Công thức tổng Poisson.
Xét trường hợp quen thuộc G = R,Γ = Z, giả sử rằng f ∈ Cc∞(R), cho toán tử tích chập R(f) trên L2(T) = L2(Z\R)
R(f)ϕ(x) = Z
R
f(y)ϕ(x+y)dy = Z
R
f(y −x)ϕ(y)dy
= Z
T
X
n∈Z
f(y+ n−x)ϕ(y)dy = Z
T
Kf(x, y)ϕ(y)dy.
trong đó Kf(x, y) = P
n∈Z
f(y+n−x) ∈ C∞(T ×T), ta có thể tính vết của R(f) bằng hai cách .
traceR(f) = Z
T
Kf(x, x)dx = X
n∈Z
f(n).
Mặt khác, ta có thể chéo hóa R(f) sử dụng cơ sở trực chuẩn en = e2πin, n ∈ Z, R(f) = fb(n)en (fblà biến đổi Fourier của f). Do đó
traceR(f) = X
n∈Z
fb(n).
Vì vậy, ta có công thức tổng Poisson X
n∈Z
f(n) = X
n∈Z
f(n).
Tiếp theo ta luôn kí hiệu G= SL(2,R). Công thức tổng Poisson cho SL(2,R). Xét nhóm con B của nhóm SL(2,R)
B =
g =
y−12 x 0 y12
Đây là nhóm con đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi afin của đường thẳng thực với đẳng cấu (y, x) → (a, b)
a = y−1, b = y−12x từ B vào B0.
B0 =
g =
y−12 0 0 y12
1 x 0 1
.
Nhóm con Borel B tác động lên nửa mặt phẳng Poincaré bởi phép biến đổi phân tuyến tính
z = x+ iy ∈ H 7→ az+b cz+d ∈ H .
Ta biết phân tích Iwasawa, với mỗi phần tử g =
a b c d
của SL(2,R) ta có:
a b c d
=
y−12 x 0 y12
cosθ −sinθ sinθ cosθ
=
y−12 0 0 y12
1 x 0 1
cosθ −sinθ sinθ cosθ
. Kí hiệu căn lũy đơn của G bởi N =
1 x 0 1
.
Định nghĩa 2.1. Cho Γ ⊆SL(2,Z) là nhóm con số học của SL(2,R). Cho H = {z ∈ C | Im(z) > 0}
là nửa mặt phẳng Poincaré. Một hàm được gọi là có điểm nhọn nếu với mỗi g ∈ SL(2,R) thì
Z
Γ∪N\N
f
1 n 0 1
g
dn= 0,∀g ∈ G.
Định nghĩa 2.2. Một hàm f :H →C được gọi là tự đẳng cấu nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f thỏa mãn f(γz) = f(z),∀γ ∈ Γ ; 2. f bị chặn ;
3. f có điểm nhọn, tức là R1 0 f
1 x 0 1
z
dx= 0 ; 4. f là hàm riêng 4f(z) = 1−s2
4 f(z) của toán tử Laplace 4 = −y2( ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2).
Kí hiệu oL2(Γ\H) là không gian tất cả các hàm có điểm nhọn trên nửa mặt phẳng Poincaré. Kí hiệu phần bù trực giao là L2cont(Γ\H).
Ta có
L2(Γ\H) =o L2(Γ\H)⊕L2cont(Γ\H).
Vấn đề đặt ra là cần thu được phân tích phổ của các không gian này thành tổng của các biểu diễn bất khả quy.
Định lí 2.10. Nếu Γ ⊂ SL(2,R) là một nhóm con rời rạc có diện tích hữu hạn, khi đó:
1. Các biểu diễn chính quy của SL(2,R) trong không gian oL2(Γ \H) của các hàm có điểm nhọn được phân tích thành tổng trực tiếp các biểu diễn Unita của không gian các hàm tự đẳng cấu.
2. Không gian oL2(Γ \H) được phân tích thành tổng trực tiếp của các không gian con SL(2,R)−bất biến.
oL2(Γ\H) =M
n6=0
HnMH+0 MH−0,
trong mỗi Hn nhóm SL(2,R) tác động như một biểu diễn bất khả quy.
3. Không gian Θ ⊂ L2cont(Γ\H) chỉ chứa phổ liên tục của toán tử Laplace.
Định nghĩa 2.3. Một hàm ϕ : SL(2,R) → C được gọi là tự đẳng cấu nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ϕ thỏa mãn: ϕ(γg) = ϕ(g),∀γ ∈ Γ ;
2. ϕ là bất biến phải: ϕ(gk) = ϕ(g),∀k ∈ K = SO(2) ; 3. ϕ bị chặn;
4. ϕ có điểm nhọn: R1 0 ϕ
1 x 0 1
g
dx = 0
5. ϕ là hàm riêng 4ϕ(g) = 1−s2
4 ϕ(g) của toán tử Laplace 4 = −y2( ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2) +y ∂2
∂x∂θ.
