Mô hình tổn thất vượt ngưỡng

2.6. Phương pháp vượt ngưỡng

2.6.2. Mô hình tổn thất vượt ngưỡng

Bổ đề 2.6.5. Giả sử F là phân phối tổn thất với điểm cuối bên phải xF và giả sử nó cao hơn ngưỡng u.

Ta có:

( ) , ( )

F xu G  x với 0xxF u và , 0. Phương pháp:

Cho dữ diệu tổn thất X X1, 2,...,Xn từ F; một số ngẫu nhiên Nu sẽ vượt quá ngưỡng u, để thuận lợi ta sẽ dán nhãn một lần nữa dữ liệu 1, 2,...,

Nu

X X  X với mỗi ngưỡng ta tính tổng số: Yj Xj u của thiệt hại vượt mức. Ta ước lượng tham số của mô hình GPD bởi phân phối phù hợp đến các thiệt hại vượt quá Nu. Có nhiều cách khác nhau phù hợp với phương pháp GPD bao gồm khả năng tối đa hợp lý (maximum likelihood) (ML) và phương pháp xác suất trọng điểm (PWM). Các phương pháp cũ được sử dụng thường xuyên và dễ thực hiện nếu dữ liệu vượt

ngưỡng là biến ngẫu nhiên độc lập, vì mật độ khớp nối sẽ là một sản phẩm của mật độ GPD biên.

Viết G , là mật độ của GDP, khả năng tối đa có thể dễ dàng tính toán để được:

 1  ,  

1

ln , ; ,..., ln

u

u

N

N j

j

L   Y Y g  Y





1

ln 1 1 ln 1

Nu

j u

j

N  Y

  

 

 

       

   , (2.27)

Trong đó  0 và 1 Yj 0

 j

    .

2.6.3. Mô hình đuôi và thước đo của rủi ro đuôi

Trong phần này ta mô tả mô hình GPD của tổn thất vượt ngưỡng là sử dụng ước lượng đuôi của phân phối tổn thất F và kết hợp với đo lường rủi ro. Ta cần làm tính toán lý thuyết chúng ta sẽ làm lại với bổ đề 2.6.5.

Xác suất đuôi và thước đo rủi ro đuôi: Từ bổ đề 2.6.5 ta có:  x u;

 

F x = P X u P X  x X u

= F u P X   uxu X u

= F u F x u  u  

=  

1/

1 x u

F u



 

  

  

 

. (2.28)

Trong đó nếu ta biết F u , cho công thức xác suất đuôi. Công thức này có thể thu được bởi phép biến đổi ngược điểm phân vị của phân phối cơ bản, nó giải thích giá trị rủi ro. Với  F u  VaR được cho bằng công thức:

   

1 1

VaR q F u

F u



 

 



   

 

      

. (2.29)

Giả sử  1 ta có thể tính được tổn thất kỳ vọng một cách dễ dàng. Ta có:

 

1 1

1 x 1 1

VaR u

ES q F dx 



 

  

   

    . (2.30)

Ước lượng trong thực hành: Chúng ta chú ý rằng, trong bổ đề (2.6.5) xác suất đuôi, VaRs và tổn thất kỳ vọng được cho bởi công thức: g , ,F u  . Giả

sử ta có GPD của tổn thất vượt ngưỡng u, như mô tả trong phần 2.6.2 Chúng ta ước lượng số lượng các đại lượng bằng cách thay thế  , trong (2.28), (2.29), và (2.30) bởi các ước lượng của nó. Tất nhiên chúng ta cũng đòi hỏi phải có một ước lượng của F u  và ở đây chúng ta đã có ước lượng thực nghiệm đơn giản Nu

n . Để làm được điều này chúng ta ngầm giả định rằng ngưỡng u để ước lượng F u  đủ tin

cậy. Tuy nhiên chúng ta hy vọng sẽ thu được phương pháp thực nghiệm bằng cách dựa trên cơ sở ngoại suy GPD của xác suất đuôi cực trị và đo lường rủi ro. Chúng ta có ước lượng đầu tiên của xác suất đuôi do Smith đề suất có công thức:

   

1/ u 1

N x u

F x n



 

  

   

 

. (2.31)

Chú ý rằng công thức trên chỉ đúng với xu. Với 1 Nu

   n làm tương tự chúng ta thu được ước lượng điểm của VaR và ES từ (2.28) và (2.29).

Tất nhiên chúng ta cũng muốn có được một khoảng tin cậy. Nếu chúng ta có được xấp xỉ hợp lý  và  khi đó chúng ta dễ dàng tìm được khoảng điều kiện của

 , ,Nu g  n 

  trong đó có kể đến tính bất định của  và  nhưng bỏ qua tính bất định trong Nu

n như là một ước lượng của F u . Chúng ta sử dụng phương pháp xấp xỉ ở phần cuối của 2.5 về mức lợi suất. Theo đó các mô hình GPD về

 , ,Nu

g n

   

  và khoảng điều kiện của  được xây dựng dựa trên các kiểm tra tỷ lệ hợp lý.

2.6.4. Phương pháp Hill

Phương pháp GPD không phải là cách duy nhất để ước lượng đuôi của phân phối, ta có thể chọn một phương pháp khác để thay thế. Trong phần này chúng ta trình bày phương pháp Hill để mô hình hoá các đuôi của phân phối đuôi nặng.

