Trị riêng và vectơ riêng của ma trận

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT

1.2.4. Trị riêng và vectơ riêng của ma trận

Giả sử rằng một toán tử tuyến tính 𝒜 biến đổi vectơ x trong một không gian vectơ N chiều thành vectơ khác 𝒜x trong cùng một không gian. Khả năng đặt ra rằng là có thể tồn vectơ x trong số đó đƣợc chuyển hóa bởi 𝒜 vào một bội số của chính nó. Vectơ nhƣ vậy sẽ phải đáp ứng:

𝒜x = λx

Vectơ x#0 bất kì nào thỏa mãn đối với một số giá trị của λ đƣợc gọi là vectơ riêng của toán tử tuyến tính; 𝒜 và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng.

 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận có liên hợp Hermite

Trong các phần trước, chúng ta đã định nghĩa một ma trận có liên hợp Hermite A là một ma trận có thể liên hợp với liên hợp Hermite của nó, do đó:

A+A = AA+

Bây giờ chúng ta thảo luận về tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận có liên hợp Hermite.

Nếu x là một vectơ riêng của một ma trận có liên hợp Hermite A tương ứng với giá trị riêng λ thì sau đó:

Ax = λx hoặc tương đương : (A – λx)x = 0 Biểu thức: B = A – λI thì Bx = 0 , lấy liên hợp Hermite ta có:

(Bx)+ = x+B+ = 0

→ (Bx)+ = x+B+Bx Tuy nhiên, B+B đƣợc cho bởi:

           

  

               

  

   

     

A là liên hợp Hermite , thì ta có: AA+ = A+A và do đó:

  

     

     

                 

Và do đó B là liên hợp Hermite. Từ đó ta thấy:

  0

x      x x x x  x Từ đó ta thu đƣợc:     x    x0

Vì vậy, đối với một ma trận A có liên hợp Hermite, giá trị riêng của A+ là liên hợp phức tạp của các giá trị riêng của A.

Bây giờ chúng ta xét hai vectơ riêng xi và xj của ma trận có liên hợp Hermite A tương ứng với hai giá trị riêng khác nhau xi và xj. Chúng ta có:

i i

x ix

 

j j

x jx

  Nhân vế trái với  xi  ta có đƣợc:

 xi  xj j xi xj

Tuy nhiên, trên LHS chúng ta có:

 xj    xi   xi  i xi  Ta viết: xi ixi  i j xi xj 0

Nhƣ vậy, nếu i j thì vectơ riêng của xi và xj phải trực giao, tức là:

 xi xj 0

Nếu tất cả N giá trị riêng của một ma trận A có liên hợp Hermite là khác nhau thì tất cả N vectơ riêng của A là trực giao lẫn nhau. Tuy nhiên, nếu hai hay nhiều giá trị riêng đều giống nhau thì đƣợc cho là cần thiết. Giả sử, λ1 thoái hóa k lần; tức là:

1

i i

x x

  với i=1,2,…k

Nhƣng nó khác với bất kì λk+1, λk+2, … sau đó, sự tổ hợp tuyến tính của các xi cũng là một vectơ riêng và giá trị riêng của λ1 nên :

1

k i

i i

zC x

1 1

1 1 1

k k k

i i i

i i i

i i i

z C x C x Cx z

  

      

Nếu xi đƣợc định nghĩa là chƣa trực giao lẫn nhau thì chúng ta có thể xây dựng vectơ riêng zi mới chƣa trực giao, nhƣ sau:

1 1

z x

^ ^

2 2 2 1 2 1

z x x z x z

  

    

  

 

….

^ ^ ^ ^

1 1 1 1

k k k k k ... k

z x z x z z x z

 

 

     

       

   

   

   

Cách xây dựng đó đƣợc gọi là sự trực giao Gram-Schmidt.

- Vì vậy, ngay cả khi A có một số giá trị riêng thoái hóa thì chúng ta có thể xây dựng bằng cách xây dựng đƣợc một tập hợp các N vectơ riêng trực giao lẫn nhau.

- Nhƣ một kết quả tùy ý, vectơ y đƣợc biểu diễn nhƣ một sự tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng xi :

1 N

i i i

y a x



 với ai  xi  y

Nhƣ vậy,vectơ riêng tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian vectơ bằng cách xác định bình thường hóa các vectơ riêng để  xi xi 1 để cơ sở là trực giao.

 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận Unita

Một ma trận Unita thỏa mãn : A* = A-1 và là cũng là một ma trận có liên hợp Hermite, với vectơ riêng trực giao lẫn nhau.

Để làm rõ các giá trị riêng của ma trận Unita, chúng ta lưu ý rằng : Ax = λx , sau đó:

x x    x  x   x x

Và chúng ta suy ra :   2 1 . Nhƣ vậy, giá trị riêng của ma trận Unita có đơn vị môđun.

 Vectơ riêng và giá trị riêng của một ma trận vuông

Khi một ma trận N×N là không có liên hợp Hermite, không có đặc tính chung của vectơ riêng của nó thì không thể tìm thấy tập hợp trực giao của N vectơ riêng hoặc thậm chí để tìm cặp vectơ riêng trực giao (trừ một số trường hợp đặc biệt).

