Phương pháp thu hẹp chính tắc 21 - PHƯƠNG PHÁP THU- 123docz.net

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP THU HẸP CHÍNH TẮC 18

2.2. Phương pháp thu hẹp chính tắc 21

Đại ý của phương pháp là xuất phát từ một tập hợp ô "thu hẹp chính tắc"

D1 từ toàn bộ tập hợp ô của bảng T, rồi tìm phương án phân phối tối đa theo D1 (chỉ sử dụng các ô thuộc D1 để phân phối hàng), nêu còn hàng và cột chƣa thỏa mãn thì mở rộng dần D1 một cách có lợi nhất, cho đến khi khả năng phân phối của D1 bằng tổng số hàng cần vận chuyển thì phương án phân phối tối đa theo D1 lúc đó là một phương án tối ưu (lời giải) của bài toán.

Trước hết ta nêu một số định nghĩa.

Định nghĩa 2.3. Một tập hợp ô D của bảng T gọi là một tập hợp ô chính tắc nếu có thể tìm cho mỗi hàng một số ui (i = 1, 2, ... , m) và mỗi cột một số vj (j = 1, 2, ... , n) sao cho

vj - ui ≤ cij với mọi ô (i, j), (2.5) vj - ui = cij với mọi ô (i, j) ∈ D. (2.6) Các số ui, vj gọi là các thế vị của các hàng và cột. Sau đây là một số ví dụ về các tập hợp ô chính tắc.

Ví dụ 2.1. a) D1 = ∅, các thế vị ui = vj = 0 với mọi i và j.

b) D2 = {(r, s)} với (r, s) là ô có crs =

j , i

min cij = .

Các thế vị ui = 0 (i = 1, 2, ... , m), vj =  (j = 1, 2, ... , n (xen Bảng 2.2).

c) D3 = {(i, j) : cij = i}, trong đó i là số cij nhỏ nhất trong hàng i, tức D3

là tập hợp các ô có giá cước nhỏ nhất trong hàng của nó. Thế vị là ui =  - i, i = 1, 2, ... , m, và vj = , j = 1, 2, ... , n, trong đó  = max(i,2, ... , m) (xem Bảng 2.3).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 23 d) D4 = {(i, j) : cij = j}, trong đó j là số cij nhỏ nhất trong cột j, tức D4 là tập hợp các ô có giá cước nhỏ nhất trong cột của nó. Thế vị là ui = 0, i = 1, 2, ... , m, và vj = j, j = 1, 2, ... , n (xem Bảng 2.4).

Bảng 2.2. Tập ô chính tắc D2 Bảng 2.3. Tập ô chính tắc D3 qj

pi 5 4 6 15 ui qj

pi 5 4 6 15 ui

10 13 14 12 10 0 10 13 14 12 10 1

8 14 7 9 14 0 8 14 7 9 14 4

12 11 12 15 13 0 12 11 12 15 13 0

vj 7 7 7 7 vj 11 11 11 11

Bảng 2.4. Tập ô chính tắc D4

pi 5 4 6 15 ui

10 13 14 12 10 0

8 14 7 9 14 0

12 11 12 15 13 0 vj 11 7 9 10

Có thể dễ dàng kiểm tra lại rằng trong cả bốn trường hợp ở Ví dụ 2.1, D1, D2, D3 và D4 đều là các tập hợp ô chính tắc (các thế vị ui, vj thỏa mãn (2.5), (2.6)). Ví dụ 2.1c) và 2.1d) hay đƣợc dùng nhất.

Định nghĩa 2.4. Cho D là một tập hợp ô chính tắc. Một phương án phân phối theo tập hợp ô D là một ma trận X = ||xij||m×n với các xij là các số nguyên

≥ 0 nghiệm đúng:

xij = 0 nếu (i, j) ∉ D, (2.7) 

 n 1 j

xij ≤ pi, i = 1, 2, ... , m, (2.8) 

 m

1 i

x ≤ qij j, j = 1, 2, ... , n, (2.9)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 24 Số (X) =   

m 1 i

n 1

j x gọi là khả năng phân phối của phương án X. ij

Ta cần một số khái niệm sau.

Định nghĩa 2.5. Một hàng i (cột j) gọi là được thoả mãn hay chưa thỏa mãn tùy theo có dấu = hay < trong (2.8) (hay (2.9)). Các ô thuộc D gọi là các ô chọn. Các ô họn (i, j) với xij > 0 gọi là các ô được phân phối.

