập gồm những người trẻ. Trong trường hợp này sẽ không có ranh giới rõ ràng để khẳng định một người nào đó có là phần tử của F hay không?
(ranh giới này là mờ không rõ ràng). Ta chỉ có thể nói một người thuộc vào tập F ở mức độ àF nào đú. Vớ dụ chỳng ta cú thể đồng ý với nhau rằng một người 35 tuổi thuộc vào tập F‟ với độ thuộc là 0.6. Ta gọi những tập nhƣ vậy là tập mờ và đồng nhất tập mờ F với một hàm thuộc àF: U [0,1]. Mọi người thuộc khụng gian U đều có thể thuộc vào tập F với một độ thuộc nào đó.Từ “trẻ” gọi là “khái niệm mờ”.
Nhìn chung phần lớn những khái niệm mờ đều có thể dễ dàng biểu thị bằng những tập mờ và do đó lý thuyết tập mờ cho ta tiềm năng mô hình hóa toán học một lớp rộng các bài toán thực tế, đặc biệt là bài toán liên quan đến tƣ duy, đến suy nghĩ và quá trình lấy quyết định của con người [3].
2.1.2. Định nghĩa tập mờ
Một tập mờ F xác định trên tập kinh điển U là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp cỏc giỏ trị (x, àF(x)) trong đú x U và àF là ỏnh xạ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
àF: U [0,1]
trong đú àF (x) là hàm liờn thuộc (hoặc hàm phụ thuộc) của tập mờ F. Tập kinh điển U đƣợc gọi là tập cơ sở của tập mờ F [18].
Khi àF(x) = 0 thỡ x F hoàn toàn Khi àF(x) = 1 thỡ x F hoàn toàn
àF(x) được biểu diễn dưới dạng đồ thị hoặc dạng bảng…
Hàm thuộc àF(x) lƣợng húa mức độ mà cỏc phần tử x thuộc về tập cơ sở F.
Nếu hàm cho kết quả 0 đối với một phần tử thì phần tử đó không có trong tập đã cho, nếu hàm cho kết quả 1 thì phần tử đó thuộc toàn phần vào tập đã cho. Các giá trị trong khoảng mờ từ 0 đến 1 đặc trƣng cho các phần tử mờ.
Có 3 cách tính độ thuộc của phần tử x nào đó vào tập mờ F
Cỏch 1: Tớnh trực tiếp ( nếu àF(x) cho trước dưới cụng thức tường minh) Cỏch 2: Tra bảng (nếu àF(x) cho trước dưới dạng bảng)
Cỏch 3: Tỡm cỏc giỏ trị tương ứng trờn đồ thị (nếu àF(x) biểu diễn dưới dạng trờn đồ thị)
Với hàm thuộc, một tập mờ F đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
F = (à(x1)/x1 + à(x2)/x2 +…+ à(xn)/xn) =
n
i 1à(xi)/xi Trong đú xi U, 1 ≤ i ≤ n.
2.1.3. Định nghĩa hàm thuộc
Hàm àF : U [0,1] đƣợc gọi là hàm thuộc hoặc hàm thành viờn của tập mờ F. Khi đú mỗi phần tử x U cú giỏ trị àF(x) đƣợc gọi là độ thuộc của x vào F hay àF(x) đo “mức độ” mà theo đú x thuộc về tập F. Độ thuộc àF(x) cũn đƣợc gọi là cỏc giá trị mờ của x vào F.
Ví dụ 2.2: Xem một tập trình độ U với các phần tử sau: 0 – thất học, 1 – tốt nghiệp tiểu học, 2 – tốt nghiệp trung học, 3 – tốt nghiệp cao đẳng, 4 – tốt nghiệp đại học, 5 – tốt nghiệp thạc sĩ, 6 – tốt nghiệp tiến sĩ.
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tập vũ trụ U là hữu hạn. Xem một biến ngôn ngữ học vấn các giá trị là các tập mờ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
học vấn cao (A), học vấn trung bình (B), học vấn thấp (C) trên tập trình độ U. Mức độ thuộc của các trình độ lên các tập mờ học vấn đƣợc xây dựng nhƣ bảng sau :
Học vấn
Trình độ
0 1 2 3 4 5 6
A 0 0 0 0.1 0.5 0.8 1 B 0 0 0.2 0.6 0.8 1 1
C 1 0.8 0.5 0 0 0 0
2.1.4. Các phép toán cơ bản trên tập mờ
Các phép toán lý thuyết tập hợp cổ điển đã đƣợc mở rộng để xử lý các tập mờ.
Cho không gian U, cho A và B là hai tập mờ xác định trong cùng không gian U. Khi đó ta có các phép toán sau:
Phép hợp:
Hợp của hai tập mờ (AB) thể hiện mức độ một phần thuộc về một trong hai tập.
Hợp của hai tập mờ A và B là tập mờ AB cú hàm thuộc tương ứng là àAB(u).
Cú nhiều cụng thức khỏc nhau đƣợc dựng để tớnh hàm thuộc àAB(u) cho hợp hai tập mờ, với mọi u U.
àAB(u) = Max (àA(u), àB(u)) àAB(u) = Min {1, àA(u), àB(u)}
àAB(u) = àA(u) + àB(u) - àA(u)àB(u)
Ví dụ 2.3: Cho U = {1, 2, 3, 4, 5}, A và B là các tập mờ trong U nhƣ sau:
A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)}
B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)}
Ta có: AB = {(1,0), (2,1), (3,0.7), (4,0.3), (5,0.4)}
Phép giao:
Giao của hai tập mờ (AB) trong không gian U thể hiện mức độ một phần tử thuộc về cả hai tập. Giao của hai tập mờ A và B là tập mờ AB có hàm thuộc tương ứng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
là àAB(u).
Cỏc cụng thức để tớnh hàm thuộc cho giao của hai tập mờ àAB(u):
àAB(u) = Min (àA(u), àB(u)) àAB(u) = Max (0, àA(u)+ àB(u) -1) àAB(u) = àA(u).àB(u)
Ví dụ 2.4: Xét ví dụ 2.3
Ta có A B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.5), (4,0.2), (5,0.2)}
Phép bù:
Bù của một tập mờ thể hiện mức độ một phần tử không thuộc về tập đó. Phần bù của tập mờ A là tập mờ Ā
àĀ(u) = 1 - àA(u) với mọi u U Phép bằng nhau:
A1 = A2 àA1(u) = àA2(u) với mọi u U Phép T – norm (T- chuẩn):
Trong lý thuyết tập mờ, nó có vai trò giống nhƣ phép toán logic And trong logic cổ điển. Có nhiều cách để lựa chọn T-norm nhƣ:
- Phép lấy min: a b = min(a,b) - Tích đại số: a b = ab
- Tích bị chặn: a b = max (0,a+b-1)
- Phép giao: a b = 1- min [1, ((1-a)w + (1-b)w)1/w] (với w>0)
Phép tích đề các: A1 A2 .... An đƣợc định nghĩa thành tập mờ u1 u1 ... un Trong đú àA1 àA2 ... àAn (u1…..un) = min (àA1 (u1), àA2 (u2), … , àAn (un))
Dựa vào các định nghĩa này, hầu hết các tính chất của các phép toán tập hợp cổ điển, chẳng hạn nhƣ luật của DeMorgan, cũng đúng với tập mờ. Luật duy nhất của lý thuyết tập hợp cổ điển khụng cũn đỳng là luật loại trừ, tức là A Ā ≠ ỉ và AĀ ≠ U, trong đú ỉ là tập rỗng. Hai tập mờ đƣợc xỏc định là bằng nhau nếu A B và A B.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn