Trong những năm đầu của thế kỷ 20, sự phát triển của các lĩnh vực quan trọng như vật lý hạt nhân, lý thuyết nguyên tử, … và cùng với sự phát triển của các máy tính điện tử, các phương pháp Monte Carlo ngày càng được áp dụng rộng rãi trong các nghiên cứu khoa học và công nghệ hạt nhân.
Điều này, một mặt được gắn liền với yêu cầu cấp bách giải quyết nhiều bài toán quan trọng thực tế từ thiết kế lò phản ứng đến bảo vệ bức xạ và vật lý y học. Mặt khác, các chi phí thực nghiệm tăng lên và khi các thí nghiệm được tiến hành trong các môi trường nguy hiểm. Hơn nữa, các kỹ thuật tính trong những chương trình này cũng nhanh hơn và các máy tính cũng tốt hơn đang làm cho phương pháp mô phỏng trở nên đáng tin cậy hơn.
2.1. Phương pháp Monte Carlo
Phương pháp Monte Carlo được sử dụng để mô tả các quá trình thống kê và thích hợp cho việc giải các bài toán phức tạp không thể mô tả bằng các phương trình máy tính theo phương pháp tất định. Phương pháp Monte Carlo không giải phương trình tường minh mà nhận các trả lời bằng cách mô phỏng các hạt riêng rẽ và ghi nhận các đánh giá của trạng thái trung bình của chúng. Trạng thái trung bình của hạt trong hệ vật lý khi đó được rút ra từ trạng thái trung bình của hạt được mô phỏng nhờ vào định lý giới hạn trung tâm. Phương pháp Monte Carlo vận chuyển các hạt giữa các biến cố được biệt lập trong không gian và thời gian. Không gian và thời gian không phải là các tham số cố hữu của vận chuyển Monte Carlo. Phương pháp Monte Carlo có thể sử dụng để sao chụp một cách lý thuyết một quá trình thống kê (như tương tác gamma với vật chất) và rất hữu hiệu trong các bài toán phức tạp [8].
2.2. Giới thiệu chương trình MCNP
MCNP là chương trình ứng dụng phương pháp Monte Carlo để mô phỏng các quá trình vật lý hạt nhân đối với neutron, photon, electron như các quá trình phân rã của hạt nhân, tương tác giữa các bức xạ với vật chất, thông lượng neutron, photon,...
Chương trình này là công cụ mô phỏng được thiết lập rất tốt, cho phép người sử dụng xây dựng các dạng hình học phức tạp và mô phỏng dựa trên các dữ liệu hạt nhân. Sự phức tạp của tương tác photon cũng được xử lý trong chương trình MCNP như hiệu ứng Compton, hiệu ứng hấp thụ quang điện và hiệu ứng tạo cặp xảy ra. Chương trình điều khiển các quá trình này bằng cách gieo số theo quy luật thống kê cho trước và mô phỏng được thực hiện trên máy tính vì số lần thử cần thiết sẽ lớn. Người sử dụng cung cấp thông tin cho chương trình bằng cách viết input file: kích thước hình học, đặc điểm của vật chất trong môi trường mà nó sẽ được mô phỏng, sự phân bố nguồn bức xạ,…
Chương trình MCNP ban đầu được phát triển bởi nhóm Monte Carlo và sau này bởi nhóm Radiation Transport (nhóm X6) của phòng vật lý lý thuyết ứng dụng ở phòng thí nghiệm quốc gia Los Alamos (Mỹ). Nhóm X6 cải tiến MCNP và cứ hai hoặc ba năm họ cho ra một phiên bản mới.
MCNP được cung cấp tới người dùng thông qua Trung tâm Thông tin che chắn bức xạ (RSICC) ở Oak Ridge, Tennessee (Mỹ) và ngân hàng dữ liệu OECD/NEA ở Pari (Pháp). MCNP được viết với gần 4000 dòng FORTRAN và 1000 dòng lệnh C, trong đó có khoảng 350 chương trình con [5].
2.3. Đặc điểm của chương trình MCNP [8].
2.3.1. Cấu trúc của một input file của MCNP
Phần input file của chương trình MCNP được xác định như sau:
Tiêu đề và thông tin về input file (nếu cần) Dòng trống phân cách
...
Cell cards (các thẻ ô)
<dòng trống>
...
Surface cards (các thẻ mặt)
<dòng trống>
...
Data cards (các thẻ dữ liệu)
(Mode cards, Material cards, Source cards, Tally cards,…) 2.3.2. Hình học của MCNP
Hình học trong bài toán MCNP được mô tả trong không gian ba chiều. MCNP xử lý các hình học trong hệ tọa độ Descartes. MCNP có một chương trình dựng sẵn để kiểm tra lỗi của dữ liệu đầu vào, thêm vào đó khả năng vẽ hình học của MCNP cũng giúp người sử dụng kiểm tra các lỗi hình học. Sử dụng các mặt biên được xác định trên các cell card và surface card MCNP theo dõi sự chuyển động của các hạt qua các hình học. Hình học trong MCNP được thể hiện qua các cell card và surface card.
2.3.2.1. Cell card
Cell và vùng không gian được hình thành bởi các mặt biên, được định nghĩa bằng các toán tử giao, hợp và bù các vùng trong không gian tạo bởi các mặt. Mỗi mặt chia không gian thành hai vùng với các giá trị dương và âm tương ứng. Khi một cell được xác định, một vấn đề quan trọng là xác định được giá trị của tất cả những điểm nằm trong cell tương ứng với một mặt biên. Giả sử rằng s = f(x,y,z) = 0 là phương trình của một mặt phẳng trong bài toán. Đối với một điểm M(x,y,z) có s = 0 thì điểm M nằm trên mặt, nếu s dương thì điểm M nằm bên ngoài mặt. Ngược lại, nếu s âm thì điểm
M nằm bên trong mặt.
Cell được xác định bởi cell card. Mỗi cell được diễn tả bởi số cell (cell number), số vật chất (material number), mật độ vật chất (material density), một dãy các mặt có dấu âm hoặc dương kết hợp với nhau thông qua các toán tử giao, hợp, bù để tạo thành cell.
Cách thành lập cú pháp: j m d geom params Trong đó: j: là chỉ số cell
m: là số vật chất trong cell.
d: khối lượng riêng của vật chất trong cell, thường tính theo (nguyên tử/cm3) hoặc (g/cm3).
geom: phần mô tả hình học trong cell.
params: các tham số.
2.3.2.2. Surface card
Surface được xác định bằng cách cung cấp các hệ số của các phương trình mặt giải tích hay các thông tin về các điểm đã biết trên mặt. MCNP cũng cung cấp các dạng mặt cơ bản như: mặt phẳng, mặt cầu, mặt trụ,… (có tất cả gần 30 loại mặt cơ bản) có thể được kết hợp với nhau thông qua các toán tử giao, hợp và bù.
Có hai cách biểu diễn một bề mặt:
- Dựa trên các giá trị trong công thức toán để mô tả bề mặt.
- Dựa trên các điểm đã biết trên bề mặt.
2.3.3. Dữ liệu hạt nhân
Các bảng dữ liệu hạt nhân là những phần không thể thiếu được trong chương trình MCNP.
Ngoài việc sử dụng các bảng dữ liệu có sẵn trong MCNP, người dùng còn có thể sử dụng các dữ liệu được tái tạo từ các dữ liệu gốc bên ngoài thông qua một chương trình chuyển đổi chẳng hạn như NJOY hay là các dữ liệu mới được đưa vào trong MCNP bởi chính bản thân người sử dụng. Có 9 loại dữ liệu hạt nhân được sử dụng trong MCNP là:
- Tương tác neutron có năng lượng liên tục.
- Tương tác neutron phản ứng rời rạc.
- Tương tác quang nguyên tử năng lượng liên tục.
- Tương tác quang hạt nhân năng lượng liên tục.
- Các tiết diện để tính liều cho neutron.
- Đo liều hoặc kích hoạt neutron và tán xạ nhiệt S(α,β).
- Tương tác neutron, cặp neutron/photon, các hạt tích điện giả neutron.
- Tương tác photon.
- Tương tác electron.
Các dữ liệu hạt nhân được đưa vào trong MCNP qua phần khai báo ở material card.
2.3.4. Các đặc trưng về nguồn
MCNP cho phép người mô tả nguồn ở các dạng khác nhau thông qua các thông số nguồn như năng lượng nguồn, thời gian, vị trí và hướng phát nguồn hay các thông số hình học khác nhau như cell hoặc mặt. Bên cạnh việc mô tả nguồn theo phân bố xác suất, người dùng còn có thể sử dụng các hàm được xây dựng sẵn để mô tả. Các hàm này bao gồm các hàm giải tích cho các phổ năng lượng phân hạch và nhiệt hạch chẳng hạn như các phổ Watt, Maxwell và các phổ dạng Gauss (dạng theo thời gian, dạng đẳng hướng, cosin và dọc theo một hướng xác định).
2.3.5. Các Tally (các đánh giá)
Trong MCNP có nhiều loại tally (đánh giá) khác nhau. Người sử dụng có thể dùng các tally khác nhau tùy theo mục đích, yêu cầu được đưa ra. Có tally có thể biến đổi bởi người sử dụng theo nhiều cách khác nhau. Tất cả các tally được chuẩn hóa để tính trên một hạt phát ra, ngoại trừ một vài trường hợp đối với nguồn tới hạn. Trong chương trình MCNP có 7 loại tally được cho trong bảng 2.1.
Bảng 2.1. Các loại tally trong MCNP
Kí hiệu Tally Loại hạt
F1 Cường độ dòng hạt qua bề mặt N, P, E
F2 Thông lượng trung bình qua một bề mặt N, P, E F4 Thông lượng trung bình qua một cell N, P, E F5 Thông lượng tại một đầu dò điểm hay vòng N, P F6 Năng lượng trung bình để lại trong cell N, P F7 Năng lượng phân hạch trung bình để lại trong cell N
F8 Sự phân bố độ cao xung trong cell P, E
Bảy loại tally trên đại diện cho các loại tally cơ bản của MCNP. Để mở rộng nhiều tally từ các loại đã cho, chúng ta cộng bội của 10 vào số tally.
Ví dụ: F8, F18, F28, ..., F998 đều là loại tally F8.
F1, F11, F31, ..., F131 đều là loại tally F1.
Trong chương trình MCNP mà chúng ta sử dụng để mô phỏng hệ đo chiều dày chuyên dụng MYO-101, tính chiều dày vật liệu dựa trên hiệu ứng gamma tán xạ ngược đó là tally F8.
2.3.6. Output file
Ngoài các thông tin về kết quả, output file của MCNP còn có các bảng chứa các thông tin tóm tắt cần thiết cho người sử dụng để biết rõ thêm về quá trình chạy mô phỏng của MCNP. Các
thông tin này làm sáng tỏ vấn đề vật lý của bài toán và sự thích ứng của mô phỏng trong chương trình MCNP. Nếu có xảy ra sai xót trong khi chạy chương trình, MCNP sẽ in chi tiết ở phần output file để người sử dụng có thể tìm và loại bỏ.
Trong phần kết của bài toán, MCNP trình bày những bảng tóm tắt quá trình gieo hạt, tổng số hạt lịch sử, kết quả của bài toán cùng với sai số.
2.3.7. Sai số tương đối
Trong MCNP kết quả được đưa ra cho một nguồn cùng với sai số tương đối R (Relative Error), các đại lượng cần được đánh giá sai số tương đối R sẽ được tính toán sau mỗi quá trình mô phỏng bằng phương pháp Monte-Carlo sau mỗi số hạt lịch sử.
Sai số tương đối R được định nghĩa là tỉ số của độ lệch chuẩn và trị trung bình σ
x. Trong MCNP giá trị này được xác định thông qua R như sau:
Sx
R = x (2.1) Trong đó:
N i i = 1
x = 1 x
N với N là số lần thử (number of histories). (2.2)
2 2 x
S = S
N (2.3)
với
i 2
2 1 2 2
x - x
S = x - x
N - 1
N
i
(2.4)
N
2 2
i i = 1
x = 1 x
N (2.5)
Kết hợp (2.1), (2.2), (2.3), (2.4), (2.5), giá trị R có thể viết (khi N lớn):
1 1
2 2 2 2
1 2
1
1 1
1
N i i
N i i
x x
R N x x N
(2.6)
Từ phương trình (2.6) ta thấy sai số tương đối R tỉ lệ với 1
N , với N là số hạt lịch sử đã được tính. Ý nghĩa của giá trị R được đưa ra trong bảng 2.2.
Giá trị của sai số tương đối R chỉ liên quan đến độ chính xác của phương pháp Monte Carlo chứ không phải là độ chính xác của phương pháp mô phỏng so với kết quả thực nghiệm.
Bảng 2.2. Các đánh giá sai số tương đối R trong MCNP Giá trị R Đặc trưng của đánh giá
> 0,5 Không có ý nghĩa
0,2 - 0,5 Có thể chấp nhận trong một vài trường hợp 0,1 - 0,2 Chưa tin cậy hoàn toàn
< 0,1 Tin cậy (ngoại trừ đối với detector điểm hay vòng)
< 0,05 Tin cậy đối với cả detector điểm hay vòng
Đối với phương pháp Monte Carlo có ba yếu tố ảnh hưởng đến độ chính xác của kết qủa so với giá trị vật lý thực nghiệm: chương trình tính, mô hình bài toán và người sử dụng. Các yếu tố chương trình tính gồm: các đặc trưng vật lý trong bài toán, các mô hình toán học, tính chính xác của số liệu sử dụng trong chương trình: tiết diện phản ứng, khối lượng nguyên tử,... Mô hình bài toán có ảnh hưởng quan trọng đến độ chính xác của kết quả. Người sử dụng phải hiểu rõ chương trình [17], [11].
2.4. Phương pháp Monte Carlo trong mô phỏng tương tác của photon với vật chất của chương trình MCNP [17].
Phương pháp Monte Carlo cho phép mô phỏng lần lượt từng photon riêng biệt đi xuyên qua thể tích hoạt động của detector. Các đại lượng vật lý tuân theo quy luật thống kê được lấy mẫu tương ứng theo một hàm phân bố xác suất thích hợp. Chẳng hạn, trong trường hợp nguồn điểm, hướng và điểm tới của tia gamma trên bề mặt detector được xác định bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên từ phân bố đồng dạng. Điểm tương tác của tia gamma trong thể tích hoạt động của detector được xác định bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên từ phân bố hàm mũ theo cường độ tia gamma. Cường độ tia gamma trong môi trường được mô tả theo một hàm số phụ thuộc vào hệ số hấp thụ tuyến tính toàn phầnμt và bề dày lớp vật chất x.
-μ xt
I = I e0
t t
μ = Nσ
t photoelectric Comtonp pair production Thomson scatt
σ = σ + σ + σ + σ
Với:
I: cường độ tia gamma tại độ sâu r bên trong thể tích hoạt động của detector I0: cường độ tia gamma tại bề mặt detector
N: mật độ nguyên tử
σt: tiết diện tương tác hiệu dụng toàn phần
Đặt R là số ngẫu nhiên thuộc khoảng (0,1) và thỏa mãn công thức:
t
t x
-μ x 0 0
-μ x 0 0
I e dx R =
I e dx
Suy ra:
t
x = - 1 ln(1- R) μ
Nếu x lớn vượt quá kích thước giới hạn phần thể tích hoạt động của detector thì tia gamma được xem như không tương tác và thoát khỏi detector. Còn nếu x nhỏ hơn kích thước giới hạn thì tia gamma được xem như trải qua một tương tác. Sau đó bản chất của tương tác được xác định bằng cách lấy mẫu theo các tiết diện tương tác tương ứng với quá trình tương tác như hấp thụ quang điện, tán xạ Compton, tán xạ Thomson, hiệu ứng tạo cặp... Hướng và năng lượng của tia gamma tán xạ sau đó lại được xác định bằng việc lấy mẫu theo các hàm phân bố xác suất thích hợp. Các sản phẩm con cháu (quang electron, electron vỏ K, tia X của quá trình quang điện; electron và tia gamma tán xạ của quá trình tán xạ Compton; electron, positron và các photon hủy cặp của quá trình tạo cặp...) sẽ tiếp tục tương tác bên trong thể tích hoạt động của detector cho đến khi năng lượng tia gamma tới được hấp thụ toàn bộ hoặc hấp thụ một phần và một phần thoát khỏi thể tích hoạt động của detector.
