2.3 Ma trận hiệp phương sai
2.3.2 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp độc lập cùng phân bố
Định lý 2.7. ([3], p.47) Giả sử {xij} là các biến ngẫu nhiên thực độc lập cùng phân bố với trung bình không và phương sai một. Giả sử rằng p/n→y∈(0,∞). Thì với xác suất 1, ESD của S hội tụ đến luật M - P:
ρy(x) =
( 1 2πxyσ2
p(b−x)(x−a) a ≤x≤b 0 ngược lại
a=a(y) =σ2(1−y1/2)2; b=b(y) =σ2(1 +y1/2)2, y là chỉ số tỉ lệ giữa số chiều và cỡ mẫu , σ2 là chỉ số tỉ lệ.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ đưa ra chứng minh đối với trường hợp ma trận hiệp phương sai phức ngẫu nhiên.
Định lý 2.8. ([3], p.47) Giả sử {xij} là các biến ngẫu nhiên phức độc lập cùng phân bố với trung bình không và phương sai một. Giả sử rằng p/n→y∈(0,∞). Thì với xác suất 1, ESD của S hội tụ đến phân bố giới hạn được mô tả trong định lí 2.7
Chứng minh của định lí dựa trên hai bổ đề sau:
Bổ đề 2.11. (Bất đẳng thức hạng [3], p.502) Cho A, B là hai ma trận phức cấp p×n thì:
||FAA∗−FBB∗|| ≤rank(A−B) (2.27) Bổ đề 2.12. (Bất đẳng thức sai phân [3], p.503) Cho A và B là hai ma trận phức cấp p×n thì:
L4(FAA∗, FBB∗)≤ 2
p2tr((A−B)(A−B)∗)tr(AA∗+BB∗) (2.28)
Bây giờ chúng ta phác thảo chứng minh định lí 2.7.
Cho C là số dương, định nghĩa:
bxij =xijI(|xij| ≤C) exij =bxij −E(bx11) bxi = (bxi1, . . . ,bxip)
0
exi = (exi1, . . . ,exip)
0
bS= 1 n
n
X
i=1
bxibx
∗ i = 1
nXbXb∗
eS= 1 n
n
X
i=1
exiex
∗ i = 1
nXeXe∗
Viết ESD của bS và Se là FSb và FeS tương ứng. Do bổ đề 2.12 và luật mạnh số lớn, ta có:
L4(FbS, FSe)≤ 2 np
X
i,j
(|x2ij|+|bx
2 ij|)
! 1 np
X
i,j
(|xij −bxij|
2)
!
≤ 4 np
X
i,j
|x2ij|
! 1 np
X
i,j
(|x2ij|I(|xij|> C))
!
→4E(|x2ij|I(|xij|> C))
(2.29)
Chú ý rằng bên phải của (2.29) nhỏ tùy ý nếu chọn C đủ lớn.
Hơn nữa, từ bổ đề 2.11 chúng ta có:
||FSb−FSe|| ≤ 1
prank(EX) =b 1
p (2.30)
Viết eσ
2 =E(|xejk|
2)→1 khi C → ∞. Áp dụng bổ đề 2.12, ta có:
L4(FSe, Feσ−2Se)≤2 1 +eσ
2
npeσ
2
X
i,j
|exij|
2
! 1−eσ
2
npeσ
2
X
i,j
|exij(c)|
2
!
→2(1−eσ
4).a.s.
(2.31)
Chú ý rằng, phía bên phải của bất đẳng thức nhỏ tùy ý nếu chọn C đủ lớn.
Kết hợp với (2.29), (2.30), (2.31) chúng ta có thể giả sử rằng các biến xjk bị chặn đều với trung bình 0 và phương sai 1. Ta sử dụng định lí hội tụ moment:
Moment cấp h của của FS là:
Z
xhFSdx= 1 ptr(Sh)
=p−1n−h X
{i1,...,ik}
X
{j1,...,jk}
xi1j1x¯i2j1xi2j2. . . xikjkx¯i1jk
Để hoàn thành chứng minh định lý 2.7 ta cần có được:
E(1
ptr(Sh)) =
h−1
X
r=0
ynr r+ 1
h r
h−1 r
+O(n−1)
với yn =p/n
Var(1
ptr(Sh)) =O(n−2)
(Chứng minh hai điều trên thuộc lĩnh vực lí thuyết đồ thị nên tôi không đưa ra ở đây. Để rõ hơn xem trong [3].)
Vậy do định lý hội tụ moment ta có điều phải chứng minh.
3
2.3.3 Luật Marchenko-Pastur đối với trường hợp không phải độc lập cùng phân bố
Định lý 2.9. ([3], p.51) Giả sử rằng, với mọi n các phần tử của X là biến ngẫu nhiờn phức độc lập với trung bỡnh à và phương sai σ2. Giả sử p/n →y∈(0,∞), với mọi η sao cho:
1 η2np
X
jk
E(|x(n)jk |2I(|x(n)jk |2≥η√
n))→0 (2.32)
thì với xác suất một, ESD của S tiến đến luật M -P với chỉ số y, σ2 Chứng minh
Chúng tôi chỉ đưa ra phác thảo của chứng minh định lý này. Không mất tính tổng quỏt, ta giả sử rằng à= 0 và σ2 = 1. Ta cú thể chọn một dóy ηn ↓0 sao cho (2.32) vẫn đúng khi η được thay thế bởi ηn. Khi (2.32) được sử dụng, chúng ta sẽ thay thế η bởi ηn.
