CHƯƠNG 2 XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC
2.3. Xác định khoảng lân cận gần nhất r 10
Khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K (bán kính quả cầu phối vị thứ nhất) có thể xác định từ điều kiện cực tiểu của thế năng tương tác u0, hoặc từ việc giải phương trình trạng thái. Trong luận văn này chúng tôi xác định r10
từ phương trình trạng thái có dạng [1] sau:
𝑝𝑣 = −𝑟1[1
3
𝜕𝑢0
𝜕𝑟1 +ℏ𝜔
4𝑘
𝜕𝑘
𝜕𝑟1], (2.19) trong đó, p là áp suất thủy tĩnh, v là thể tích nguyên tử của Si được xác định theo công thức 𝑣 = 𝑉
𝑁, r1 là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt, k là
19
hằng số dao động được xác định theo (2.14); u0 là thế năng tương tác trung bình của một hạt trong tinh thể được xác định theo (2.9) :
𝑈0 = ∑ 𝜑𝑖(|𝑟 𝑗|)
𝑖
= 1
2∑ Φ𝑖𝑗(|𝑟 𝑗|) +1
6∑ 𝑊𝑖𝑗𝑘(|𝑟 𝑗|)
𝑗,𝑘 𝑗
(2.20)
với rj là bán kính quả cầu phối vị thứ j, tổng theo j là tổng số hạt trên quả cầu phối vị thứ j.
Khi p=0, giải phương trình trạng thái (2.19) ta sẽ tìm được r10. 2.4. Áp dụng tính số và thảo luận kết quả
Như chúng tôi đã nêu ở trên, đối với những vật liệu có liên kết cộng hóa trị mạnh như bán dẫn, thì việc chỉ sử dụng thế cặp ij là không đủ để mô tả lực liên kết và mạng tinh thể là không bền nếu không có các tương tác ba hạt Wijk . Vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thế tương tác ba hạt được trình bày cho bán dẫn Si có dạng [5]:
𝜑 = ∑ Φ𝑖𝑗 + ∑ 𝑊𝑖𝑗𝑘
𝑖<𝑗<𝑘
,
𝑖<𝑗
(2.21) Φ𝑖𝑗 = 𝜀[(𝑟𝑟0
𝑖𝑗)
12− 2(𝑟𝑟0
𝑖𝑗)
6
], (2.22) 𝑊𝑖𝑗𝑘 = 𝑍(1+3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘)
(𝑟𝑖𝑗𝑟𝑗𝑘𝑟𝑘𝑖)3 , (2.23) trong đó, rij , rjk ,rki tương ứng là khoảng cách giữa các cặp hạt i và j, j và k, k và i; i,j,k là ba góc trong của tam giác được tạo thành từ ba hạt i, j, k;
, r0 , Z là các thông số thế được xác định từ thực nghiệm. Giá trị của các thôngsố này được trình bày cho Si trong Bảng 2.1.
Bảng 2.1: Giá trị thực nghiệm các thông số thế của Si.
20
Đại lượng Si
𝜀𝐴𝐴(eV) 2,817
𝑅0𝐴𝐴(Å) 2,295
𝑍𝐴𝐴𝐴(eV.Å9) 3484,0
Thay các tương tác hai hạt (2.22) và tương tác ba hạt (2.23), được áp dụng cho tinh thể Si lí tưởng xét trên hai quả cầu phối vị thứ nhất và thứ hai có tâm là hạt gốc i (quả cầu thứ nhất có 4 hạt, quả cầu thứ hai có 12 hạt) vào các biểu thức (2.20) và (2.14), chúng ta sẽ thu được các biểu thức của u0 và k
tính theo khoảng lân cận gần nhất r1 . Thay các biểu thức của u0 và k vừa tìm được vào phương trình trạng thái (2.19), sử dụng phần mềm toán học Maple ta sẽ giải được phương trình (2.19). Nghiệm của phương trình trạng thái (2.19) khi p = 0, chính là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K khi tinh thể Si lí tưởng (r10).
Tiến hành làm tương tự như trên, nhưng xét quả cầu phối vị thứ nhất bị khuyết 1 hạt (quả cầu thứ nhất có 3 hạt, quả cầu thứ hai có 12 hạt). Giải
phương trình trạng thái (2.19) cho trường hợp này ta thu được nghiệm r10V - là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K khi tinh thể có khuyết tật vacancy.
