CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.2. Cơ sở lí thuyết điều khiển
Tên gọi PID [4] viết tắt của ba thành phần cơ bản có trong bộ điều khiển gồm khâu khuếch đại (P), khâu tích phân (I) và khâu vi phân (D). PID gồm ba đặc tính khác nhau:
- Phục tùng và thực hiện chính xác nhiệm vụ được giao (tỷ lệ),
- Làm việc và có tích lũy kinh nghiệm để thực hiện tốt nhiệm vụ (tích phân), - Luôn có sáng kiến và phản ứng nhanh nhạy với sự thay đổi tình huống trong quá trình thực hiện nhiệm vụ (vi phân).
Bộ điều khiển PID được sử dụng khá rộng rãi để điều khiển đối tượng SISO theo nguyên lí hồi tiếp. Lý do bộ PID được sử dụng rộng rãi là tính đơn giản của về cả cấu trúc lẫn nguyên lí làm việc. Bộ PID có nhiệm vụ đưa sai lệch e(t) của hệ thống về 0 sao cho quá trình quá độ thỏa mãn các yêu cầu cơ bản về chất lượng:
- Nếu sai lệch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần up(t), tín hiệu điều chỉnh u(t) càng lớn (vai trò của khuếch đại kp).
- Nếu sai lệch e(t) chưa bằng 0 thì thông qua thành phần uI(t), PID vẫn còn tạo tín hiệu điều chỉnh (vai trò của tích phân TI).
- Nếu sự thay đổi của sai lệch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần uD(t), phản ứng thích hợp của u(t) sẽ càng nhanh (vai trò của vi phân TD).
Bộ điều khiển PID được mô tả bằng mô hình vào – ra:
0
1 ( )
( ) p ( ) t ( ) D
I
u t k e t e d T de t
T dt
(2.4)
Trong đó: e(t) là tín hiệu đầu vào, u(t) là tín hiệu đầu ra, kp được gọi là hệ số khuếch đại, TI là hằng số tích phân và TD là hằng số vi phân.
Từ mô hình vào – ra trên ta có được hàm truyền của bộ điều khiển PID:
( ) p 1 1 D
I
R s k T s
T s
(2.5)
Chất lượng của hệ thống phụ thuộc vào các tham số kp, TI, TD. Muốn hệ thống có được chất lượng như mong muốn thì phải phân tích đối tượng rồi trên cơ sở đó chọn các tham số đó cho phù hợp. Hiện có khá nhiều phương pháp xác định các tham số kp, TI, TD cho bộ điều khiển PID, song tiện ích hơn cả trong ứng dụng vẫn là:
- Phương pháp Ziegler-Nichols
- Phương pháp Chien-Hrones-Reswick - Phương pháp tổng T của Kuhn
- Phương pháp tối ưu độ lớn và phương pháp tối ưu đối xứng - Phương pháp tối ưu theo sai lệch bám
- Xác định tham số PID bằng thực nghiệm
Một điều cần nói thêm là không phải mọi trường hợp ứng dụng đều phải xác định cả ba tham số kp, TI, TD. Chẳng hạn, khi bản thân đối tượng đã có thành phần tích phân
thì trong bộ điều khiển ta không cần phải có thêm khâu tích phân mới làm cho sai lệch tĩnh bằng 0, hay nói cách khác, khi đó ta chỉ cần sử dụng bộ điều khiển PD là đủ.
( ) p 1 D
R s k T s (2.6)
Hoặc khi tín hiệu trong hệ thống thay đổi tương đối chậm và bản thân bộ điều khiển không cần phải có phản ứng thật nhanh với sự thay đổi của sai lệch e(t) thì ta có thể chỉ cần sử dụng bộ điều khiển PI (TD=0) có hàm truyền:
( ) p 1 1
I
R s k
T s
(2.7)
2.2.1. Hai phương pháp xác định tham số PID của Ziegler-Nichols
Ziegler và Nichols đã đưa ra hai phương pháp thực nghiệm để xác định tham số bộ điều khiển PID. Trong khi phương pháp thứ nhất sử dụng dạng mô hình xấp xỉ quán tính bậc nhất có trễ của đối tượng điều khiển:
( ) 1 ke Ls
S s Ts
(2.8)
Thì phương pháp thứ hai nổi trội hơn ở chỗ hoàn toàn không cần đến mô hình toán học. Tuy nhiên hạn chế là chỉ áp dụng được cho một lớp các đối tượng nhất định.