Ước lượng chỉ số đuôi: Trong phương pháp này ta giả định rằng phân phối tổn thất cơ bản thuộc miền hấp dẫn cực đại của phân phối Fréchet, khi đó theo định lý Gnedenko đuôi của F có dạng:

   

F x L x x, (2.32)

Hình 2.5: Ước lượng chỉ số đuôi Nguồn: [8]

Trong đó L là một hàm thay đổi chậm, tham số  0.

Công thức ước lượng Hill có thể tìm được theo nhiều cách khác nhau. Có lẽ elegent nhất là xét hàm vượt ngưỡng trung bình của tổn thất logarit ln X , trong đó X là biến ngẫu nhiên với phân phối (2.32). Viết e* là hàm vượt ngưỡng trung bình của ln X và sử dụng phép lấy tích phân bởi phần mà chúng ta tìm thấy.

 

* ln

e u = ElnX lnu lnXlnu

=  1 u lnx lnu dF x ( )

F u

 



=  

 

1

u

F x dx x F u





=  1   ( 1)

u L x x dx F u

 

 .

Với u đủ lớn, hàm L x  thay đổi chậm với xu về bản chất có thể xử lý như hằng số và đưa ra ngoài tích phân. Ngoài ra, có thể sử dụng định lý Karamata’s, ta được:   u ,

   

 

1

* 1

ln L u u e u

F u





 

 

 .

Nên lim *ln  1

u e u

  . Chúng ta hy vọng rằng sẽ gặp trạng thái tương tự trong hàm trung bình vượt ngưỡng en* trong

     

 

1 1

i

i

n

i X v

i

n n

X v

i

X v I e v

I

 

 





 .

được xây dựng từ quan sát log. Đặc biệt viết Xn, nXn1,n ... X1, n là số liệu thống kê theo thứ tự thông thường chúng ta có thể kỳ vọng rằng en*lnXk n, 1 với k đủ nhỏ. Đánh giá hàm trung bình vượt ngưỡng theo thứ tự trên ta được công thức ước lượng 1 k11kj11lnXj n, lnXk n, . Dạng chuẩn của ước lượng Hill thu được bởi phép biến đổi định thức con:

 

1

, , ,

1

1 ln ln , 2 .

H k

k n j n k n

j

X X k n

 k





 

    

   (2.33)

Công thức ước lượng Hill là một trong những nghiên cứu nhiều nhất trong tài liệu EVT. Đặc tính tiệm cận (tính nhất quán, tiệm cận, tính chuẩn tắc) của ước

lượng (theo mẫu kích thước n số lượng cực trị k   và phân số đuôi k 0 n ), đã được nghiên cứu tổng quát dưới các mô hình giả định khác nhau đối với các dữ liệu bao gồm ARCH và GARCH chúng ta tập trung vào sử dụng các công cụ ước lượng trong thực hành, đặc biệt nó biểu diễn quan hệ ước lượng GPD.

Cơ sở Hill dựa trên ước lượng đuôi: Đối với các ứng dụng quản lý rủi ro, trong bài này chúng ta ít quan tâm tới ước lượng chỉ số đuôi của dữ liệu đuôi nặng mà quan tâm nhiều hơn tới đuôi và ước lượng đo lường rủi ro đuôi.

Chúng ta giả định rằng một cái đuôi có công thức

  , 0,

F x Cx xu

Với ngưỡng cao u nói cách khác chúng ta thay thế hàm biến đổi chậm bởi hằng số x đủ lớn. Đối với giá trị xấp xỉ của k chỉ số đuôi  được ước lượng bởi  

, H

k n và ngưỡng u được thay thế bởi Xk n, (hoặc Xk1 ,n trong một số tài liệu khác), nó còn được dùng để ước lượng C. Từ đó C có thể được viết làC u F u   tương

đương với việc ước lượng F u  và ước lượng thực nghiệm rõ ràng là k

n (hoặc 1

k n

 trong một số tài liệu khác). Đặt các ý tưởng với nhau chúng ta ước lượng đuôi Hill ở dạng chuẩn của nó:

 

(,)

,

H k n

k n

k x F x n X



 

  

 

. (2.34)

Viết ước lượng theo cách này nhấn mạnh cách mà nó được xử lý toán học. Với cặp bất kì k và n, cả 2 ước lượng Hill và ước lượng đuôi liên kết được xử lý như hàm số liệu thống kê theo thứ tự trên k từ mẫu có kích thước n. Rõ ràng nó có thể đảo ngược ước lượng để được ước lượng phân vị và nó cũng có thể đưa ra ước lượng của tổn thất kỳ vọng sử dụng các lập luận về đuôi thường xuyên thay đổi.

Các GPD dựa trên các ước lượng đuôi (2.6.3) thường được coi là hàm của số ngẫu nhiên Nu của thống kê trên một ngưỡng cố định u. Chúng ta có thể dễ dàng rút ra các ước lượng bằng cách làm tương tự. Giả sử chúng ta viết lại công thức (2.34) bằng cách thay  H u, và Nu tương ứng bởi

  ,

,

1H , Xk n

k n

và k. Ta được:

   

 

  1

1

H

u H

H

N x u

F x n u







  

 

 

 

 

.

Ước lượng này thiếu các tham số  trong 2.6.3 do đó khó thực hiện tốt được.