Định nghĩa 2.6. Một phương án phân phối X theo một tập hợp ô chọn D là tối đa nếu không có phương án nào theo cùng tập hợp ô đó, có khả năng phân phối lớn hơn. Khả năng lớn nhất này gọi là khả năng phân phối của D.

Nhận xét 2.1 (Thủ tục tìm phương án phân phối tối đa). Nếu tập hợp ô chính tắc đầu tiên không có chu trình (điều này bao giờ cũng làm đƣợc nhƣ ở Ví dụ 2.1), thì mọi tập hợp ô chính tắc về sau cũng không chứa chu trình. Khi đó có thể xác định phương án phân phối tối đa (theo một tập hợp ô chính tắc D) theo cách nhƣ sau.

Lấy tùy ý một ô treo (tức là một ô mà trong hàng hay cột của nó không có ô nào khác của D) (i1, j1) và đặt

1 1j

xi = min{

p , q }, j1

) 1 ( i1

p =

p -

1 1j

xi , p(i1) = pi với mọi i ≠ i1,

) 1 (

q =

q -

1 1j

xi , q(j1) = qj với mọi j ≠ j1.

Sau đó trong tập ô chọn còn lại, lấy tùy ý một ô treo (i2, j2) và đặt

2 2j

xi = min{ i(1) p 2 , (j1)

q 2 },

) 2 ( i2

p = i(1) p 2 -

2 2j

xi , p(i2) = pi(1) với mọi i ≠ i2, (j2)

q 2 = (j1) q 2 -

2 2j

xi , q(j2) = q(j1) với mọi j ≠ j2, v.v ...

Tiếp tục nhƣ vậy cho đến khi sử dụng hết mọi ô chọn thì đặt xij = 0 cho các ô (i, j) ∉ D.

Định nghĩa 2.7. Cho X = ||xij|| là một phương án phân phối tối đa theo một tập hợp ô chọn D. Một dây chuyền gọi là chưa bão hòa khi nào các ô lẻ (ô thứ 1, thứ 3, v.v ...) của nó đều đƣợc phân phối.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 25 Với một số khái niệm vừa định nghĩa ở trên, ta sẽ phân chia các hàng (trạm phát) và các cột (trạm thu) trong bảng T thành ba loại "thừa", 'thiếu" và

"đủ" theo nghĩa sau đây.

Định nghĩa 2.8. Một hàng hay cột gọi là thừa nếu nó là một hàng chƣa thỏa mãn, hoặc nếu có một dây chuyền chƣa bão hòa đi từ nó tới một hàng chƣa thỏa mãn. Một hàng hay cột gọi là thiếu nếu nó là một cột chƣa thỏa mãn, hoặc nếu có một dây chuyền chƣa bão hòa đi từ nó tới một cột chƣa thỏa mãn. Các hàng và cột không thừa, không thiếu gọi là đủ.

Nhận xét 2.2 (Thủ tục xác định các hàng và cột thừa, thiếu, đủ).

a) Muốn xác định các hàng và cột thừa (theo tập hợp ô chính tắc D) ta tiến hành nhƣ sau: bắt đầu đánh dấu "+" tất cả các hàng chƣa thỏa mãn (Định nghĩa 2.5); sau khi đánh dấu các hàng rồi thì đánh dấu tất cả các cột chƣa đánh dấu cắt một hàng đã đánh dấu ở một ô chọn; sau khi đánh dấu các cột rồi thì đánh dấu tất cả các hàng chƣa đánh dấu cắt một cột đánh dấu ở một ô đƣợc phân phối; cứ nhƣ thế tiếp tục cho đến khi không đánh dấu thêm đƣợc nữa.

b) Cũng bằng cách tương tự, để xác định các hàng và cột thiếu (theo tập hợp ô chính tắc D), trước tiên đánh dấu "-" tất cả các cột chưa thỏa mãn; sau khi đánh dấu các cột rồi thì đánh dấu tất cả các hàng chƣa đánh dấu cắt một cột đã đánh dấu ở một ô chọn; sau khi đánh dấu các hàng rồi thì đánh dấu tất cả các cột chƣa đánh dấu cắt một hàng đã đánh dấu ở một ô đƣợc phân phối;

cứ nhƣ thế tiếp tục cho đến khi không đánh dấu thêm đƣợc nữa.

c) Sau đó, các hàng và cột còn lại là đủ (không đánh dấu "+" hoặc "-").

