Bài toán căn bản 1: Cho (O;R) và tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến ADE. I là trung điểm của DE.
a)Chứng minh A, B, I, O, C thuộc đường tròn đường kính AO.
(nếu câu hỏi là chứng minh BIOC là tứ giác nội tiếp thì đó là người ta đã giấu đi điểm thứ năm (điểm A)).
b)Gọi H là giao điểm của AO và BC.
Chứng minh: AB2 = AC2 = AD.AE = AH.AO.
c) Suy ra DEOH là tứ giác nội tiếp.
d)HB là phân giác của góc DHC.
Khi có 2 tiếp tuyến cắt nhau ta cần chú ý vai trò điểm H trong hình.
Bài toán căn bản 2: Cho (O;R) và tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến ADE, tiếp tuyến EF, DF. I là trung điểm của DE. H là giao điểm của AO và BC.
a)Chứng minh BIOC là tứ giác nội tiếp.
b)Chứng minh DEOH là tứ giác nội tiếp.
Từ bài này nếu thay đổi chút xíu ta sẽ có những bài toán khai thác đặc điểm trên, chẳng hạn bài toán sau:
Cho (O;R) và tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến ADE, I là trung điểm của DE. BC cắt OI tại F.
Chứng minh FE là tiếp tuyến của (O).
I F
D
H B
A O
E
I
H D
C B
A O
E
Bài toán căn bản 3: Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và 1 cát tuyến ADE đến (O) ( với B,C là các tiếp điểm). AO cắt BC tại H. F là trung điểm của DE. Chứng minh:
a) AB2 = AH.AO = AD.AE.
b)BFOC là tứ giác nội tiếp và FA là tia phân giác góc BFC.
c)DHOE là tứ giác nội tiếp và HB là tia phân giác góc DHE.
d)DBEB DC EC.
Bài toán căn bản 4: Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và 1 cát tuyến ADE đến (O) ( với B,C là các tiếp
điểm).AO cắt BC tại H. Vẽ dây EI qua H. Chứng minh:
a) HA.HO = HB.HC = HI.HE.
b) AEOI là tứ giác nội tiếp vàAO là tia phân giác góc EAI.
c) OA là tia phân giác góc DOI.
Bài toán căn bản 5: Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC(với B,C là các tiếp điểm). Vẽ dây BD song song với AC. AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. AO cắt AH tại O. BE cắt AC tại M.Chứng minh:
a) MC2 = MA2= ME.MB và M là trung điểm của AC.
b) Chứng minh MEHC là tứ giác nội tiếp.
c) Kẻ đường thẳng qua C vuông góc với AB tại I và cắt AO tại K. Chứng minh B, I, E, K và H cùng thuộc một đường tròn.
d) Chứng minh AEKC là tứ giác nội tiếp.
e) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AEC.
I D
H
C B
A O
E F
D
H
C B
A O
E
K I
M
E
D
H
C B
A O
Bài toán căn bản 6: Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (với B,C là các tiếp điểm). BC cắt AO tại H. Vẽ dây MN qua H và song song với AB (M thuộc cung nhỏ BC). Đường thẳng MN cắt AC tại P. Chứng minh:
a) Chứng minh P là trung điểm của AC.
b) Chứng minh ANOM là tứ giác nội tiếp.
Bài toán căn bản 7: Cho điểm A ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Kẻ EF BD, DI BE. BC cắt FI tại H. Gọi J là trung điểm của DE. Chứng minh:
a)AB//FI và suy ra CHIE là tứ giác nội tiếp.
b)BOJC là tứ giác nội tiếp.
c) H là trung điểm của FI.
Bài toán căn bản 8: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm).
a)Đường kính CD của (O), AD cắt (O) tại M (M khác D). Chứng minh AMHC nội tiếp.
b)Tia BM cắt AO tại N. Chứng minh ∆NMH vuông.
c) Chứng minh N là trung điểm AH.
d)Gọi I và K lần lượt là các giao điểm của AO với (O) (I nằm giữa A và O).
Chứng minh: 1 1 1
AN AI AK.
P
N
M
H
C B
A O
J
C A
H F
I
O B
D E
M
D B
A
C B D à n h c h o h ọ c s i n h t
Bài toán căn bản 9: Cho M là điểm thuộc nửa đường tròn tâm O,đường kính AB = 2R . Vẽ 2 tia tiếp tuyến với nửa đường tròn là Ax và By. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D. Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD.
b) Góc COD là góc vuông.
c) OM2 = AC.BD.
d) Tìm vị trí M trên nửa đường tròn để CD nhỏ nhất.
Bài toán căn bản 10: Cho hai đường tròn (O,R) và (O;R’) tiếp xúc nhau ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài EF (E (O) ; F (O’) ) .
Chứng minh rằng tam giác EAF vuông.
Bài toán căn bản 11: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính AOC và đường kính AO’D. Một đường thẳng xy qua A cắt hai đường tròn trên lần lượt tại M và N sao cho A nằm giữa M,N.
a)Chứng minh C, B , D thẳng hàng.
b)Tứ giác CMND là hình gì vì sao?
c) Tìm vị trí đường thẳng xy sao cho MN lớn nhất.
d)Tìm vị trí đường thẳng xy sao cho CM + ND lớn nhất.
x y
C
D
A O B
M
M
F
A O'
O E
I
N
D A
O
O' M
Bài toán căn bản 12: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.
Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB ( M không trùng với các điểm A và B).
a)Chứng minh rằng MD là đường phân giác của góc BMC.
b)Cho AD = 2R. Tính diện tích tứ giác ABDC theo R.
c) Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC.
d)Chứng minh rằng ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.
Bài toán căn bản 13:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD, BM, CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm AH.
AD cắt (O) tại L (khác A). Gọi I là giao điểm của AH và MN.
a) Chứng minh ILCM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh BKML là tứ giác nội tiếp.
Bài toán căn bản 14: Cho
∆ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Vẽ ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
EF cắt BC tại K. AK cắt (O) tại I. CI cắt DE tại J.
Chứng minh:
a)BFEC và DBIJ các tứ giác nội tiếp.
b)KIFB là tứ giác nội tiếp.
K H
C B
D O
A M
L K
I
D H
M
N O
B
C A
J H
D I
K
F
E
O
B C
A
Bài toán căn bản 15: Cho △ABC nhọn có AB > AC, hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BCEF nội tiếp đường tròn (O) và AEHF nội tiếp (I).
b) Gọi D là giao điểm AH và BC, chứng minh OE là tiếp tuyến (I).
c) Chứng minh 5 điểm O, D, E, I, F cùng thuộc một đường tròn.
d) * Gọi S, T là giao điểm của tia AD và đường tròn (O)(T thuộc cung EF) Chứng minh TA AD
TH SD
Bài toán căn bản 16: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O).
Ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại S. AS cắt (O) tại I.
a)SF.SE = SB.SC = SI.SA.
b)AEHI là tứ giác nội tiếp.
c)Vẽ đường kính AJ. Chứng minhI, H, J thẳng hàng.
d) IB HB IC HC
M
J I
S
E
H
D F
O
B C
A