Kết hợp với mỗi dạng modular f, dạng tự đẳng cấu trên Γ\SL(2,R) f 7→ ϕf(g) = f(gi)
cho ta không gian các dạng tự đẳng cấu A(Γ\H) trên Γ\H và không gian các dạng tự đẳng cấu A(Γ\SL(2,R)) trên Γ\SL(2,R).
Định lí 2.11. Cho g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, là phân tích Iwasawa G = N AK, f là dạng tự đẳng cấu trên Γ\G, khi đó hàm liên hợp
fH(z) = yn2f(g)e(−nθ 2π) được định nghĩa trên nửa mặt phẳng Poincaré H.
Ngược lại, nếu fH là dạng tự đẳng cấu trên H thì hàm f(g) =y−n2fH(z)e(nθ
2π) là dạng tự đẳng cấu.
Các biểu diễn πn± của chuỗi rời rạc Dn được xác định trên không gian các hàm trên
H+ = {z ∈ C|I(z) > 0}
hoặc
H− = {z ∈ C|I(z) < 0}
với tích vô hướng
< f1, f2 >=
Z
I(z)>0
f1(z)f2(z)yn−1dxdy
và tác động của biểu diễn lên các hàm bởi công thức πn±(
a b c d
)f(x) = f
az +b cz +d
(cz +d)−n−1. Ta có nhóm con Cartan của SL(2,R) là
H =
y12 0 0 y−12
cosθ −sinθ sinθ cosθ
| y ∈ R×+, θ ∈ [0,2π]
∼= C× ∼= R×+×S1.
Bởi vậy ta có công thức Poisson cho C×. Khi hạn chế πn± |H ta có hàm điều hòa Fourier ei2πnθ và ta có công thức Poisson.
Định lí 2.12. (Công thức Vết)
1. Nếu πs ∈ Ps là một biểu diễn của chuỗi chính thì đặc trưng T race πs có dạng
T race πs± = |λg|s +|λg|−s
λg −λ−1g
(sgnλ)ε, s = iσ ∈ R, ε = 0; 1.
với ±= (−1)ε, λg là giá trị riêng của g =
a b c d
∈ SL(2,R).
2. Nếu πis ∈ Cs,0 < s < 1 là một biểu diễn của chuỗi đầy đủ thì đặc trưng T race πis có dạng
T race πis = |λg|s +|λg|−s
λg −λ−1g
,0< s < 1.
3. Nếu πn± ∈ Dn, n ∈ Z là một biểu diễn của chuỗi rời rạc thì đặc trưng T race πn có dạng
T race π±n = λ−n λg −λ−1g
einθ e±iθ −e∓iθ trong đó λg là giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất.
Ta quan tâm đến trường hợp nhóm thương Γ \ SL(2,R) là compact. Cho χ(γ) là biểu diễn hữu hạn chiều của Γ. Kí hiệu T IndSL(2,Γ R)χ là biểu diễn của SL(2,R) được cảm sinh từ Γ bởi χ. Mỗi biểu diễn của chuỗi rời rạc phân loại trong phân tích phổ thành bội hữu hạn và mỗi biểu diễn chính quy của SL(2,R) được phân tích thành tổng của các đặc trưng trong trường hợp được phân loại và ta có
T race T|L2(SL(2,R)) = XmπT race πn±+ Z +∞
−∞
T race πs±ds+
Z 1 0
T race πisds.
4. Số bội m±n là số các biểu diễn πn± của chuỗi rời rạc Dn phân loại thành các biểu diễn chính quy của SL(2,R) được tính toán theo công thức sau
m±n = [1+(−1)n−1ε]
νvol(Γ\SL(2,R))
π2 n∓X
{γ}
k−1
X
s=1
1 4ki
T race(γs) sinπsk e−iπsnk
Tổng kết lại chúng ta có định lý sau:
Định lí 2.13. Phần rời rạc của biểu diễn chính quy của SL(2,R) trong không gian L2(Γ\SL(2,R)) là toán tử unita và được phân tích thành tổng trực tiếp của biểu diễn chuỗi rời rạc và giới hạn của biểu diễn chuỗi rời rạc, mỗi thành phần có một bội hữu hạn, và một phần tổng trực tiếp với biểu diễn chuỗi chính và biểu diễn chuỗi đầy đủ.
Chương 3
Công thức tính vết trên SL(2, R )