Sau đây là khái niệm "ô bắc cầu".

Định nghĩa 2.9. Một ô bắc cầu là một ô không thuộc D, ở tương giao của một hàng thừa hay đủ với một cột thiếu. Với mỗi ô bắc cầu e = (i, j) ta đặt

(e) = ij ≡ cij - (vj - ui) ≥ 0 (theo (2.5)). Ô bắc cầu nào có (e) nhỏ nhất gọi là ô bắc cầu lợi nhất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 26 Cho tập hợp ô chính tắc D1, giả sử X là một phương án phân phối tối đa theo D1 (xij = 0 với mọi (i,j) ∉ D1). Rõ ràng các số ui và vj trong định nghĩa tập ô chính tắc (Định nghĩa 2.3) cũng là một hệ thế vị cho X. Cho nên nếu trong phương án X mọi hàng và cột được thỏa mãn thì X là một phương án tối ưu (lời giải) của bài toán. Nói chung, với phương án tối đa X theo D1, thường chƣa phải mọi hàng và cột đều đƣợc thỏa mãn, tức là khả năng phân phối của D1 còn nhỏ. Muốn tăng khả năng ấy, ta có thể dựa vào bổ đề và định lý sau đây để mở rộng D1, bằng cách thêm vào D1 một ô thích hợp (r, s) ∉ D1.

Từ định nghĩa hàng (cột) thừa, thiếu, đủ trực tiếp suy ra Bổ đề 2.1. a) Nếu hàng i và cột j khác loại thì xij = 0.

b) Mọi hàng thiếu hay đủ, mọi cột thừa hay đủ, đều được thỏa mãn.

Ta nhớ rằng theo Định nghĩa 2.9, ô bắc cầu là một ô không thuộc D, ở tương giao của một hàng thừa hay đủ với một cột thiếu. Ta có

Định lý 2.1. Giả sử ta thêm vào D1 một ô bắc cầu (i, j) tùy ý. a) Nếu hàng i thừa, cột j thiếu thì khả năng phân phối của D1 ∪ {(i, j)} sẽ tăng lên.

b) Nếu hàng i đủ, cột j thiếu thì khả năng phân phối của D1 ∪ {(i, j)}

không thay đổi, nhưng với tập ô chọn mới hàng i trở thành thiếu, và mọi hàng (cột) thiếu vẫn là thiếu, hàng (cột) thừa vẫn là thừa.

Chứng minh. a) Nếu hàng i thừa, cột j thiếu thì theo định nghĩa có một dây chuyền chƣa bão hòa (gồm các ô thuộc D1) từ hàng i tới một hàng chƣa thỏa mãn, và một dây chuyền chƣa bão hòa (gồm các ô thuộc D1) từ cột j tới một cột chƣa thỏa mãn. Khi thêm (i, j) vào D1 ô này sẽ tạo nên với hai dây chuyền kia một dây chuyền chƣa bão hòa từ một hàng chƣa thỏa mãn tới một cột chƣa thỏa mãn. Nhƣ vậy khả năng phân phối của D1 ∪ {(i, j)} sẽ tăng lên.

b) Nếu hàng i đủ thì không có dây chuyền chƣa bão hòa từ hàng i tới một hàng chƣa thỏa mãn, cho nên dù ta có thêm ô (i, j) vào D1 cũng không thể tạo ra một dây chuyền chƣa bão hòa từ một hàng chƣa thỏa mãn tới một cột chƣa thỏa mãn. Do vậy phương án phân phối tối đa trên D1 vẫn là tối đa trên D1 ∪

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 27 {(i, j)} và một hàng (cột) thiếu vẫn là thiếu, một hàng (cột) thừa vẫn là thừa.

Mặt khác, vì cột j thiếu nên có một dây chuyền chƣa bão hòa từ cột j tới một cột chƣa thỏa mãn và khi thêm vào D1 ô (i, j) thì dây chuyền đó sẽ tạo nên với ô (i, j) một dây chuyền chƣa bão hòa từ hàng i tới một cột chƣa thỏa mãn, cho nên hàng i sẽ trở thành thiếu. ∎ Bổ đề 2.2. Tập D2 thu từ D1 bằng cách thêm ô bắc cầu lợi nhất (ký hiệu e0 = (r, s)) vào D1 và loại khỏi D1 tất cả các ô chọn cũ ở tương giao của một hàng với một cột khác loại, cũng sẽ là một tập hợp ô chính tắc của T.

