Ta biết rằng, các số hữu tỉ là đếm được (vì tập các số hữu tỉ tương ứng 1-1 với X , tập các số nguyên dương). Ta cũng có một phép tương ứng 1-1 giữa các phàn tử của dãy diatomic Stem và tập các số hữu tỉ.
' b '
Đinh lí 1.4 Anh xa n I—> —^— là môt song ảnh từ z + vào tâp các sô hữu tỉ K +1
dương.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lí bằng cách chỉ ra rằng mọi cặp số nguyên tố cùng nhau [a,b] xuất hiện chỉ một làn trong dãy
L := [1,1], [1,2], [2,1], [1,3], [3,2], [2,3], [3,1],...,
Ta định nghĩa "thuật toán ơclit chậm" (Slow Euclidean Algorithm-SEA) trên các cặp số nguyên dương như sau: Cho một cặp [a,b], trừ số lớn cho số nhỏ hơn, lặp lại, dừng khi hai số trong cặp bằng nhau.
Ví dụ:
[4, 7] H. [4,3] H. [1, 3] H. [1,2] l-> [1,1],
[14,24] l-> [14,10] [4,10] [4,6] [4,2]—>[2,2].
Ta nhận thấy rằng, sau mỗi bước, ước chung lớn nhất của hai số a và ố là không đổi. Thật vậy, giả sử a và ỏ là hai số nguyên dương, a > b, k là ước chung lớn nhất của a và ỏ thì a = aỉk, b - bịk. Khi đó a - b = (aỉ - b ỉ )k, ở đây av bị là hai số nguyên tố cùng nhau, từ đây suy ra ước chung lớn nhất của b và a - b cũng là k. Rõ ràng, vì tập số tự nhiên bị chặn dưới bởi số 0, nên thuật toán này sẽ kết thúc và vì ước chung lớn nhất được giữ nguyên ở mỗi bước, nên thuật toán phải kết thúc tại [g ,g ], ở đó g = gcd(a,bỴ
Đặt Ln := [ỏn,ỏn+1]. Từ (1.1.1), thấy rằng với n> \ thì SEA: L2n,L2n+l I—> Ln
và hơn nữa, nếu SEA: [a,b] h-> Ln thì hoặc [a,b] - L2n hoặc [a,b] - Lln+Ỉ. Vì Lị = [1,1] nên mỗi Ln là một cặp nguyên tố cùng nhau.
Nếu có cặp nguyên tố cùng nhau [a,b\không nằm trong L, thì tất cả các phàn tà tiếp sau dưới thuật toán SEA, bao gồm cả [1,1], cũng không nằm trong
L (mâu thuẫn). Do đó, mọi cặp nguyên tố cùng nhau đều xuất hiện trong L.
Cặp [1,1] chỉ xuất hiện một làn trong L. Nói chung, không có cặp nguyên tố cùng nhau nào xuất hiện nhiều hơn một làn trong L. Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại một số n nhỏ nhất, n> 1 sao cho Ln - Lm với m >n. Áp dụng một bước của thuật toán SEA vào cả hai và Lm cho
m - n + ỉ. Do đó, bn = bn+Ị = bn+2 (mâu thuẫn).
Nhận xét Tập hợp
1 1 2 1 3 2 3 1 4
n m
_2_ _2_ và do đó
l ’2 ’ l ’3 ’2 ’ 3 ’ l ’4 ’3 ’" ‘’ bn 7
tương ứng 1-1 với tập các số hữu tỉ dương (mà không có số nào xuất hiện hai lần).
Kí hiệu ỊxỊ là kí hiệu cho phần dư (phần thập phân của JC). Theo định nghĩa phàn nguyên và phần dư của X ta có
1 + 2|_JC J - x = l + 2 ị x - {jt}) - x = l + x - 2 ị x } . Phương trình (1.1.7) dẫn đến Định lí 1.5 dưới đây.
Định lí 1.5 Dãy lặp JCj=l, X J=l + — -2-1 — L n = 1,2,... (hay dãy lặp
X X
x 4.1 n+1= 1 + 2 x_
---), 1 trải hêt tập các sô hữu tỉ dương.
