CHƯƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT
1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt
1.4.3. Biểu diễn tương tác
Để đi đến biểu diễn tương tác chúng ta viết toán tử Hamilton H dưới dạng:
̂ (1.23)
Trong đó ̂ là phần tương tác của toán tử Haminlton H.
Chọn toán tử biến đổi là chúng ta có;
[ ] (1.24) Và ̂ ̂ (1.25)
và ̂ lần lƣợt là hàm sóng và toán tử trong biểu diễn mới gọi là biểu diễn tương tác, trong đó cả hàm sóng và toán tử đều phụ thuộc vào thời gian. Để thấy rõ biểu diễn có tên là biểu diễn tương tác, chúng ta lấy đạo hàm 2 vế (1.24).
= [ ]
Chú ý (1.18) và (1.23):
=( ) * + (
) [ ( ̂) ]
Biểu thị qua theo (1.24) và (1.25) cuối cùng chúng ta đƣợc:
̂ (1.26)
17
Biểu thị ̂ là phần tương tác của toán tử Hamilton trong biểu diễn tương tác( xem (1.25)):
̂ ̂ (1.27)
Biểu thức (1.26) cho biết sự biến đổi của hàm sóng theo thời gian trong biểu diễn tương tác, có dạng giống như biểu thức (1.18), là biểu thức cho biết sự biến đổi của hàm sóng trong biểu diễn Shrodinger, chỉ khác là trong biểu diễn tương tác phần tương tác của toán tử Hamilton thay thế toán tử Hamilton trong biểu diễn Shrodinger. Có nghĩa là sự biến thiên của hàm sóng trong biểu diễn tương tác chỉ phụ thuộc vào phần tương tác của toán tử Hamilton. Đó cũng là lý do biểu diễn đang xét có tên là biểu diễn tương tác. Để thuận tiện cho các tính toán về sau, chúng ta viết lại phương trình (1.26) dưới 1 dạng khác bằng cách lấy tích phân hai vế phương trình này từ đến t (t > ):
∫ ̂ (1.28)
Nghiệm của phương trình (2.28) có thể viết dưới dạng chuỗi theo lũy thừa của ̂ :
(1.29) Trong đó gần đúng bậc không chọn hàm sóng tại t0
(1.30)
Thay hàm sóng dưới dấu tích phân trong (1.28) bằng hàm sóng bậc không xác định từ (1.30), chúng ta đƣợc gần đúng bậc một:
∫ ̂ (1.31)
Thay hàm sóng dưới dấu tích phân trong (1.28) bằng gần đúng bậc một xác định bằng vế phải của (1.31) chúng ta đƣợc gần đúng bậc hai:
( ) ∫ ̂ ∫ ̂ (1.32) Và gần đúng bậc n:
18
( ) ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ ̂ (1.33) Chuỗi (2.29) có thể viết dưới dạng:
̂ (1.34) Trong đó
̂ ( ) ∫ ̂ ( ) ∫ ̂ ∫ ̂
+( ) ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ ̂ (1.35) Đƣợc gọi là ma trận S.
Trong chuỗi (2.35) toán tử tương tác ̂ ở thời điểm sớm hơn bao giờ cũng đứng sau toán tử tương tác ̂ ở thời điểm muộn hơn, vì
t >t1 > t2 >….> tn > t0
biểu thức (2.35) có thể viết dưới dạng gọn hơn. Chẳng hạn chúng ta xét thành phần bậc hai:
̂ ( ) ∫ ∫ ̂ ̂ (1.36a) Sau khi thay đổi biến tích phân t1 t2 chúng ta đƣợc:
̂ ( ) ∫ ∫ ̂ ̂ (1.36b)
Kí hiêu ̂ là toán tử có tác động làm cho các toán tử đứng sau nó đƣợc sắp xếp từ trái qua phải theo thứ tử thời gian giảm dần , ví dụ
̂[ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ̂ (1.37) Trong đó , khi x>0 ; , khi x<0 là hàm bậc thang. Chú ý từ (1.37) chúng ta có thể viết:
∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ]
19
∫ ∫ ̂ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂
∫ ∫ ̂ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂ (1.38) Kết hợp (2.38) và (2.38) chúng ta nhận đƣợc:
̂ ( ) ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ](1.39)
Với thành phần bậc 3 chúng ta có 3 biến tích phân, có 3!=6 cách thay đổi biến tích phân ti tj ; i,j=1,2,3, trong đó có 6 biểu thức loại (36) cho ̂ và 6 thành phần loại (1.38) trong biểu thức cho
∫ ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ̂ ](1.40)
Lập luận một cách tương tự trong thành phần bậc n chúng ta thay đổi biến tích phân bằng cách thay đổi các kí hiệu t1 t2 ;…; ti tj ;…, tất nhiên là giá trị tích phân không thay đổi. Thực hiện tất cả n! cách thay đổi biến có thể, chúng ta có đƣợc n! tích phân bằng nhau, cộng tất cả các tích phân đó lại rồi chia cho n! chúng ta đƣợc biểu thức cho thành phần bậc n của (1.35) sau khi mở rộng khoảng lấy tích phân cho tất cả các biến từ đến t bằng cách sử dụng toán tử sắp xếp thứ tự thời gian ̂. Kết quả là chúng ta có thể viết thành phần bậc n của (1.35) nhƣ sau:
̂ ( ) ∫ ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ̂ ] (1.41) Cuối cùng (1.35) có thể viết dưới dạng:
̂ ̂ ,( ∫ ̂ )-(1.42)
Từ (2.42) có thể suy ra tính chất sau của toán tử ̂ : ̂ ̂ ̂ (1.43)
Hệ thức (1.43) cho phép xác định quan hệ của các toán tử và hàm sóng của biểu diễn tương tác với biểu diễn Heisenberg. Để tìm mối quan hệ này chúng ta làm nhƣ sau:
20
Giả thiết ở thời điểm xác định không có tương tác (V=0), sau đó tương tác bắt đầu xuất hiện từ từ một cách đoạn nhiệt và đạt được giá trị của tương tác của hệ khảo sát ở thời điểm coi là ban đầu, nghĩa là trạng thái của hệ ứng với hàm riêng của toán tử Hamilton toàn phần với H với .
