SỰ CỐ TRÊN ĐƯỜNG DÂY TRUYỀN TẢI
CHƯƠNG 3: GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI WAVELET
3.1- Giới thiệu
Phân tích wavelet là một phương pháp mới cho dù nền tảng toán học của nó đã có từ những lý thuyết của Joseph Fourier vào thế kỷ XIX. Fourier đã đặt nền tảng với lý thuyết phân tích tần số mà ý nghĩa to lớn và quan trọng đã được chứng minh.
Từ “Wavelet” lần đầu được sử dụng là vào năm 1909, trong một luận văn của Alfred Haar. Còn khái niệm wavelet được dùng cho các sách lý thuyết đưa ra bởi Jean Morlet và nhóm nghiên cứu Marseille thuộc Trung tâm Nghiên cứu Lý thuyết Vật lý tại Pháp.
Phương pháp phân tích wavelet đã được phát triển chủ yếu bởi Y. Meyer và các đồng nghiệp của ông, những người đã phổ biến rộng rãi phương pháp này.
Thuật toán chính dựa vào các công trình trước đó của Stephane Mallat năm 1988.
Từ đây, việc nghiên cứu wavelet trở nên mang tính quốc tế. Đặc biệt là những nghiên cứu tại Mỹ, nơi có những nhà khoa học đi đầu về lĩnh vực này như Ingrid Daubechies, Ronald Coifman, Victor Wickerhauser [18].
3.2- Cơ sở toán học
Biến đổi wavelet ra đời [18-19] đã khắc phục được những bất lợi của biến đổi Fourier truyền thống mà nó còn có những ưu điểm mới lạ, hấp dẫn, thu hút nhiều nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu, phát triển và triển khai ứng dụng, mang lại hiệu quả thiết thực. Ưu điểm nổi bật của phân tích wavelet là khả năng phân tích cục bộ, tức phân tích một vùng nhỏ trong một tín hiệu lớn. Khả năng này đã khắc phục nhược điểm của biến đổi Fourier và biến đổi Fourier thời gian ngắn.
Wavelet là hàm được tạo ra từ hàm ω(x) - được gọi là wavelet mẫu (còn gọi là wavelet giải tích). Hàm ω(x) được định nghĩa cho biến thực x và có thể mang giá trị phức. Nói cách khác, ω là một ánh xạ từ R vào C, có chuẩn giới hạn L2, ‖𝜔‖
được định nghĩa:
‖𝜔‖ = ∫ |𝜔(𝑥)|−∞∞ 2𝑑𝑥 = 𝐾 < ∞ (3.1) Vì hàm 𝜔(x) có thể có giá trị phức nên |𝜔(𝑥)|2được dùng thay cho 𝜔(x)2. Bình phương của chuẩn L2, ‖𝜔‖2 được gọi là năng lượng của hàm 𝜔. Giả sử
‖𝜔‖ = 1 bằng cách chuẩn hóa hàm 𝜔 thông qua việc nhân hàm 𝜔 với hệ số 1
√𝐾𝜔, hàm wavelet mẫu phải thỏa mãn điều kiện tương thích:
∫ |𝜔̂|−∞∞ 2𝑑𝑥 < ∞ (3.2)
Trong đó: 𝜔 là phép biến đổi Fourier của 𝜔. Từ điều kiện tương thích trên suy ra:
∫ 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 = 0−∞∞ (3.3)
Hàm wavelet được tạo bằng cách dịch chuyển (translation) và co giãn (dilation) hàm wavelet mẫu 𝜔(x):
𝜔𝑎𝑏(𝑥) = 1
√𝑎(𝑥−𝑏
𝑎 ) , 𝑎 ∈ 𝑅+, 𝑏 ∈ 𝑅 (3.4) a được gọi là hệ số co giãn; b là hệ số dịch chuyển.
Hệ số 1
√𝑎 được nhân vào để bảo toàn chuẩn L2, nghĩa là mỗi hàm 𝜔𝑎𝑏(𝑥) đều có chuẩn bằng 1 nếu như 𝜔 có chuẩn bằng 1. Đa số các lớp hàm đều có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các hàm wavelet mẫu. Nghĩa là các hàm được biểu diễn như sự kết hợp tuyến tính hữu hạn các phép dịch chuyển và co giãn của một hàm wavelet mẫu.
3.3- Biến đổi wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform-DWT)
DWT [14-15], [18-19] và [21-22] là biến đổi tuyến tính tác động trên vector 2n chiều (vector trong không gian Euclide 2n chiều) vào một vector trong không gian tương tự. DWT là một biến đổi trực giao. Biến đổi trực giao có thể xem như là phép quay trong không gian vector, chúng không thay đổi độ dài.