X
~ b , . 1 1
Chứng minh Đăt rn ta có thế viết lai công thức (1.1.7) K
K +1 = K + K - x - 2 { K -1 m o d K ) dưới d ạ n g !
rn+i = ỉ+ - r - 2 \ z r \ hay = 1 + 2 rn Thật vậy, ta có
( b \
K +1 = b n + K -1 - 2{ K -1mod K ) = K + K - x - 2 K - \ ~ b n
l L b n \ )
= b ,-b ,_ ,+ 2 b , .
L b n _
Suy ra i „ 2 = - i„ + 2i„+] A - hay | ± ì = l - i + 2 A - .
_ B+l J n+1 n+1 L n+1 -
1 ^ 1 , 1 „ ( l f l l ì , 1 l ì Suy ra rn+l = 1 - — + 2 — = 1 - —+ 2 — - i — f =1 + — — 2< — k
rn l rn \ rn \ r n ự ô } ) Tn ự n \
1TLS. fl 1 2 1 3 2 3 1 4 bn+ì
Mà theo Nhận xét 1 ở trên thì tập ,...,^Ĩ±L,
■ [1 2 1 3 2 3 1 4 3 bn ứng 1-1 với tập số hữu tỉ dương.
tương
Từ đây suy ra điều phải chứng minh. □ Ta kết thúc mục này bằng hai công thức thú vị sau.
Định lí 1.6 Cho t > 1,
“ l í
Y ~ ^ — = — —Tì (1.1.12)
m=ỷkn,tbm- l ( í - 1 ) 2
k=1 v '
và
X , (1-1-13)
n=1 D2n0 2n+l°2n+2
Chứng minh Với số hữu tỉ r, kí hiệu ổ[r) là mẫu số của r khi r được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, hay
<ỹ(r) := min {ả: e N :fe , e Z |.
Đặt A = ịịn, j) : n , > n |v à B = ị ị r ,k ) \ r e Q , 0 < r < 1, £ e Z +j, và
( n ì
định nghĩa f : A ^ > B là hàm f { n , j } = .,g c d( n ,j) ■ Ta thấy / là song
v i /
ánh và nếu f ị n , j) = (r ,k) thì ố ( r ) = — và vì vậy k ổ ịr ) - j.
Do đó
] . ^ = j . h - a{r)= ị ỵ , t - ‘ = ị t - ' ị r ‘ = - ±
ữ<r<ỉt ữ<r<ìk=l n=lj>n n=1 /=1 ịt — ]
ữ<r<\t 0<r<\k=ì n=ì j>n n=1 j=\ { t — 1^
Chú ý rằng với số nguyên dương j bất kì, bj < b j +ỉ nếu và chỉ nếu j chẵn.
Do đó, bất cứ số hữu tỉ ngặt nào giữa 0 và 1 đều có dạng ^2m - , với
^2m +l ^2m +l
m> 1 duy nhất, và ta thấy rằng:
“ 1 1
ỉ i / * 2- 1 - l = ( í - l )
Vì ốj =1, cộng —— vào cả hai vê ta được (1.1.12).1
Kí hiệu a _L b nghĩa là a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Để chứng minh công thức thứ hai, ta viết lại vế trái bằng cách sử dụng phép thế m - n + k thì
= 2 I 77 T ũ = i X
n=l ^2n^2n+1^2n+2 n,k>\,nl.k Y l k ị ĩ l + m=2 k<m,kLm k ^ k m
_ " 2 ^ r 1 1 1 ^ 4 1
= £ 3 3 z 7 + — V = x 3 I 7
771=2 771 k < m , k l . m k m - k
Ta chú ý rằng (xem Theorem 7, [1]), nếu điểm (a,Ị3) được chọn ngẫu nhiên duy nhất từ tam giác I( a , 0) : 0 < a < 1,0 < p < a Ị tìiì xác suất để mẫu số nhỏ nhất có thể của bất cứ phân số nào giữa a và J3 là n được cho bởi công thức
— X 3 ¿ -t -1
ft k<n; k gcd(fc,n)=l
nên tổng thứ m ( m th summand) trong vế phải là xác suất mà m là mẫu số nhỏ nhất của bất cứ phân số nào giữa hai tọa độ của một điểm p được chọn ngẫu nhiên từ hình vuông đơn vị. Do đó, tổng này bằng 1. □ Dãy Stem có thể được phát triển thành đa thức Stem như sau.