Chứng minh. Ta hãy đặt ui = ui + (e0) cho mỗi hàng i thiếu và vj = vj

+ (e0) cho mỗi cột j thiếu, ui = ui (vj = vj) cho mọi hàng (cột) khác và chứng minh rằng các ui, vj là một hệ thế vị cho D2. Cho (i, j) là một ô bất kỳ. Nếu hàng i (cột j) không là hàng (cột) thiếu, hoặc cả hai đều là hàng (cột) thiếu, thì dĩ nhiên vj - ui = vj - ui = cij, cho nên các điều kiện (2.5), (2.6) về thế vị đối với ô (i, j) vẫn được thỏa mãn như trước. Nếu chỉ hàng i thiếu thì

vj - ui = vj - (ui + (e0)) ≤ vj - ui ≤ cij. Còn nếu chỉ cột j thiếu thì cij - (vj - ui) ≥ (e0) cho nên

vj - ui = (vj + (e0) - ui ≤ cij,

và ta có đẳng thức đúng khi i = r, j = s. Vậy trong cả hai trường hợp đó điều kiện thế vi (2.5), (2.6) cũng vẫn đƣợc thỏa mãn. Tóm lại, D2 là một tập hợp ô chính tắc. ∎

Dựa vào các kết qủa trên, bây giờ ta có thể mô tả thuật toán thu hẹp chính tắc giải bài toán vận tải (2.1) - (2.4). Thuật toán gồm các bước sau đây.

Bước 0 (Khởi sự). Xuất phát từ một tập ô chính tắc D1 không có chu trình, chẳng hạn tập hợp ô xây dựng nhƣ ở Ví dụ 2.1 trên đây, với các thế vị

) 1 (

ui (i = 1, 2, ... , m), v(j1) (j = 1, 2, ... , n) thỏa mãn (2.5), (2.6) và phương án phân phối tối đa X1 = ||xij(1)||m×n theo D1, bằng cách áp dụng thủ tục nêu trong Nhận xét 2.1. Đặt k = 1 và chuyển sang thực hiện vòng lặp thứ k.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 28 Vòng lặp thứ k:

Bước 1. Ở đầu vòng lặp thứ k ta có một tập ô chọn Dk với các thế vị u(ik) (i = 1, 2, ... , m), v(jk) (j = 1, 2, ... , n) và phương án phân phối tối đa Xk =

||x(ijk)||m×n theo Dk.

a) Nếu mọi hàng và cột đều đƣợc thỏa mãn (Định nghĩa 2.5) thì dừng thuật toán: Xk là phương án tối ưu (lời giải).

b) Nếu không thì Xk chưa tối ưu, chuyển sang thực hiện Bước 2.

Bước 2. a) Xác định các hàng và cột thừa, thiếu, đủ (theo thủ tục nêu trong Nhận xét 2.2) và ô bắc cầu lợi nhất e(k) (theo Định nghĩa 2.9).

b) Thêm e(k) vào tập ô chọn Dk, đồng thời loại khỏi Dk tất cả các ô chọn cũ ở tương giao của một hàng với một cột khác loại, ta nhận được Dk+1.

c) Cộng (e(k)) ≥ 0 vào thế vị một hàng hay cột thiếu.

d) Xác định phương án phân phối tối đa Xk+1 theo tập hợp ô chọn mới Dk+1 (nếu e(k) ở trên một hàng đủ thì Xk vẫn là tối đa theo Dk+1 nên có thể giữ nguyên Xk làm Xk+1).

Bước 3. Đặt k ← k+1 và quay lại thực hiện Bước 1 của vòng lặp k mới.

Định lý 2.2. Thuật toán trên đưa tới phương án tối ưu sau không quá

 + (m + n) vòng lặp ( =  m 1 i pi ).

