Bài toán gặp nhau của hai vật chuyển động thẳng biến đổi đều

Đây là loại bài toán lập phương trình chuyển động của vật chuyển động biến đổi đều, từ đó có thể khảo sát về hai vật gặp nhau (lúc nào và ở đâu) , cũng như xác định khoảng cách hai vật (bằng x1 x2 ).

Điều quan trọng là : trên cơ sở chọn gốc tọa độ, chiều dương của trục tọa độ, gốc thời gian, căn cứ vào dữ liệu của đề bài xác định đúng giá trị đại số của a, v0, từ đó lập phương trình chuyển động.

Cần lưu ý kiểm tra đơn vị đo các đại lượng khi thay số.

Ngoài bài toán thuận như trên còn có bài toán nghịch, như phải tìm a, v0…Để khẳng định được giá trị đại số của a, v0 , nên dùng hình vẽ minh họa như ở bài tập ví dụ. Nói chung bài toán này phức tạp hơn bài toán về chuyển động đều đã xét ở chủ đề chuyển động thẳng đều.

+ Bài tập ví dụ

Cùng một lúc hai xe đi qua hai địa điểm cách nhau 260m và đi ngược chiều nhau, tới gặp nhau. Xe A có vận tốc đầu 10,8 km/h chuyển động nhanh dần đều với gia tốc 40cm/s2. Xe B có vận tốc đầu 30km/h chuyển động chậm dần đều với gia tốc 0,4 m/s2. Hỏi sau bao lâu hai người gặp nhau và đến lúc gặp nhau hai người đã đi được quãng đường dài bao nhiêu?

Lời giải

Ta chọn gốc tọa độ là vị trí của xe A khi nó cách xe B 260m, chiều dương là chiều chuyển động của xe A (hình 2.3), gốc thời gian là lúc hai xe đi qua hai địa điểm đó.

Đối với xe A : 10,8 km/h 3 m/s2 2 40 cm/s 0,4 m/s v

a

 

 

Do đó ta có phương trình chuyển động của xe A : 3 0,2 2

xA  t t (1) Đối với xe B : 0 36 km/h2 10 m/s

0,4 m/s v

a

   



Do đó ta có phương trình chuyển động của xe B là : 260 10 0, 2 2

xB   t  t (2) Hai xe gặp nhau khi xA xB, Hay :3t 0,2t2 260 10 t 0, 2t2 Suy ra t 20 s

Từ đó xA 3.20 0,2(20) 2 140 m.

Vậy sau 20s hai xe gặp nhau, và đến lúc gặp nhau xe A đã đi được 140m còn xe B đi được 260 – 140 = 120m.

Dạng 4: Các đồ thị của chuyển động thẳng biến đổi đều + Phương pháp giải

Đây là loại bài toán về đồ thị của chuyển động thẳng biến đổi đều.

a) Thường có các đồ thị sau đây:

- Đồ thị vận tốc – thời gian: là đường thẳng có độ dốc là gia tốc a ar1

ar2

vr01

vr02

A B

Hình 2.1

- Đồ thị tọa độ - thời gian: là đường parabol

Vẽ đồ thị dựa vào một số điểm biểu diễn đặc biệt và đồ thị được giới hạn bởi các điều kiện của bài toán.

Ngược lại, dựa vào đồ thị cho trước, ta có thể tìm được đặc điểm của chuyển động và các phương trình (vận tốc, đường đi…), từ đó suy ra lời giải của bài toán

b) Đặc điểm của chuyển động dựa theo đồ thị vận tốc – thời gian:

- Đồ thị hướng lên: a > 0; đồ thị hướng xuống: a < 0; đồ thị nằm ngang a = 0; Kết hợp với dấu của v có thể suy ra tính chất của chuyển động.

- Hai đồ thị song song: hai chuyển động có cùng gia tốc.

- Giao điểm của đồ thị với trục thời gian, xác định lúc vật dừng lại.

- Hai đồ thị cắt nhau: hai vật có cùng gia tốc.

