Sau một số năm nghiên cứu và trao đổi với các nhà toán học đương thời, năm 1734 Leonhard Euler đã công bố một kết quả bất ngờ về việc đưa ra công thức tính giá trị của hàm C(2^)- về m ặt cơ bản ta có thể giới thiệu trình bày kết quả của Euler như sau
Với mọi 2 ễ C mà \z\ < lĩ ta có
7 1 = 1
7 1 = 1 k=0
00 ( 00 1 \ -2k
= 1 _ 2 ^
n = l \ f e = l /
Ngoài ra, sử dụng dạng khai triển khác đối với hàm trên như sau
cos z eiz + e~iz 2iz n (2iz)
z c o t z = z—— = i z ^ —---7- = iz + 2iz — ' , ^ „
•--- — 1 “I” ^ Bị.
i z _ ỵ / J K
k= 2
k
sin 2 é*2 — é- ** e2i,ỉ — 1 A:!
k= 2
trong đó B k là các số Bernoulli. So sánh các hệ số lũy thừa của z k trong hai công thức trên, ta thu được biểu diễn nổi tiếng sau
n t+l (2ĩr)2* n ( W = (- 1) 2(2*)!
Từ công thức này, ta nhận được các giá trị của hàm zeta Riemann tại các số nguyên chẵn
7r 2 7T4 7T6
C(2) = ^;C(4) = ^;C(6) = ^-;C(8) = 7T , ---
6 9 945 ' 9450
2.2.6 M ố i q u a n h ệ g iữ a C(k) v à Bỵ
Để giới thiệu về mối quan hệ giữa hai giá trị trên, trước bằng cách thay thế một cách hình thức các giá trị s = 0; —1; —2;... vào công thức
(2.1) và dĩ nhiên bỏ qua tính phân kỳ của hàm ((s) ta nhận được
1 + 1 + 1 + ... =C( 0) = - ị ;
1 + 2 + 3 + ... = C ( - 1 ) = - ^ ;
l 2 + 22 + 32 + ... = C (-2) = 0;
ịk + 2k + 3k + _ = = _ Ị ^ ± !
k + 1
Về mối quan hệ giữa hàm ((k) và các số B k đã được một số nhà Toán học nghiên cứu đến. ở đây, chúng tôi giới thiệu một trong số những kết quả này được thiết lập trong [10]. Bằng việc thay thế biến nguyên dương n bởi biến thực X và do các hàm tương ứng được xét dưới đây khả tích trên đoạn [0,1] nên ta có
s*(ra) = l fc+ ...+ (n - l ) fc s k(x) I s k(x)dx = = C(-fc)- 1
0 n(n — 1) x( x — 1)
2
0 l 2 + ... + (n - l ) 2
x( x — l)(2a: — 1) f x ( x — l)(2x — 1) ---„--- / ---dx
0 6 0 = C(-2);
1 0
2.3 Giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm nguyên dương
Một khám phá tiếp theo được đánh giá ngoạn mục nhất cho đến nay về hàm zeta Riemann là việc tính giá trị C(2n + 1) được chứng minh bởi R. Apéry vào năm 1978 rằng £(3) là số vô tỷ. Ta có thể giới thiệu một cách khái quát về kết quả này như sau (chi tiết hơn ta tham khảo trong [1]). Để nhận đươc kết quả này, Apéry đã đưa ra một công thức biểu diễn khác về giá trị £(3) dưới dạng của một chuỗi hữu tỷ hội tụ với tốc độ đủ nhanh như sau
Sử dụng một kết quả trong lý thuyết số “N ế u m ộ t ch u ỗ i số h ữ u tỷ h ộ i t ụ đ ủ n h a n h , t h ì tổ n g c ủ a chuỗi đó là số vô tỷ ” . Chuỗi trong vế phải trong công thức biểu diễn (2.11) thỏa mãn giả thiết của định lý này. Từ đó, Apéry đã đạt được kết quả về việc khẳng định C(3) là số vô tỷ.