Tương tự, xét quả cầu phối vị thứ nhất có thêm một hạt (quả cầu thứ nhất có 5 hạt, quả cầu thứ 2 có 12 hạt). Cũng giải phương trình trạng thái (2.19) ứng với trường hợp này ta thu được nghiệm r10I - là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K khi tinh thể có khuyết tật điền kẽ.
Sau khi tìm được r10, chúng ta sẽ tìm được giá trị của các thông số 𝑘, 𝛾1, 𝛾2, 𝛽, 𝐾 của Ge tương ứng ở nhiệt độ 0K nhờ các công thức (2.14), (2.17), (2.18), (2.16),(2.15) và (2.8). biết giá trị của các thông số này, chúng ta sẽ tìm được độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T (y0) theo công thức (2.3). Vì giá trị của y0 là rất nhỏ so với khoảng lân cận gần
21
nhất giữa hai hạt, nên trong giới hạn gần đúng ta có thể coi độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T, khi tinh thể có khuyết tật là bằng giá trị y0 của tinh thể lí tưởng.
Biết các khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K (𝑟10, 𝑟10𝑉, 𝑟10𝐼 ) và độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng T(y0), ta tìm được các khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T(𝑟1, 𝑟1𝑉, 𝑟10𝐼 ) theo công thức (2.19). Thay 𝑟1, 𝑟1𝑉, 𝑟𝐼 tương ứng vào (2.1) ta sẽ tìm được các hằng số mạng 𝑎𝐿𝑇, 𝑎𝐾𝑇𝑉 ,𝑎𝐾𝑇𝐼 . Giá trị của các hằng số mạng được trình bày trong Bảng 2.2.
Bảng 2.2 : Giá trị của hằng số mạng của tinh thể Si
T (K) 𝑎𝐿𝑇(Å) 𝑎𝐾𝑇𝑉 (Å) 𝑎𝐾𝑇𝐼 (Å)
0 5,3542 5,3154 5,5047
300 5,3872 5,3483 5,5377
400 5,3933 5,3545 5,5438
500 5,3940 5,3611 5,5505
600 5,4077 5,3688 5,5582
700 5,4171 5,3782 5,5676
800 5,4291 5,3903 5.5796
900 5,4449 5,4060 5,5954
1000 5,4655 5,4266 5,6159
1100 5,4920 5,4532 5,6425
1200 5,5656 5,4868 5,6761
1300 5,5674 5,5285 5,7179
1400 5,6162 5,5794 5,7687
1500 5,6791 5,6403 5,8296
22
- Khi nhiệt độ tăng, các hằng số mạng đều tăng. Ở vùng nhiệt độ thấp, sự tăng này là không đáng kể, bởi các nguyên tử chỉ dao động quanh vị trí
cân bằng với biên độ nhỏ ( y0 nhỏ). Nhiệt độ càng cao các nguyên tử dao động quanh vị trí cân bằng càng mạnh, dẫn đến độ dịch chuyển y0 của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng càng lớn, làm cho hằng số mạng tăng lên rất nhanh, đặc biệt là ở gần vùng nhiệt độ nóng chảy.
- Ở cùng một nhiệt độ, hằng số mạng của tinh thể Si có khuyết tật vacancy nhỏ hơn của Si lí tưởng, còn của Si có khuyết tật điền kẽ lại lớn hơn.
Điều này là hoàn toàn phù hợp với quy luật tự nhiên, bởi khi một nguyên tử rời khỏi nút mạng để hình thành một vacancy thì mạng tinh thể sẽ bị co lại, dẫn đến hằng số mạng giảm. Ngược lại, khi một nguyên tử từ bên ngoài nhảy vào chiếm một vị trí điền kẽ sẽ làm cho mạng tinh thể bị phình ra, tức là hằng số mạng tăng lên.
- Khi so sánh kết quả của hằng số mạng được tính bằng phương pháp thống kê momen (𝑎𝐿𝑇 = 5,3872) và thực nghiệm (𝑎0=5,4307) ở 300K ta thấy kết quả thu được bằng phương pháp thống kê momen là phù hợp tốt với thực nghiệm.