2.1 Chuẩn lôgarit cho cặp ma trận
2.1.3 Chuẩn lôgarit của cặp ma trận
Với nửa chuẩn định nghĩa ở trên, ta sẵn sàng mở rộng khái niệm chuẩn lôgarit cho cặp ma trận.
Định nghĩa 2.1.15. Cho(A, B)là cặp ma trận trongRn vàV là một không gian con chấp nhận được chokA, .kV. Ta định nghĩachuẩn lôgarit của cặp ma trậnnhư sau
àV[A, B] = lim
h→0+
kA, A−hBkV −1
h . (2.4)
Mệnh đề 2.1.16. Giới hạn (2.4) tồn tại cho tất cả cặp ma trận (A, B)và tất cả nửa chuẩn được xác định.
Chứng minh. Giả sửθ ∈(0,1)thì
kA, A−θhBkV =kA, θ(A−hB) + (1−θ)AkV
≤θkA, A−hBkV + (1−θ)kA, AkV.
Với định nghĩa của nửa chuẩn được định nghĩa ở phần trên,kA, AkV = 1. Do vậy kA, A−θhBkV −1
θh ≤ θkA, A−hBkV + (1−θ)−1 θh
= kA, A−hBkV −1 h
và hệ quả là
f(h) = kA, A−hBkV −1 h
là một hàm số không giảm củah. Từ
kA, A−hBkV ≤ kA,−hBkV +kA, AkV =hkA, BkV + 1 và
1 =kA, AkV =kA, A−hB+hBkV ≤ kA, A−hBkV +hkA, BkV ta có
− kA, BkV ≤ kA, A−hBkV −1
h ≤ kA, BkV (2.5)
và do đó giới hạn (2.4) tồn tại.
Trong trường hợpA=InvàV =Rn, giới hạn (2.4) trở thànhà[−B]. Kết quả tiếp theo chỉ ra một số tính chất của chuẩn lôgarit định nghĩa cho cặp ma trận.
Mệnh đề 2.1.17. Những tính chất sau đây đúng cho chuẩn lôgarit.
(i) −kA, BkV ≤àV[A, B]≤ kA, BkV; (ii) Với bất kỳ số thựcα, β,α6= 0
àV[αA, βB] = |β|
|α|àV[A,sgn(αβ)B];
(iii) àV[A, B+C]≤àV[A, B] +àV[A, C];
(iv) Nếu V chứa một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ bất kì của (A, B) thì Re(λ)≤àV[A, B];
(v) àV[A, B+zA] =àV[A, B] + Re(z), ∀z ∈C;
(vi) Nếuk.klà một chuẩn sinh ra từ một tích vô hướng thì àV[A, B] = max
Ax6=0 x∈V
hAx,−Bxi hAx, Axi . Điều này có nghĩa là chuẩn lôgarit là hằng số nhỏ nhất mà
hAx,−Bxi ≤vhAx, Axi, ∀x∈V;
(vii) NếuAlà khả nghịch vàV =Rn thì
àV[A, B] =àV[In, BA−1] =à[−BA−1];
(viii) kBxk ≥max{−àV[A, B],−àV[A,−B]}, ∀x∈V; (ix) Với ma trận thông thườngT vàTe,
àV,T(A, B) =àV(T A, T B) = à
T Ve (T ATe−1, T BTe−1), và nếuV làTe−bất biến thì
àV,T(A, B) =àV(T ATe−1, T BTe−1).
Chứng minh. Phần (i) được suy ra từ (2.5) (ii) Ta có
kαA, αA−hβBkV =
αA, α
A−hβ αB
V
=
A, A−hβ αB
V
.
Do đó, ta có thể tính
àV[αA, βB] = lim
h→0+
kαA, αA−hβBkV −1 h
= lim
h→0+
A, A−hβ αB
V
−1 h
= |β|
|α| lim
h→0+
A, A−h|β|
|α|sgn(αβ)B V
−1 h|β|
|α|
= |β|
|α|àV[A,sgn(αβ)B].
(iii) Sử dụng những tính chất nửa chuẩn định nghĩa ở trên, ta có àV[A, B +C] = lim
h→0+
kA, A−h(B+C)kV −1 h
≤ lim
h→0+
kA,1
2A−hBkV − 1 2
h +
kA,1
2A−hCkV − 1 2 h
= lim
h→0+
kA, A−2hBkV −1
2h + kA, A−2hCkV −1 2h
=àV[A, B] +àV[A, C].