Chứng minh. Cho k là số hàng và cột thiếu ở vòng lặp thứ k, k là khả năng phân phối của tập ô chính tắc Dk (tức khả năng phân phối của phương án tối đa trên Dk). Theo Định lý 2.1, tổng k + k tăng theo k, và mặt khác k +k

≤  + (m+n), cho nên số vòng lặp cần thiết không thể vƣợt quá  +(m+n).∎ 2.3. VÍ DỤ MINH HỌA

Để minh họa thuật toán nêu trên ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 2.2. Giải trên bảng bài toán vận tải có m = 3 trạm phát, n = 4 trạm thu với véctơ cung a, véctơ cầu b và ma trận cước phí C như sau:

a = (10 8 12), b = (5 4 6 15),

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 29

C = 













13 15 12 11

14 9 7 14

10 12 14 13

Bảng 2.5 ghi lại dữ kiện của bài toán cho ở ví dụ này, trong bảng các số xij > 0 ghi ở góc dưới bên phải mỗi ô (số ghi ở góc trên bên trái là giá cước).

Thế vị hàng ghi ở cột bên phải bảng, thế vị cột ghi ở hàng phía dưới bảng.

Các ô chọn đƣợc tô bóng mờ, ô bắc cầu lợi nhất đƣợc đánh dấu "⋆".

Bảng 2.5. Dữ liệu bài toán và phương án X1

pi 5 4 6 15 ui

10 13 14 12 10 10 - 0 8 14 7 4 9 4 14 - 0 12 11 5 12 15 13 ⋆ +0

vj +

11 - 7

- 9

- 10

Bước 0. Xây dựng tập ô chính tắc D1 = {(1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 1)}.

Phương án tối đa X1 = {x14 = 10, x22 = 4, x23 = 4 , x31 = 5} với (X1) = 23.

Vòng lặp k = 1

Bước 1. b) Hàng 3, cột 3 và cột 4 chưa thỏa mãn: X1 chưa tối ưu.

Bước 2. a) Đánh dấu "+" hàng 3 (thừa) và cột 1 (do cắt hàng 3 ở ô chọn).

Đánh dấu "-" cột 3, 4 (thiếu), hàng 1, 2 (do lần lƣợt cắt cột thiếu 4 và 3 ở ô chọn) và cột 2 (do cắt hàng thiếu 2 ở ô phân phối). Ba ô bắc cầu (3,2), (3,3) và (3,4) với 32 = 5, 33 = 6, 34 = 3. Ô bắc cầu lợi nhất là ô (3,4) (dấu "⋆").

b) Thêm vào D1 ô (3,4) ta đƣợc D2 = {(1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,4)}.

c) Cộng 34 = 3 vào thế vị các hàng (thiếu) 1, 2 và thế vị các cột (thiếu) 2, 3, 4.

d) Xác định phương án tối đa X2 theo tập ô chọn mới D2 (xem Bảng 2.6).

Bước 3. Đặt k ← k+1= 2, quay lại thực hiện Bước 1 của vòng lặp k = 2.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 30

Bảng 2.6. Dữ liệu bài toán và phương án X2

pi 5 4 6 15 ui

10 13 14 12 10 10 + 3 8 14 7 4 9 4 14 - 3 12 11 5 12 ⋆ 15 13 5 +0

vj +

11 - 10

- 12

+ 13 Vòng lặp k = 2

Bước 1. b) Hàng 3 và cột 3 chưa thỏa mãn: X2 chưa tối ưu.

Bước 2. a) Đánh dấu "+" hàng 3 (thừa), cột 1 và cột 4 (do cắt hàng thừa 3 ở ô chọn) và hàng 1 (do cắt cột thừa 4 ở ô phân phối). Đánh dấu "-" cột 3 (thiếu), hàng 2 (do cắt cột thiếu 3 ở ô chọn) và cột 2 (do cắt hàng thiếu 2 ở ô phân phối). Bốn ô bắc cầu (1,2), (1,3), (3,2) và (3,3) với 12 = 7, 13 = 3, 32

= 2, 33 = 3. Ô bắc cầu lợi nhất là ô (3,2) (dấu "⋆") (xem Bảng 2.6).

b) Thêm vào D2 ô (3,2) ta nhận đƣợc D3 = {(1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,4)}.

c) Cộng 32 = 2 vào thế vị hàng thiếu 2 và các cột thiếu 2, 3.

d) Xác định phương án tối đa X3 theo tập ô chọn mới D3 (xem Bảng 2.7).

Bước 3. Đặt k ← k+1= 3, quay lại thực hiện Bước 1 của vòng lặp k = 3.