Phần năng lượng hấp thụ này sẽ được chuyển đổi thành xung điện áp với độ cao xung tỉ lệ tương ứng. Phân bố độ cao xung theo năng lượng hay còn gọi là phổ gamma mô phỏng được lấy ra bằng thẻ truy xuất kết quả F8 của chương trình MCNP. Ngoài ra do ảnh hưởng của ba hiệu ứng là sự dãn rộng thống kê số lượng các hạt mang điện, hiệu suất tập hợp điện tích và đóng góp của các nhiễu điện tử làm cho các quang đỉnh của phổ gamma thực nghiệm có dạng Gauss. Do đó trong quá trình mô phỏng gamma còn sử dụng lựa chọn GEB (Gaussian Energy Broadening) của thẻ FT8 trong chương trình MCNP. Khi đó phổ gamma mô phỏng phù hợp tốt hơn với phổ gamma thực nghiệm.
Dựa trên cơ sở phổ gamma mô phỏng này hiệu suất tính toán của detector được xác định bằng cách lấy số photon đóng góp trong đỉnh năng lượng toàn phần chia cho số photon phát ra từ nguồn theo mọi hướng.
2.4.1. Mô hình tán xạ Compton (tán xạ không kết hợp)
Để mô hình quá trình tán xạ Compton điều cần thiết là phải xác định góc tán xạ ( góc giữa phương chuyển động của photon với photon thứ cấp), năng lượng của photon thứ cấp E’ và động năng giật lùi của electron E – E’. Trong MCNP, tiết diện tán xạ vi phân được tính theo công thức:
σ (Z,α,ξ)dξ = I(Z,v)K(α,ξ)dξinc
1 Compton scatt inc
-1
σ = σ (Z,α,ξ)dξ
Trong đó: K(α,ξ)dξ = πr (02 α') (2 α'+α+ξ -1)dξ2
α α α' - công thức Klein – Nishina
r0 = 2,817938.10-13 (cm) – bán kính electron cổ điển.
và ' lần lượt là năng lượng của photon tới và photon thứ cấp tính bằng đơn vị 0,511 MeV
( 2
e
α = E
m c ), me là khối lượng electron, c là vận tốc ánh sáng, α' = α
(1+α(1-ξ)) và ξ = cosθ.
Thừa số hiệu chỉnh I(Z,v) sẽ làm giảm tiết diện vi phân Klein-Nishina (tính cho một electron) theo hướng về phía trước đối với photon có E thấp và vật liệu có Z cao. Hình 2.1 mô tả sự phụ thuộc của thừa số hiệu chỉnh I(Z,v) theo v. Đối với vật liệu có Z bất kỳ, thừa số hiệu chỉnh I(Z,v) sẽ tăng từ I(Z,0) = 0 đến I(0, ) = Z.
Trong đó: v = 1sinθ = kα 1-ξ
λ 2 ,
-8
10 m ce
k =
h 2 =29,1445 cm-1.
h = 6,625.10-34 J.s – hằng số Plăng. ξ = -1v = vmax= kα 2 = 41,2166α.
Hình 2.1 . Đồ thị mô tả sự phụ thuộc của I(Z,v) theo v.
2.4.2. Mô hình tán xạ Thomson (tán xạ kết hợp)
Trong tán xạ Thomson, chỉ có hướng của photon tới thay đổi, còn năng lượng của nó không thay đổi. Để mô hình tán xạ Thomson người ta chỉ tính góc tán xạ θ và quá trình vận chuyển tiếp theo của photon tán xạ. Trong MCNP, tiết diện tán xạ vi phân được tính theo công thức:
2
σcoh(Z,α,ξ)dξ = C (Z,v)T(ξ)dξ
1 Thomson scatt coh
-1
σ = σ (Z,α,ξ)dξ
Trong đó: T(ξ)dξ = πr (1+ξ )dξ02 2 độc lập với năng lượng photon tới.
Thừa số hiệu chỉnh C (Z,v)2 sẽ làm giảm tiết diện tán xạ vi phân Thomson theo hướng tán xạ ngược đối với photon có E cao và vật liệu có Z thấp. Đối với vật liệu có Z bất kỳ, thừa số hiệu chỉnh