(iv) Ta lấy bất kìh >0, nếu v là một vectơ riêng của (A, B)với giá trị riêngλ, thìv là một vectơ riêng của(A, A−hB)với giá trị riêng −1−hλ. Vì|λ| ≤ kA, BkV
|hλ+ 1| −1
h ≤ kA, A−hBkV −1
h , (2.6)
khih→0+, vế phải của (2.6) tiến tớiàV(A, B). Rỳt gọn vế trỏi, ta được
|hλ+ 1| −1
h = 2Reλ+h(Reλ)2+h(Imλ)2 p(1 +hReλ)2+ (hImλ)2+ 1 và do đó, khih→0+, vế trái của (2.6) tiến tới Re(λ).
(v) Có thể kiểm tra thấy
àV[A, B+zA] = lim
h→0+
kA, A+h(B +zA)kV −1 h
= lim
h→0+
|1 +zh|
A, A+ h
|1 +zh|B V
−1 h
= lim
h→0+
A, A+ h
|1 +zh|B V
−1 h
|1 +zh|
+
1− 1
|1 +zh|
h
|1 +zh|
=àV[A, B] + Rez.
(vi) Ta có thể viết
kA, A−hBkV −1
h = max
x∈V x6=0
k(A−hB)xk − kAxk hkAxk
= max
x∈V x6=0
k(A−hB)xk2− kAxk2 hkAxk(k(A−hB)xk+kAxk)
= max
x∈V x6=0
h−Bx, Axi+ h
2kBxk2 kAxk2+1
2kAxk(k(A−hB)xk − kAxk) ,
và bởi vậy
àV[A, B] = lim
h→0+
kA, A−hBkV −1
h = max
x∈V x6=0
h−Bx, Axi kAxk2 . (viii) Vớih >0vàx∈V, ta có
kBxk= khBxk
h = kAx−(A−hB)xk h
≥ kAxk − k(A−hB)xk h
≥ kAxk − kA, A−hBkVkAxk h
= 1− kA, A−hBkV
h kAxk,
và do đó
kBxk ≥ −àV[A, B]kAxk.
Tương tự như trên,
kBxk= k −hBxk
h = kAx−(A+hB)xk h
≥ kAxk − k(A+hB)xk h
≥ kAxk − kA, A+hBkVkAxk h
= 1− kA, A+hBkV
h kAxk,
và ta thu được
kBxk ≥ −àV[A,−B]kAxk.
2.2 Chuẩn lôgarit cho toán tử tuyến tính vô hạn chiều
Cho một không gian Banach W, đạo hàm lôgarit của chuẩn vectơ k.k được xác định dưới dạng
à(u, v) = lim
h→0+
ku+hvk − kuk hkuk
với bất kỡu, v ∈W, u6= 0. Ta cú:à(u, Au)≤à[A]và trong trường hợp hữu hạn chiều sup
u6=0
à(u, Au) =à[A].
Với hai toán tử tuyến tính (A, B) của W, ta có thể định nghĩa nửa chuẩn và chuẩn lôgarit của nó.
Cú thể thấy rằng cả k(A, B)kV và àV[A, B] cú thể vụ hạn nếudimV = ∞. Ta cú thể viết à(Au,−Bu) vớiu màAu 6= 0, và với cỏc tớnh chất của nửa chuẩn được định nghĩa ở trên, có thể chỉ ra rằng
à(Au,−Bu)≤àV[A, B]
với bất kỳ umà Au 6= 0. Trong trường hợp hữu hạn chiều, với không gian con chấp nhận đượcV, ta có
maxu∈V à(Au,−Bu) = àV[A, B].
Với ma trận,à2[A] =λmax((A+A>)/2). Với cặp ma trận, ta cú kết quả tiếp theo.
Mệnh đề 2.2.1. Xét ma trận S cỡn×smà cột của nó là cơ sở của V. Khi đó àV,2[A, B] =λmax
S>A>AS,−S>(B>A+A>B)
2 S
.
Chứng minh. Ta có
àV,2[A, B] = max
v∈V v6=0
−v>(B>A+A>B)
2 v
v>A>Av
= max
x∈Rs x6=0
−x>S>(B>A+A>B)
2 Sx
x>S>A>ASx
=λmax
S>A>AS,−S>(B>A+A>B)
2 S
.
2.3 Sự tăng của nghiệm
Ta đang nghiên cứu sự tăng của nghiệm của hệ vi phân đại số có hệ số thay đổi
A(t)x0(t) +B(t)x(t) = 0, (2.7) vớiA(t)là ma trậnn×n, vi phân liên tục trong[t,∞)vàB(t)là ma trận cấpn×nliên tục trong[t0,∞). Ta cần vi phân bên phải toán tử D+ cho một hàm sốz(t)được định nghĩa bởi
D+z(0) = lim
t→0+
z(t)−z(0)
t .
Dưới một số giả thiết, ta có thể tínhD+kz(t)k.