Tính a và vo từ đồ thị có thể thiết lập được phương trình vận tốc và phương trình chuyển động.

c) Giao điểm của hai đồ thị tọa độ - thời gian của hai vật chuyển động giúp ta xác định thời điểm và vị trí hai vật gặp nhau.

+ Bài tập ví dụ:

Chuyển động của một vật có đồ thị tọa độ - thời gian như hình vẽ.

1. Nêu tính chất của mỗi giai đoạn chuyển động của vật đó. Tính gia tốc và lập phương trình vận tốc trong mỗi giai đoạn chuyển động. Lập phương trình chuyển động của vật trong mỗi giai đoạn.

2. Tính quãng đường mà vật đã đi được cho đến khi vật dừng lại.

Lời giải

1) Trong cả ba giai đoạn chuyển động, biểu diễn bằng các đoạn đồ thị AB, BC, CD, ta đều có v�0(chuyển động của một vật luôn luôn theo một chiều).

Trong giai đoạn 1 (đoạn AB), gia tốc a1 = 0, vật chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 10 m/s trong khoảng thời gian 0t�10 s.

Phương trình chuyển động của vật là: x1 10t (1).

Ta chọn gốc tọa độ là điểm khởi hành của vật.

40

10 40 t s 

v m s

� �� �

� �

O A

20

10 B

C

D

Hình 2.2

Trong giai đoạn 2 (đoạn BC), gia tốc: 2 2

40 10

3 m/s 0 20 10

a    



�Vật chuyển động nhanh dần đều trong khoảng thời gian 10t�20 s. Phương trình vận tốc của vật, theo đồ thị có dạng:

2 3( 10) 10 (m/s)

v  t   (2).

Phương trình chuyển động của vật là:

2

2 1,5( 10) 10( 10) 100

x  t  t 

Hay: x2 1,5t2 20t150 (m) (3)

(ở đây t0 10s; v0 10m/s; x0 x1( 0)t 10.10 100 m)

Trong giai đoạn 3 (đoạn CD) vật có gia tốc: 3 0 40 2 2m/s 0 40 20

a     



� vật chuyển động chậm dần đều trong khoảng thời gian 20st�40s và dừng lại lúc t 40s.

Phương trình vận tốc của vật có dạng: v3  2(t20) 40 (m/s) (4).

Phương trình chuyển động của vật là: x3   (t 20)2 40(t20) 350 Hay x3   t2 80t850 (m) (5)

2. Vì gốc tọa độ là điểm khởi hành của vật và vì chiều chuyển động của vật không thay đổi trong suốt thời gian vật chuyển động, cho nên quãng đường vật đã đi bằng:

2 2

3 80 850 = (40) 80.40 850 750(m) s x   t t    

Cũng có thể tính quãng đường đã đi dựa vào đồ thị: nó bằng diện tích của đa giác OABCD, do đó:

(10 40) (40 20).40

10.10 (20 10) 750 (m)

2 2

s      

Dạng 5: Sự rơi tự do

Loại 1: Tính thời gian , quãng đường rơi , vận tốc rơi.Liên hệ giữa quãng đường, thời gian , vận tốc của hai vật rơi tự do.

+ Phương pháp giải

Đây là bài toán về sự rơi tự do của các vật.

Để giải bài toán cần chọn gốc tọa độ, chiều dương (thường chọn chiều dương hướng xuống), gốc thời gian và các công thức của chuyển động rơi tự do. Cần chú ý

rằng nếu gốc tọa độ và gốc thời gian không trùng với vị trí và lúc buông vật thì phương trình của sự rơi tự do có dạng tổng quát:

2

0 0

1 ( )

y 2g t t y , với y0 và t0 tương ứng với dữ kiện của đề bài.

+ Bài tập ví dụ:

Từ trên tầng cao của một tòa nhà cao tầng người ta thả rơi tự do một vật A. Một giây sau, ở tầng thấp hơn 10m, dọc theo phương chuyển động của vật A, người ta buông rơi vật B.

1) Sau bao lâu hai vật A và B sẽ đụng nhau. Tính vận tốc của hai vật đó và quãng đường mà vật B đã đi được.

2) Tính khoảng cách giữa hai vật A và B sau 2s kể từ lúc vật A bắt đầu rơi. Lấy 10m/s2

g  .