Trong DWT một wavelet được dịch chuyển và mở rộng bởi những giá trị rời rạc. Thông thường ta sử dụng hệ số theo lũy thừa của 2.
Một định nghĩa tổng quát của wavelet rời rạc:
𝛹𝑗,𝑘(𝑡) = 22𝑗𝛹(2𝑗𝑡 − 𝑘) (3.5) Biến đổi wavelet rời rạc
DWT( f )( j, k) f (t) j,k (t)dt (3.6)
Với điều kiện trực giao chuẩn, ta có biến đổi ngược
𝑓(𝑡) = 1𝐶∑𝑗,𝑘∈𝑍𝐷𝑊𝑇(𝑓)(𝑗, 𝑘)𝛹𝑗,𝑘(𝑡) (3.7) Phương trình (3.7) cũng được gọi là phân tích wavelet của f(t).
3.4- Kỹ thuật phân tích đa phân giải (Multi-Resolution Analysis-MRA) Kỹ thuật phân tích đa phân giải là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của kỹ thuật biến đổi wavelet rời rạc.
Phần lớn các tín hiệu thực tế, thành phần tần số thấp là thành phần thực sự quan trọng và mang nét đặc trưng của tín hiệu. Còn thành phần tần số cao được hiểu xem như là các sắc thái khác nhau của tín hiệu. Lấy giọng nói làm ví dụ, ta thấy khi lọc bỏ thành phần tần số cao thì giọng nói có thể khác đi nhưng ta vẫn nghe và hiểu được, nhưng khi lọc bỏ thành phần tần số thấp thì không nghe được gì cả.
Phân tích đa phân giải là có khả năng như hai bộ lọc [14-15], [18-20], tạo nên hai thành phần: Xấp xỉ và chi tiết của tín hiệu vào. Thành phần xấp xỉ có hệ số tỷ lệ cao, tương ứng với tần số thấp. Thành phần chi tiết có hệ số tỷ lệ thấp, tương ứng với tần số cao.
Hình 3.1: Phân tích Wavelet được xem như hai bộ lọc tần số cao và thấp
Hình 3.2 Minh họa tín hiệu vào là dạng Sin chuẩn với nhiễu tần số cao
Hình 3.3: Minh họa cho phân ly bậc 3
3.5- Biến đổi wavelet tĩnh (Stationary wavelet transform-SWT)
Biến đổi wavelet tĩnh [32] được phát triển tiếp theo từ biến đổi wavelet rời rạc như sau: Giả thiết một hàm f(x) được chia thành các tập con sau j bước chia là Vj (…V3 ⸦ V2 ⸦ V1 ⸦ V0). Sự phân chia này được xác định bởi việc nhân tỷ lệ cj,k với f(x):
𝐶𝑗,𝑘 = 〈𝑓(𝑥), ɸ𝑗.𝑘(𝑥)〉ɸ𝑗.𝑘(𝑥) (3.8) ɸ𝑗.𝑘(𝑥) = 2−𝑗ɸ(2−𝑗𝑥 − 𝑘) (3.9)
Với ɸ(x) là hàm tỷ lệ, như là một hàm lọc thấp, cj,k còn được gọi là xấp xỉ rời rạc tại tọa độ phân giải 2j.
Nếu hàm (x) là hàm wavelet, thì hệ số wavelet được tính toán bởi:
𝜔𝑗.𝑘 = 〈𝑓(𝑥), 2−𝑗〉𝜑(2−𝑗𝑥 − 𝑘) (3.10) Với ωj,k được gọi là tín hiệu rời rạc chi tiết tại độ phân giải 2j.
Khi hàm tỷ lệ ɸ(x)có tính chất như sau:
1
2ɸ (𝑥2) = ∑ ℎ(𝑛)ɸ(𝑥 − 𝑛)𝑛 (3.11) Với h(n) là bộ lọc băng thông thấp, thì cj+1,k có thể được tính trực tiếp từ cj,k
như sau:
𝑐𝑗+1,𝑘 = ∑ ℎ(𝑛 − 2𝑘)𝑐𝑛 𝑗,𝑛 ; 1
2𝜑 (𝑥2) = ∑ 𝑔(𝑛)ɸ(𝑥 − 𝑛)𝑛 (3.12) Với g(n) là bộ lọc băng thông cao.