Trong khi N vectơ riêng không trực giao thường độc lập tuyến tính và do đó tạo thành cơ sở cho không gian vectơ N chiều. Nó có thể đƣợc hiển thị (mặc dù chúng ta không chứng minh điều đó) mà bất kì ma trận N×N với giá trị riêng khác biệt có N vectơ riêng độc lập tuyến tính , do đó tạo thành một cơ sở cho không gian N chiều.

Nếu một ma trận vuông chung có giá trị riêng thoái hóa, sau đó nó có thể hoặc có thể không có N vectơ riêng độc lập tuyến tính. Một ma trận mà vectơ riêng không phải là độc lập tuyến tính đƣợc gọi là khiếm khuyết.

 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận Hermite và không Hermite Đối với một ma trận có liên hợp Hermite thì nếu : Ax = λx thì A+x = λ*x . Tuy nhiên, nếu A là Hermite thì A = A+ thì λ = λ* . Nhƣ vậy, giá trị riêng của Hermite là thực và có thể chứng minh trực tiếp.

Đối với vectơ riêng bất kì xi , chúng ta hãy liên hợp Hermite của  xi ixi để:

 xi   i xi 

Sử dụng A+ = A , vì A là Hermite và nhân vế phải với xi , ta đƣợc:

 xi  xi i xi xi

Nhƣng nhân  xi ixi ở bên trái với (xi)+ ta đƣợc:

 xi  xi i xi xi Trừ hai vế ta đƣợc: 0ii xi xi

Kết quả này có ý nghĩa đối với sinh viên học môn Cơ học lƣợng tử. Trong Cơ học lượng tử, các giá trị riêng tương ứng với giá trị đo được của các đại lượng quan sát

đƣợc. Ví dụ nhƣ năng lƣợng, mômen động lƣợng, chẵn lẻ đều phải là thực. Ma trận Hermite là một ma trận có liên hợp Hermite nhƣng vectơ riêng của nó là trực giao.

Trong trường hợp một số các giá trị riêng bằng nhau thì việc chứng minh sự trực giao của các vectơ riêng là cần thiết. Sự trực giao Gram-Schamidt đã nói ở trên cung cấp cho chúng ta cách tính trực giao giữa chúng.

Xét các tính chất của vectơ riêng của một ma trận không Hermite với A+ = - A và do đó:

   

 

         

Do đó, ma trận không Hermite là không có liên hợp Hermite và các vectơ riêng trực giao lẫn nhau. Các tính chất của giá trị riêng cũng đơn giản là suy luận, vì nếu Ax = λx thì:

x x x x

        Do  và λ là thuần túy .

 Vectơ riêng đồng thời

Với điều kiện nào mà hai ma trận có liên hợp Hermite khác nhau có thể có một tổ hợp chung của vectơ riêng. Kết quả là nếu và chỉ nếu- chúng giao hoán và nó có ý nghĩa sâu sắc đối với nền tảng của cơ học lƣợng tử.

Để chứng minh kết quả này, cho A và B là hai N×N ma trận có liên hợp Hermite và xi là vectơ riêng thứ i của A tương ứng với giá trị riêng λi , tức là:

i i

x ix

  với i = 1, 2,…N Chúng ta giả sử rằng các giá trị riêng đều khác nhau:

(i) Đầu tiên , giả sử rằng A và B giao hoán. Ta xét:

i i i i

i i

x x x  x

      

Chúng ta đã sử dụng tính giao hoán đầu tiên và vectơ riêng cho phần thứ hai.

Sau đó :     xi i xi và do đó mà Bxi là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λi. Tuy nhiên, vectơ riêng của  i xi 0 là duy nhất , do đó chúng ta kết luận rằng:

i i

x ix

 

Đối với một số nhiều thừa số μi . Tuy nhiên, đây chỉ là một phương trình vectơ riêng cho B và cho thấy xi là một vectơ riêng của B, ngoài việc có một vectơ riêng của A. Bằng cách đảo ngƣợc vai trò của A và B , sau mỗi vectơ riêng của B là một vectơ riêng của A. Do đó, hai tổ hợp vectơ riêng giống hệt nhau.

(ii) Bây giờ giả sử rằng A và B có tất cả các bội số chung vectơ riêng, xi thỏa mãn:

i i

x ix

  và  xi ixi

Khi các vectơ riêng của không gian vectơ N - chiều, vectơ x bất kì trong không gian có thể đƣợc viết nhƣ một sự tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng:

1 N

i i i

x c x





Xét:

1 1 1

N N N

i i i

i i i i i i

i i i

x c x cx c x

  

     

Và:

1 1 1

N N N

i i i

i i i i i i

i i i

x c x cx c x

  

     

Sau đó ABx và BAx là nhƣ nhau cho bất kì x tùy ý và vì thế mà:

(AB – BA)x = 0 với mọi x.

Điều này hoàn toàn chứng tỏ cho thấy một điều kiện cần và đủ để hai ma trận có liên hợp Hermite có một tổ hợp các vectơ riêng có bội số chung là chúng giao hoán lẫn nhau. Lưu ý, nếu một giá trị riêng của A, chẳng hạn, là thoái hóa thì không phải tất cả các vectơ riêng cũng sẽ đƣợc coi là một tập hợp các vectơ riêng của B.

CHƯƠNG 2