Bảng 2.7. Dữ liệu bài toán và phương án X3

pi 5 4 6 15 ui

10 13 14 12 10 10 3 8 14 7 2 9 6 14 5 12 11 5 12 2 15 13 5 0

vj 11 12 14 13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 31 Vòng lặp k = 3

Bước 1. a) Mọi hàng và cột đều được thỏa mãn: X3 là phương án tối ưu (lời giải). Dừng thuật toán. Phương án tối ưu:

Xopt = {x11 = 10, x22 = 2, x23 = 6, x31 = 5, x32 = 2, x34 = 5}, fmin = 312. ∎ Một phương pháp gần với phương pháp thu hẹp chính tắc trên đây đã đƣợc các nhà toán học Ford và Fulkerson đề xuất. Ngoài ra, bằng những con đường khác, nhiều tác giả khác cũng đã đi tới những phương pháp tương tự:

phương pháp Hungari của Kuhn và Mankres, phương pháp Lurié -Brutno, ...

Chúng ta thấy rằng nhờ lý thuyết đồ thị mà nhiều vấn đề đã đƣợc trình bày sáng tỏ hơn và lập luận đƣợc đơn giản, đẹp đẽ hơn.

Tóm lại, chương này đã giới thiệu ngắn gọn và đầy đủ về một phương pháp độc đáo, hiệu quả và ít đƣợc biết đến để giải bài toán vận tải tuyến tính ở dạng bảng, đó là phương pháp thu hẹp chính tắc với đầy đủ cơ sở lý luận, các bước thuật toán và ví dụ minh họa cụ thể.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 32 KẾT LUẬN

Bài toán giao việc trong lý thuyết tối ƣu luôn là một chủ đề hấp dẫn, thu hút sự quan tâm tìm hiểu và nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nươc. Bài toán giao việc gắn liền với phương pháp Hungari và tên tuổi các nhà toỏn học nổi tiếng: Kửnig, Egervỏry, Kuhn, ... về lĩnh vực lý thuyết đồ thị và tối ƣu tổ hợp.

Luận văn đã đề cập tới những nội dung chính sau đây.

1. Bài toán giao việc tuyến tính, một số ứng dụng đa dạng của bài toán và hai bài toán tối ưu có liên quan: Bài toán vận tải và bài toán người du lịch.

Có thể xem bài toán giao việc nhƣ một bài toán qui hoạch tuyến tính hay nhƣ một bài toán tối ƣu tổ hợp. Đặc biệt, cũng có thể xem nó nhƣ một bài toán của lý thuyết đồ thị.

2. Phương pháp Hungari giải bài toán giao việc. Phương pháp này rất độc đáo và hiệu quả. Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là các công trình nghiờn cứu trước đú của hai nhà toỏn học Hungari Kửnig, Egervỏry, cũn Kuhn là người đã có công hoàn thiện và công bố trên tạp chí vào năm 1955.

3. Phương pháp thu hẹp chính tắc giải bài toán vận tải của GS Hoàng Tụy [3] rất độc đáo, dựa cơ sở trên lý thuyết đồ thị mạng và có thể xem nhƣ một mở rộng của phương pháp Hungari. (Gần với phương pháp thu hẹp chính tắc còn có phương pháp Ford - Fulkerson, phương pháp Lurié - Brutno, ...)

Có thể xem luận văn như một bước tìm hiểu về phương pháp Hungari và phương pháp thu hẹp chính tắc giải các bài toán tối ưu tổ hợp điển hình. Tác giả luận văn hy vọng sẽ có dịp được tìm hiểu sâu thêm về nhiều phương pháp hay và độc đáo khác của tối ƣu tổ hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bùi Thế Tâm và Trần Vũ Thiệu (1998), Các phương pháp tối ưu hoá.

Nxb Giao thông vận tải.

[2] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.

[3] Hoàng Tụy (1964), Đồ thị hữu hạn và ứng dụng trong vận trù học.

Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội.

[4] Hadi Basirzadeh (2012), “Ones Assignment Method for Solving Assignment Problems”, Applied Mathematical Sciences, Vol. 6, no. 47, 2345 - 2355.

[5] Khuller S., Sussman Y.J. and Gasarch W. (1997), “Advanced Algorithms”, Lectures CMSC 858K, 1997.

[6] Kuhn H. W. (1955), “The Hungarian Method for the Assignment Problem”, Naval Research Logistics Quarterly 2, 83–97.

[7] Kuhn H. W., (2010), “The Hungarian Method for the Assignment Problem”, In 50 Years of Integer Programming 1958-2008, M. Jünger et al.

(eds.), Springer-Verlag, pp. 29 - 47.