2.2.2. Phương pháp Chien-Hrones-Reswick
Đây là phương pháp gần giống với phương pháp thứ nhất của Ziegler-Nichols, song phương pháp không sử dụng mô hình tham số 2.5 gần đúng dạng quán tính bậc nhất có trễ cho đối tượng này mà thay vào đó là trực tiếp dạng hàm quá độ h(t).
Hình 2.4: Hàm quá độ đối tượng thích hợp cho phương pháp Chien- Hrones-Reswick
Phương pháp Chien-Hrones-Reswick cũng cần giả thiết đối tượng ổn định, hàm quá độ h(t) có dạng hình chữ S (Hình 2.4), tức là luôn có đạo hàm không âm:
( ) ( ) 0
dh t g t
dt (2.9)
Tuy nhiên phương pháp này thích ứng với những đối tượng bậc cao như quán tính bậc n
( ) (1 )n S s k
sT
(2.10)
Và có hàm quá độ h(t) thỏa mãn:
b 3
a (2.11)
Trong đó a là hoành độ giao điểm tiếp tuyến của h(t) tại điểm uốn U với trục thời gian (hình 2.4) và b là khoảng thời gian cần thiết để tiếp tuyến đó đi được từ 0 tới giá trị xác lim ( )
k t h t
2.2.3. Phương pháp tổng T của Kuhn Cho đối tượng có hàm truyền
1 2
1 2
(1 )(1 )...(1 )
( ) (1 )(1 )...(1 )
t t t
m sT
m m m
n
T s T s T s
S s k e
T s T s T s
, (m<n) (2.12)
Giả thiết rằng hàm quá độ h(t) có dạng hình chữ S như mô tả ở Hình 2.5, vậy thì các hằng số thời gian ở tử số ܶ௧ phải được giả thiết nhỏ hơn hằng số thời gian tương ứng ở mẫu số ܶ. Nói cách khác, nếu như đã có sự sắp xếp:
1t 2t ... mt
T T T và T1m T2m ... Tnm (2.13) Thì cũng phải có:
1t 1m
T T , T T2t 2m, …, Tmt Tnm (2.14)
Hình 2.5: Quan hệ giữa điện tích và tổng các hằng số thời gian
Trong đó: t và m trong ܶ௧và ܶ không có ý nghĩa lũy thừa mà chỉ là ký hiệu nói rằng nó thuộc về đa thức tử số hay mẫu số trong hàm truyền S(s).
Phương pháp tổng T của Kuhn bao gồm hai bước như sau:
1) Xác định k, ܶσ 2) Xác định tham số
2.2.4. Phương pháp tối ưu độ lớn
Yêu cầu chất lượng đối với hệ thống điều khiển kín có đối tượng S(s) và bộ điều khiển phải tìm R(s), mô tả bởi hàm truyền tương đương:
( ) 1 G s SR
SR
(2.15)
Là hệ thống luôn phải có được đáp ứng y(t) giống như tín hiệu lệnh được đưa ở đầu vào w(t) tại mọi điểm tần số hoặc ít ra thời gian quá độ để y(t) bám được vào w(t) càng ngắn càng tốt. Nói cách khác, bộ điều khiển lý tưởng R(s) cần phải mang đến cho hệ thống khả năng
( ) 1
G jw (2.16)
Trong thực tế, vì nhiều lý do mà yêu cầu R(s) thỏa mãn (2.13) khó được đáp ứng, chẳng hạn như vì hệ thống thực luôn có bản chất quán tính, tính “cưỡng lại lệnh” tác động từ ngoài vào. Song “tính xấu” đó của hệ thống lại được giảm bớt ở chế độ làm việc có tần số lớn, nên thường đã thỏa mãn với bộ điều khiển R(s) khi hệ thống đảm bảo tính chất (2.13) trong một dải tần số rộng thuộc lân cận 0. Dải tần số này càng rộng, hệ sẽ càng đi nhanh vào chế độ xác lập, tức là quá trình quá độ của hệ sẽ càng ngắn.