Lời giải

1) Chọn gốc tọa độ O là vị trí vật A bắt đầu rơi, chiều dương của trục Oy hướng thẳng đứng xuống dưới, và gốc thời gian là lúc vật A bắt đầu rơi.

Phương trình chuyển động của vật A và B là :

2

5 2 A 2

y  gt  t (1) ; vA gt 10t (2)

2

( 1) 2

10 5 10 15

B 2

y  g t   t  t (3) ; vB g t(  1) 10t10 (4) Hai vật A và B đụng nhau khi yA = yB

2 2

5t 5t 10t15

� hay suy ra : t1,5s.

Hai vật đụng nhau sau 1,5s kể từ lúc vật A bắt đầu rơi.

Vận tốc của hai vật khi đụng nhau:

Từ (2) và (4) suy ra: 10.1,5 15m/s v 10.1,5 10 5m/s

A B

v  

  

Khi đụng với vật A, vật B đã đi được quãng đường là:

( 1)2

1.25(m)

A 2

s  g t 

. 2. Khoảng cách giữa hai vật sau 2s là:

10 15 5m

A B

d  y  y  t  .

Loại 2: Chuyển động của vật được ném thẳng đứng (hướng lên hoặc hướng xuống)

+ Phương pháp gải

Đây là loại bài toán về chuyển động của một vật được ném thẳng đứng. Nội dung của bài toán là: xét chuyển động của một vật có gia tốc bằng gia tốc rơi tự do g và có vận tốc ban đầu vr0

hướng thẳng đứng. Tùy thuộc vào hướng của vận tốc ban đầu vr0

(hướng lên hoặc hướng xuống) mà chuyển động của vật sẽ là nhanh dần đều (nếu vr0

cùng hướng với gr

) hoặc chậm dần đều (nếu vr0

ngược hướng với gr

). Sau khi phân tích kỹ dữ liệu của đề bài, chỉ cần vận dụng các phương pháp giải bài toán chuyển động biến đổi đều đã nêu ra trong các ví dụ trước. Chỉ cần lưu ý là: Cuối cùng vật sẽ rơi đến mặt đất. Trong trường hợp vật được ném lên (vr0

hướng lên trên), thì sau một thời gian chuyển động của vật sẽ đổi chiều, trong trường hợp đó cần thận trọng trong khi tính quãng đường mà vật đi được.

+ Bài bập thí dụ:

Một viên đạn pháo nổ ở độ cao 100m thành hai mảnh: mảnh A có vận tốc

1 60m/s

v  hướng thẳng đứng lên trên, và mảnh B có vận tốc v2 40m/s hướng thẳng đứng xuống dưới.

a) Hỏi sau 0,5s kể từ lúc đạn nổ, mảnh B cách mặt đất bao nhiêu?

b) Tính khoảng cách giữa hai mảnh đó sau 0,5s kể từ lúc đạn nổ.

Lời giải

Chọn gốc tọa độ tại vị trí đạn nổ, chiều dương hướng thẳng đứng lên trên và gốc thời gian là lúc đạn nổ.

Phương trình chuyển động của hai mảnh A và B là:

2

2

1 5 60

A 2

y  gt v t   t  t (1)

2

2

2 5 40

B 2

y  gt v t   t  t (2)

a) Khoảng cách h từ mảnh B đến mặt đất bằng:

( 0,5 )

100 B t s

h  y 

. Ta có: yB t( 0,5 ) s  5(0,5)2 40.(0,5) 21,25 Từ đó: h100 yB t( 0,5 ) s 78,75m

b) Khoảng cách H giữa hai mảnh sau 0,5s:

100 100.0,5 50m

A B

H  y y  t  

2.2.2.2. Bài tập luyện tập

Bài 1. Một vật đi một phần đường trong thời gian t1 với vận tốc trung bình v1, đi phần còn lại trong thời gian t2 với vận tốc trung bình v2. Tìm vận tốc trung bình v của vật trên cả đoạn đường. Trong điều kiện nào vận tốc trung bình vbằng trung bình cộng của hai vận tốc

2

1 2