Chương 4: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC86 4.1. Khái niệm về tính ổn định của hệ thống điều khiển
4.4. Phương pháp phân miền D
4.4.1. Khái niệm về phân miền D
Phân miền ổn định (còn gọi là phân miền D) là chia không gian thông số (hay hệ số) ra các vùng có phân bố nghiệm của phương trình đặc trưng khác nhau. Mỗi vùng có số nghiệm nằm bên phải trục ảo khác nhau. Mỗi vùng được kí hiệu là D(l) với l là số nghiệm nằm bên phải trục ảo. Như vậy vùng D(0) là vùng ổn định.
Việc nhận biết được vùng thông số mà hệ ổn định có ý nghĩa thực tế lớn cho việc thiết kế hệ thống hay chỉnh định thông số của hệ thống.
Giả sử hệ thống điều khiển tự động có phương trình đặc trưng dạng tổng quát:
A(p) = a0pn + a1pn-1 + ….+ an = 0 (4.29) Với các hệ số a0 a1 …. an đều thay đổi.
Như vậy nếu chỉ dùng các tiêu chuẩn ổn định để xét thì rất phức tạp. Để đơn giản người ta dùng phương pháp phân miền D. Phương pháp này có thể mô tả như sau:
Trong không gian toạ độ n+1 chiều thay đổi của các hệ số, chúng ta có thể chia tối đa n+1 vùng mà trong mỗi vùng dù các hệ số thay đổi nhưng tính chất phân bố các nghiệm của phương trình đặc trưng không thay đổi. Trong n+1 vùng đó chỉ có tối đa một vùng có n nghiệm phân bố bên trái trục ảo tức là vùng ổn định của hệ thống. Nếu không có một vùng nào như vậy ta nói hệ thống có cấu trúc không ổn định. Các vùng lân cận nhau sẽ khác nhau một nghiệm nằm bên phải trục ảo. Như vậy đường ranh giới giữa các vùng tương ứng có nghiệm nằm trên trục ảo. Muốn xây dựng đường ranh giới này ta chỉ cần thay p = j vào phương trình đặc trưng và cho biến đổi từ - đến +.
4.4.2. Phân miền D cho hệ thống có một tham số
Giả sử hệ thống có một tham số thay đổi thì phương trình đặc trưng có thể viết dưới dạng:
A(p) = N(p) + M(p) = 0 (4.30)
Trong đó: là tham số thay đổi của hệ thống.
Ranh giới miền D được xác định bởi phương trình:
A(j) = N(j) + M(j) = 0
vì ranh giới giữa phần trái và phần phải của mặt phẳng nghiệm số là trục ảo ứng với p
= j (với - < < ). Giải phương trình đối với biến ta xác định được miền D:
U( ) jV( )
) j ( M
) j (
N
(4.31)
với là nghiệm phức.
Khi xác định miền ổn định chỉ cần dùng miền tần số dương (0 < < ) như đường nét liền trên hình 4.25b. Sau đó vẽ đường có tần số âm đối xứng (như đường nét đứt trên hình 4.25b. Đường cong có thể xem là kết quả biến đổi của trục ảo mặt phẳng p (hình 4.25a) tương ứng với biểu thức (4.31). Nửa mặt phẳng trái của biến p tương ứng với một phần mặt phẳng trên hình 4.25b. Bên trái đường cong miền D cũng có đánh dấu gạch sọc khi tần số biến đổi từ - đến .
Trong mặt phẳng , nếu chuyển động qua ranh giới miền D vào vùng gạch sọc (hướng mũi tên 1) thì trong mặt phẳng p, một nghiệm đi từ nửa mặt phẳng phải sang trái.
Ngược lại mũi tên 2 ở hình 4.25b tương ứng với một nghiệm đi từ trái sang phải.