Ký hiệu ̂ ̂ (1.44)
Công thức (1.43) khi thay t tV, t2 t1; t3 t2 có thể viết dưới dạng:
̂ ̂ ̂ (1.45) Trong đó .
Mặt khác từ (2.22) chúng ta có:
[ ] (1.46) Do đó từ (1.24) suy ra
[ ] [ ] (1.47) Thay trong (1.47) chúng ta đƣợc:
(1.48)
Thay trong (1.34) và chú ý (1.44) chúng ta có ̂
Suy ra:
̂ (1.49)
̂ ̂ ̂ ̂ (1.50)
Các công thức (1.43), (1.45), (1.49), (1.50) sẽ đƣợc sử dụng để nghiên cứu hàm Green ở đoạn sau. Để chuẩn cho việc này chúng ta viết biểu thức tính giá trị trung bình M ở trạng thái cơ bản của một tích các toán tử sắp xếp theo trật tự thời gian giảm dần trong biểu diễn Heisenberg. Ký hiệu là hàm sóng ứng với trạng thái cơ bản trong biểu diễn Heisenberg chúng ta có:
〈 ̂[ ̂ ̂ ̂ ] 〉 (1.51) Giả thiết
21
Công thức (1.51) có thể viết lại với các toán tử trong biểu diễn tương tác:
〈 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 〉 (1.52)
Từ công thức (1.45) có thể viết
Nếu đặt ̂ ̂ ̂ (1.53a) Nếu đặt : ̂ ̂ ̂ (1.53b) Do đó
〈 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 〉 Sử dụng toán tử sắp xếp trật tự thời gian ̂, chúng ta có thể viết các toán tử ̂ liền nhau, sau đó áp dụng tính chất (1.43) và sử dụng kí hiệu (1.44) để viết lại biểu thức của M nhƣ sau:
〈 ̂ ̂[ ̂ ̂ ̂ ̂ ] 〉 (1.54) Cần xác định đại lƣợng ̂ [ ̂ ] . Vì ̂ nên trong biểu thức (1.49) thay , và chúng ta đƣợc và ̂ . Có nghĩa là là hàm sóng nhận được từ hàm sóng của trạng thái cơ bản dưới tác dụng của ̂ , tức là như viết ở trên sau quá trình đưa tương tác vào hệ một cách đoạn nhiệt. Mặt khác, trạng thái cơ bản của hệ là trạng thái trong đó năng lƣợng cực tiểu, nhƣ đã biết từ cơ học lƣợng tử, là trạng thái không suy biến, và hệ ở trong trạng thái không suy biến này không thể chuyển sang trạng thái khác do tác động của nhiễu loạn chậm vô cùng. Từ đó suy ra là hàm ̂ chỉ có thể khác hàm một thừa số pha
̂ (1.55)
Suy ra ̂ [ ̂ ]
Cuối cùng thay vào (1.54) chúng ta đƣợc biểu thức cho M xác định bởi biểu thức (1.51):
22
〈 ̂[ ̂ ̂ ̂ ̂ ] 〉
〈 ̂ 〉 Kết quả (1.56) nhận đƣợc vì từ (1.55):
[ ̂ ]
Để cận tích phân trong biểu thức ̂ là đối xứng thường coi thời điểm thế năng là ở âm vô cùng . Khi đó từ (1.44) và (1.42) chúng ta có biểu thức cho ̂ :
̂ ̂ ̂ [( ) ∫ ̂
]
̂ [∑
∫ ̂
∫ ̂ ∫ ̂
]
23
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, em nghiên cứu một số tính chất chung của hệ nhiều hạt: Khái niệm về hệ nhiều hạt, hệ nhiều hạt đồng nhất, các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt và biểu diễn toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt. Đây là cơ sở quan trọng để em tiếp tục tìm hiểu chương tiếp theo.
24 Chương 2