2.2.5. Phương pháp tối ưu đối xứng
Có thể thấy ngay được sự hạn chế của phương pháp thiết kế PID tối ưu độ lớn là đối tượng S(s) phải ổn định, hàm quá độ h(t) phải đi từ 0 và có dạng hình chữ S.
Phương pháp chọn tham số PID theo nguyên tắc tối ưu đối xứng được xem như là một sự bù đắp cho nhược điểm trên của đối tượng tối ưu độ lớn. Trước tiên, ta xét hệ kín gọi Gh(s)=R(s)S(s) là hàm truyền của hệ hở. Khi đó hệ kín có hàm truyền:
( ) ( )
( ) ( )
1 h h( ) h 1 ( )
G s G s
G s G s
G s G s
(2.17)
Giống như ở phương pháp tối ưu độ lớn, để có G jw( )1 trong dải tần số thấp thì phải có:
( )
G jw >>1 trong dải tần số nhỏ (2.18)
2.2.6. Chọn tham số PID tối ưu theo sai lệch bám
Xét hệ SISO, làm việc theo nguyên lý hồi tiếp, gồm đối tượng S(s) và bộ điều khiển PID (hoặc PI). Bài toán có nhiệm vụ xác định các tham số của bộ điều khiển PI, gồm kp, TI hoặc kp, TI, TD sao cho tín hiệu ra y(t) “bám” được vào tín hiệu lệnh w(t) một cách tốt nhất theo định nghĩa
2 2
( ) ( ) ( )
Q w t y t e t min (2.19)
Gọi E(s) là ảnh Laplace của e(t) với cấu trúc:
0 1 1 1
0 1 1 1
... 3
( ) ...
n n
n n
n
b b b s
E s a a s a s s
(2.20)
Khi đó, rõ ràng tất cả các tham số bi, ak với i = 0, 1, …,m , k = 0, 1, …, n của E(s) là phụ thuốc vào bộ tham số kp, TI, TD cần xác định của bộ điều khiển.
Sử dụng phương pháp tìm Q theo Krasowwski, ta đến được Q2 dưới dạng hàm tường minh:
2 ( , , )p I D ( )
Q f k T T f p trong đó p( , , )k T Tp I D T (2.21) 2.2.7. Xác định tham số PID bằng thực nghiệm
Tương tự như ở phương pháp thực nghiệm của Ziegler-Nichols, Takahashi cũng đưa ra một phương pháp xác định ba tham số kp, TI và TD của PID số hoặc từ đường đồ thị hàm quá độ h(t) của đối tượng S(s) hoặc từ giá trị tới hạn kth và Tth.
Điều kiện để xác định tham số PID bằng thực nghiệm là đối tượng phải ổn định, có hàm quá độ h(t) đi từ 0 và có dạng hình chữ S (không có độ quá điều chỉnh).
Hình 2.6 biểu diễn dạng h(t) chung cho những đối tượng có thể áp dụng được phương pháp thực nghiệm. Từ đường h(t) đó ta lấy được các giá trị:
- k là hệ số khuếch đại của đối tượng, được xác định từ h (t) theo ݇ ൌ ௧՜ஶ݄ሺݐሻ - L là giá trị xấp xỉ thời gian trễ.
- T là giá trị đặc trưng cho quá trình quá độ, là thời gian cần thiết để đường tiếp tuyến với h(t) tại điểm uốn đi được từ 0 tới k.
- T95% là điểm thời gian mà h(t) đạt được giá trị 0,95k.