Dạng tương tự với công thức này cũng đã được Euler tìm ra trước đó đối với hai giá trị sau
(2.11)
và
у л 1 _ 3 6 у л (-1)*
^ А:4 “ 17 ^ / 9 , \ '
fc=i fc=i / 2/с Ị
Tuy nhiên, vẫn chưa có bất cứ một công thức biểu diễn như vậy cho các giá trị khác của (( n ) ; n = 5,6, 7,... để khẳng định ít nhất về tính vô tỷ của chúng. Theo hướng nghiên cứu này của Apéry để khẳng định tính vô tỷ của các giá trị này, đã được Van der Poorten quan tâm đến và đã chỉ ra những khó khăn nhất định (xem [6] ). Trong thời gian gần đây, một số kết quả trọng yếu liên quan đến vấn đề này đã thu được bởi Tanguy Rivoal và một số nhà Toán học khác. Chúng ta giới thiệu một số kết quả này
Đ ịn h lý 2.3.1. (Rivoal 2000 [13]). Có vô hạn các giá trị vô tỷ của hàm zeta Riemann tại các số nguyên dương lẻ. Hơn nữa, nếu
N(n ) = Ф các số vô tỷ trong các số C(3), C(5), •••, с(2гг + 1), thì N ( n) > ơ log 71 với n đủ lớn, trong đó с có thể nhận giá trị
1 2(log 1 + 2)
Đ ịn h lý 2.3.2. (Rivoal 2002 [12]). ít nhất một trong chín số C(5), C(7), C(21) là số vô tỷ.
Đ ịn h lý 2.3.3. (Rivoal 2002 [17]). í t nhất một trong bốn số C(5), C(7), C(9), C(ll) ỉà số vô tỷ.
Việc tìm ra những công thức biểu diễn đẹp đẽ như các giá trị C(2n) đối với các giá trị C(2n + 1) vẫn đang là sự quan tâm khá nhiều của
việc giới thiệu một số các biểu diễn về giá trị C(2n) như trên, chúng tôi giới thiệu kết quả gần đây nhất về giá trị của hàm zeta Riemann tại các số nguyên dương lẻ. Cũng phải nhấn mạnh rằng các biểu diễn này vẫn chỉ nằm dưới dạng các tích phân. Trước hết, chúng ta cần đến một số kết quả sau
B ổ đ ề 2.3.1. Ta có các công thức lượng giác
Chứng minh. Ta có
(cosớ + cos2ớ 4- ... + cosnớ) + ỉ(sinớ + sin2ớ 4- ... + sin nỡ)
= (cos 9 + ỉ sin 9) + (cos 29 + ỉ sin 29) + ... + (cos nỡ + ỉ sin nỡ)
= (cos 6 + ỉ sin 6) 4- (cos 6 + ỉ sin ớ)2 + ... + (cos 0 + ỉ sin 6)n 2 sin 9
2 và
sin 9 + sin(2ớ) + ... + sin(nớ) =
2 sin 9 2
[(1 — cos nQ) — i sin nỡ] [(1 — cos 9) + i sin 9] (cos 9 + ỉ sin 9) 2 — 2 cos 9
Từ đó, ta nhận được các công thức trong bổ đề. □ Tiếp theo chúng ta giới thiệu hai các công thức rất nổi tiếng được xây dựng trong [5]. Việc chứng minh của các công thức này dựa trên các tính chất của đa thức Bernoulli đã được giới thiệu ở phần trên và việc lấy tích phân từng phần liên tiếp.
B ổ đ ề 2.3.2. Ký hiệu B k( x) là đa thức Bernoulli. Khi đó, ta có các công thức sau
(i) trường hợp chẵn
f * = - / Ẽ2k^ cos(27ựi x )d x 'i (2-12)
0
với j , k = 1,2,...;
(ii) trường hợp lẻ
(_-|\fc— 1 (27ri^"^ f
= ---{2k + 1)!---J B2t+l^ sM ^ j x ) d x - t (2.13)
với j = 1, 2 ,3, к = 0 ,1, 2,....