Tích vô hướng 〈𝑓(𝑥), 2(−𝑗+1)〉𝜑(2(−𝑗+1)𝑥 − 𝑘 được tính toán với:
𝜔𝑗+1,𝑘 = ∑ 𝑔(𝑛 − 2𝑘)𝑐𝑛 𝑗,𝑛 (3.13)
Phương trình (3.12), (3.13) được dùng như là kỹ thuật đa phân giải trong SWT truyền thống. Trong phép biến đổi này, giải thuật làm giảm số được sử dụng cho phép biến đổi. Nghĩa là hai mẫu thì giữ lại một trong quá trình biến đổi. Do đó, toàn bộ chiều dài của hàm f(x) sẽ giảm còn một nửa.
Do vậy, kỹ thuật biến đổi này phải sử dụng kỹ thuật tăng số mẫu lên như sau:
Khoảng cách giữa các mẫu tăng lên gấp đôi, từ tỷ lệ j thành tỷ lệ cj+1,k:
𝑐𝑗+1,𝑘=∑ ℎ(𝑙)𝑐𝑙 𝑗,𝑘+2𝑗𝑙 (3.14)
Và hệ số của hàm wavelet rời rạc:
𝜔𝑗+1,𝑘 = ∑ 𝑔(𝑙)𝑙 𝑐𝑗,𝑘+2𝑗𝑙 (3.15)
Với l là chiều dài giới hạn
3.6- Vài nét ứng dụng trong hệ thống điện 3.6.1- Những ứng dụng chính của Wavelet
Thay đổi cục bộ 4%
năng 32%
11%
2%
Bảo vệ HT 36%
Biến đổi Wavelet là một công cụ xử lý tín hiệu kỹ thuật số mạnh mẽ hiện nay, đang được áp dụng nhiều lĩnh vực của vật lý như thiên văn học, địa chấn học, quang học, y học, xử lý hình ảnh, xử lý tín hiệu nói chung [19]…
Wavelet được dùng trong hệ thống điện lần đầu vào năm 1994 bởi Robertson và Ribeiro. Những ứng dụng chính của biến đổi Wavelet trong hệ thống điện (HTĐ) có thể chia như sau:
- Bảo vệ hệ thống điện - Chất lượng điện năng - Quá độ trong hệ thống
- Biến đổi cục bộ trong hệ thống - Dự báo phụ tải
- Đo lường trong hệ thống.
Hình 3.4: Tỷ lệ các ứng dụng về những lĩnh vực khác nhau trong HTĐ được xuất bản
3.6.2- Ứng dụng trong bảo vệ hệ thống điện
Lợi ích của việc áp dụng biến đổi wavelet nâng cao khả năng hoạt động của rơle được nhận ra trong vài năm gần đây. Năm 1996, Chaariel giới thiệu wavelet cho bảo vệ rơle trong mạng phân phối để phân tích tín hiệu ngắn mạch chạm đất ở cấp 20kV nối đất lập lại, mô phỏng trong EMTP. Trong cùng năm J.Monoh giới thiệu thuật toán để đào tạo chính xác cho Hệ Trí tuệ Nhân tạo cũng sử dụng biến đổi wavelet.
Năm 1998 Magnago và Abur đã phát triển một kỹ năng mới để xác định vị trí ngắn mạch trên đường dây cũng sử dụng wavelet và mô phỏng trên EMTP để kiểm định.
Đến năm 1999 các tác giả trên đã phát triển đề tài trên cho mạng phân phối hình tia.
Năm 2003 D. Chanda et al. đã trình bày một phương pháp mới cho việc xác định vị trí sự cố dựa trên phân tích đa phân giải wavelet (MRA), mô phỏng trong EMTP. Năm 2007 C.K. Jung et al. đã mô tả một thuật toán mới lọc nhiễu, xác định các sóng phản xạ có cùng tần số để xác định vị trí sự cố trong môi trường nhiễu, dựa trên biến đổi wavelet tĩnh…
Và rất nhiều công trình khác đã được công bố trên thế giới về vấn đề bảo vệ trong hệ thống điện như bảo vệ cho thanh cái, động cơ, máy phát, máy biến áp, nhận dạng chất lượng điện năng, giải tích tín hiệu, lọc sóng hài…
Giới thiệu những vấn đề trên để cho thấy rằng sử dụng biến đổi wavelet vào bài toán trong hệ thống điện nói chung hay bảo vệ hệ thống điện nói riêng đang ngày càng được nghiên cứu và mở rộng của ngành điện trên thế giới.