Áp dụng Bổ đề 2.11 và bất đẳng thức Bernstein, từ điều kiện (2.32), chúng ta có thể chặt cụt các biến x(n)ij tại ηn√
n. Sau đó, áp dụng bổ đề 2.12, điều kiện
(2.32), chúng ta có thể tái kiểm soát và thay đổi tỉ lệ các biến chặt cụt. Tiếp tục giả sử rằng:
1)|xij|< ηn
√n 2)E(xij) = 0,Var(xij) = 1
Như trong chứng minh của định lý 2.7, ta có thể thấy hai khẳng định sau đây:
E(1
ptr(Sh)) =
h−1
X
r=0
ynr r+ 1
h r
h−1 r
+o(1) với yn =p/n
E|1
ptr(Sh)−E(1
ptr(Sh))|4 =o(n−2) Chứng minh của định lý 2.9 hoàn tất.
3 Bây giờ chúng ta xét trường hợp p→ ∞ nhưng p/n→ ∞ khi p→ ∞. Có thể hiểu rằng hầu hết các giá trị riêng tiến đến 1 do đó ESD củaS suy biến tiến đến một. Để xét dáng điệu các giá trị riêng của ma trận hiệp phương sai mẫu S, ta xét ESD của ma trận W=p
n/p(S−σ2Ip) = 1
√np(XX∗−nσ2Ip).
Định lý 2.10. ([3], p.623) Giả sử với mỗi n các phần tử của ma trận X là biến ngẫu nhiên phức độc lập với trung bình chung và phương sai σ2. Giả sử rằng với mọi hằng số η >0, khi p→ ∞ với p/n→0,
1 pη2√
np X
jk
E(|x(n)jk |2I(|x(n) jk|≥η√4
np)) =o(1) (2.33) và
1 p2n
X
jk
E(|x(n)jk|4I(|x(n) jk|≤η√4
np)) = o(1) (2.34)
thì với xác suất 1 ESD của W tiến đến luật bán nguyệt với chỉ số tỉ lệ σ2. Nhận xét 2.1. [3] Điều kiện (2.33) và (2.34) đúng nếu các phần tử của X bị chặn bởi moment cấp bốn.
Bổ đề 2.13. (Bất đẳng thức hạng [3], p.614) Cho A, B là hai ma trận Hermit cấp n×n, thì:
||FA −FB|| ≤ 1
nrank(A−B)
Bổ đề 2.14. (Bất đẳng thức sai phân [3], p.614) Cho A, B là hai ma trận phức cấp n×n với các giá trị riêng phức λ1, . . . , λn và η1, . . . , ηn, tương ứng. Thì:
minπ n
X
k=1
|λk−λπk|2 ≤tr(A−B)(A−B)∗
với π là hoán vị trên {1, . . . , n}. Hơn nữa, nếu A, B là Hermit thì L3(FA, FB)≤ 1
ntr(A−B)2
với L(F, G) là khoảng cách Levy giữa hàm phân bố F và G.
Chứng minh của định lí 2.10 dựa trên những điều sau đây. Áp dụng bổ đề 2.11, chúng ta giả sử trung bình là không. Chặt cụt các phần tử của X tại ηp√4
np với ηp → 0 sao cho (2.33) và (2.34) đúng với η thay thế bởi ηp. Từ điều kiện (2.33), P
jk
P(|x(n)jk | ≥ηp√4
np) =o(p). Từ điều này và áp dụng bất đẳng thức Hoeffding, chúng ta có thể chứng minh rằng xác suất để số phần tử bị chặt cụt của X lớn hơn εp là nhỏ hơn Ce−bp với mọi b >0.
Áp dụng bổ đề 2.12 có:
1 p
X
jk
|E(x(n)jk )I[|x(n) jk|≥ηp√4
np]|2 =o(1) và
1 np2
X
jk
|x(n)jk |2I[|x(n) jk|≤ηp√4
np]=o(1), a.s
Vấn đề tiếp theo là cần phải loại bỏ phần tử đường chéo của W. Viết yl = I
{ 1
√np|
Pn
j=1(|xlj|2−σ2)|≥ε}
. Chú ý điều kiện (2.34),
p
X
l=1
E(yl)≤ 1 ε2√
np X
l,j
E(|xlj|4I|xlj|≤ηp√4
np) =o(p)
Áp dụng bất đẳng thức Hoeffding, chúng ta có:
P(
p
X
l=1
yl ≥εp)≤2e−bp (2.35)
với b > 0. Áp dụng bổ đề 2.13 ta có thể thay thế các phần tử đường chéo lớn hơn ε của W bởi 0, từ số lượng phần tử là o(p) bởi (2.35). Do bổ đề 2.14 ta có thể thay thế những phần tử nhỏ hơn ε bởi 0.
Để hoàn tất chứng minh, chúng ta giả sử W = ( 1
√np
n
P
j=1
xi1jxi2j(1−δi1,i2)) với δjk là delta Kronecker. Cần chứng minh rằng:
E(tr(Wk)) =
(2s)!σ2h
s!(s+ 1)! +o(1) h= 2s 0(1) h= 2s+ 1 E[tr(Wh)−E(tr(Wh))4] =O( 1
p2)
(Do hai điều này khá dài và thuộc lĩnh vực lí thuyết đồ thị nên chúng tôi không đưa ra ở đây, xem trong [3].)
Vậy do định lý hội tụ moment ta có điều phải chứng minh.
3