Bổ đề 2.3.1. Xét vectơ giá trị hàm số z(t) ∈ Rn của biến số thực t có đạo hàm bên phảiV(t) =D+z(t). Thìkz(t)kcó một đạo hàm bên phảiD+kz(t)kvà
D+kz(t)k= lim
∆→0+
kz(t) + ∆v(t)k − kz(t)k
∆ .
Định lí 2.3.2. Giả sửV là một không gian con xác định chokA(t), .kmà nghiệmx(t) của hệ vi phân đại số(2.7)là trongV. Khi đó
kA(t)x(t)k ≤e
Rt
t0àV[A(u),B(u)−A0(u)]du
kA(t0)x(t0)k. (2.8) Chứng minh. Bằng định nghĩa
D+kA(t)x(t)k= lim
∆→0+
kA(t)x(t) + ∆[A(t)x(t)]0k − kA(t)x(t)k
∆ .
Ta tính
kA(t)x(t) + ∆[A(t)x(t)]0k=k[A(t) + ∆A0(t)−∆B(t)]x(t)k
≤ kA(t), A(t) + ∆A0(t)−∆B(t)kV.kA(t)x(t)k, tại đây ta sử dụng (2.7). Thật vậy, nghiệm ở trongV cho phép ta sử dụng tính chất (i) trong Mệnh đề2.1.16
kBvk ≤ kA, BkVkAvk, ∀v ∈V.
Do vậy, từ
D+kA(t)x(t)k ≤ lim
∆→0+
kA(t), A(t) + ∆A0(t)−∆B(t)kV.kA(t)x(t)k − kA(t)x(t)k
∆
=àV[A(t), B(t)−A0(t)].kA(t)x(t)k ta có được bất đẳng thức vi phân
D+kA(t)x(t)k ≤àV[A(t), B(t)−A0(t)].kA(t)x(t)k, từ đó có thể lấy tích phân để có được (2.8).
Chú ý 2.3.3. NếuA(t)là thông thường, thì
àR[A(t), B(t)−A0(t)] =àR[−(B(t)−A0(t)).A(t)−1].
Ta có chuẩn lôgarit của ma trận có được khi sự thay đổi của biến sốy(t) = A(t)x(t) được thực hiện.
Hệ quả 2.3.4. Giả sử V là một không gian con xác định cho kA(t), .k mà nghiệm x(t) của hệ vi phân đại số (2.7) trong V. Nếu Rt
t0àV[A(u), B(u)−A0(u)]du < 0 thỡ kA(t)x(t)ksẽ giảm theo số mũ.
Để chỉ ra rằng hệ vi phân đại số là ổn định tiệm cận, ta phải
1. Tìm ra một không gian con xác địnhV bao gồm nghiệm hệ DAE;
2. Tính chuẩn lôgarit;
3. Có được đánh giá củax(t)từ dạng củaA(t)x(t).
Ta nghiên cứu bước 1 và 2 cho hệ số tuyến tính không đổi, hệ số 1 và để kiểm soát với hệ số 2 của hệ vi phân đại số.
Phần còn lại của mục này, ta xét trường hợp hệ phương trình vi phân đại số với hệ số hằng. Khi đó, (2.8) trở thành
kAx(t)k ≤eàV[A,B]tkAx(0)k, t≥0. (2.9) Thấy rằngx(0)phải luôn là một điều kiện ban đầu không mâu thuẫnx(0) ∈Img
AbDAb . Trong trường hợp này ta biết nghiệm trong Img
AbDAb
và do đó ta sẽ lấy V = Img
AbDAb
. Bổ đề tới sẽ chỉ ra không gian con xác định chokA, .kV. Bổ đề 2.3.5. VớiV = Img
AbDAb
, ta cóV ∩ker(A) = 0.
Chứng minh. Nếu x ∈ Img
AbDAb
= Img Abk
và x ∈ ker(A), thì x ∈ ker(A)b ⊆ ker(Abk). Do đóV ∩ker(A) = 0.
Bất đẳng thức (2.9) chỉ ra rằng nếuàV[A, B]<0vớiV = Img
AbDAb thì
t→∞lim kAx(t)k= 0,
nhưng đây là bất đẳng thức với sự ổn định tiệm cận của nghiệm.
Mệnh đề 2.3.6. lim
t→∞kAx(t)k= 0 khi và chỉ khi lim
t→∞kx(t)k= 0. Chứng minh. Thấy rằngx(t) =AbDAx(t) =b AbD(cA+B)−1Ax(t).
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày khái niệm chuẩn lôgarit cho ma trận, cặp ma trận. Bên cạnh việc nêu định nghĩa, chúng tôi đã cố gắng sưu tầm và trình bày chi tiết các tính chất của chúng. Hơn nữa, các ứng dụng trong đánh giá sai số hay ước lượng tốc độ tăng của nghiệm của phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đại số cũng được trình bày.