C ác g iá t r ị c ủ a ( (n) dư ới d ạ n g tíc h p h â n . Từ các công thức (2.12) và (2.13) ta lần lượt thu được các giá trị của hàm zeta Riemann biểu diễn dưới dạng tích phân sau
n C(2k) = lim
n —> ОС J
3 = 1
71 ( l (2тг)2к \
= lim У 2--- 7wpr.--- / B 2k{x) cos(2ĩrjx)d, 7100 ^ ' \*k) - J
i =1 0
n 1p
lim / / B 2h{x) cos(2ĩTjx)dz
n-> 00 * /
j =1 0
X
( - 1 ) к- 1(2тг)2к
---— ---lim у I tíọ.hAx) c o s [ Z 7 n x ] a x
( 2 k ) \ n - > с
/ -| — 1 / ọ \2fc /• и
--- ^— lim / Б 2*(ж) У ] cos(2txjx)dx (zA:)! п-юо J *—'
0 j =1
( - l ) fe_1(27r)2fc f s in [(2 n + 1)7Tổ]
1
- lim / -B2fc(ổ)-f
n —>00 J
2(2A:)! n-*cằ J 0 sin(7ra:) 2(2fc)! 2fc'
C(2fc + 1) = lim Ề - è r n—>00
( - l ) fe_1(27r)2fc+1 /■ cos(7ra:) — COS [(2n + 1)7гж]
= ---/0 7 I 1М--- (2к + 1)! n^oo J / -®2fc+l(z)---0 . / 2sin(7rx)N--- ( _ l ) fc- 1(27r)2fc+1
2(2k + 1)!
/ cos(7ra:
lim / Д и + ц я )---- -—
n —>oo J
1 0
J B 2k+i(x)cot(ĩĩx)dx.
0
dx
Kết luận
Luận văn được trình bày trong 02 chương với các nội dung chính như sau
1. Chương thứ nhất được giành cho việc giới thiệu một số kiến thức căn bản về hàm một biến phức: Xây dựng tập hợp số phức; khái niệm hàm chỉnh hình; lý thuyết tích phân Cauchy; thặng dư của hàm biến phức. Ngoài ra, chúng tôi cũng giới thiệu về hàm gamma cùng một số tính chất của nó liên quan đến giá trị của hàm zeta Riemann.
2. Chương thứ hai là phần chính của luận văn. Trước hết, chúng tôi trình bày một số vấn đề về hàm zeta Riemann một số tính chất quan trọng của hàm này. Mục tiêu là giới thiệu một số kết quả gần đây về việc tính giá trị của hàm zeta Riemann tại các điểm nguyên dương lẻ lớn hơn 2. Tuy nhiên, các biểu diễn của những giá trị này vẫn được biểu thị dưới dạng các tích phân.
Tài liệu th am khảo*
[1] R. Ap é r y, Irrationalité de ( (2) et C(3), Astérisque 61 (1979), 11 - 13.
[2] B . C. Be r n d t, Elementary evaluation of C(2h), Mathematics magazine 48 (1975), 148 - 154.
[3] D. Cv ijo v ợC a n d J. K l i n o w s k i , Intergral representations of Riemann zeta function for odd - interger arguments, Journal of Com putational and Applied Mathematics 142 (2002) 435 - 439.
[4] K. Di l c h e r, L. Sk u l a, a n d I. S. Sl a v u t s k ii, Bernoulli N um bers. Bibliography (1713-1990), Queen’s Paper in Pure and Ap
plied Mathematics, 87. Queen’s University, Kingston, ON, 1991.
iv+175 pp.
[5] R. Dw ilew icz a n d J. Min â c, An introduction to relations be
tween the values of ((s) in terms of holomorphic functions of two variables, Proceedings of the Hayama Symposium on Several Complex Variables, Japan, Dec. 2000. Pages 28 - 38 (2001).
[6] R. Dw ilew icz a n d J. Min â c, The Hurwitz zeta function a a convergent series, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), 1191 - 1219.