Hướng gạch sọc xác định hường chuyển đổi nghiệm qua trục ảo cũng như số lần chuyển đổi, cho nên muốn đánh dấu vùng D(l) chỉ cần biết phân bố nghiệm đối với trục ảo ứng với giá trị nào đó của thông số. Bằng cách tính số lần cắt đường ranh giới miền D khi thay đổi thông số và hướng chuyển động đối với miền gạch sọc, có thể xác định trị số l.
Ví dụ 4.17: Phân miền ổn định cho hệ thống có sơ đồ cấu trúc trên hình 4.26.
Bài giải:
Hàm truyền đạt hệ kín là:
K ) 1 p 3 )(
1 p 2 )(
1 p ( ) K p ( WK
Phương trình đặc trưng hệ thống kín là:
A(p) = 6p3 +11p2 + 6p + 1 + K =0 Thay p = j tách phần thực và phần ảo ta được:
= K = 112 – 1 + j (63 - 6) = U() + jV() U() = 112 -1 và U() = 0 khi 1, 2 = 0,302 V() = 113 -6 và V() = 0 khi 0 = 0 ; 3, 4 = 1
Khi cho thay đổi từ - đến + ta xây dựng được đặc tính K như trên hình 4.27:
U() V()
K (p 1)(2p 1)(3p 1) 1
U(p) Y(p)
Hình 4.26. Sơ đồ cấu trúc hệ thống của ví dụ 4.17
U() Re
Im 2 1
(a) V()
1 2 =
=0
=-
(b)
Hình 4.25. Chia miền ổn định a. Trong mặt phẳng p; b. Trong mặt phẳng
-
-1 -0,302
0 0,302
1
10
0 -1 0 10
-
0 1,647
0 -1,647
0
Tiến hành gạch chéo bên trái đường cong khi thay đổi từ - đến +. Đường cong chia mặt phẳng ra làm ba vùng I, II, III. Dùng nguyên lý gạch sọc ta thấy vùng I có tính ổn định cao nhất sau đấy đến vùng II. Vùng III có tính ổn định kém nhất. Như vậy hệ thống chỉ có thể ổn định trong vùng I. Để thử xem hệ thống có ổn định trong vùng này hay không ta lấy K = 0 (tâm toạ độ nằm trong vùng I). Lúc đó phương trình đặc trưng của hệ thống có dạng:
(T1p + 1)(T2p + 1) (T3p + 1) = 0
Phương trình đặc trưng của hệ thống có ba nghiệm thực cùng âm. Vì vậy hệ thống ổn định.
4.4.3. Phân miền D cho hệ thống có hai tham số
Để cho hệ thống có hai tham số thay đổi, phương trình đặc trưng có dạng:
A(p) = N(p) + M(p) + R(p) = 0 (4.32) Trong đó và là hai tham số thay đổi của hệ thống.
Phương trình các đường cong ranh giới miền D là:
0 ) j ( R ) j ( M ) j ( N ) j (
A (4.33)
Các đa thức viết dưới dạng phức:
0
I = D(0)
II=D(1)
III=D(2) V()
U() 0
Hình 4.27. Phân miền ổn định ví dụ 4.17 302
,
0
302 ,
0
10
) ( jN ) ( N ) j (
N 1 2 ) ( jM ) ( M ) j (
M 1 2 ) ( jR ) ( R ) j (
R 1 2 Từ phương trình (4.33) ta có:
N1() + M1() + R1() = 0 (4.34)
N2() + M2() + R2() = 0 Giải hệ phương trình (4.34) với nghiệm và :
;
(4.35)
Trong đó: = M1()N2() – M2()N1()
= N1()R2() – N2()R1()
= M2()R1() – M1()R2()
- Khi biến thiên từ - đến , với các trị số của mà ≠ 0 ta sẽ tìm được các đường cong chia miền D.
- Với các trị số của mà = 0 còn và ≠ 0 thì hệ phương trình (4.34) vô nghiệm, tức là hai đường thẳng song song với nhau. Đường cong ranh giới miền D tiến tới vô cùng.
- Khi = = 0 hoặc = = 0 khi đó hai đường thẳng (4.34) trùng khít lên nhau. Như vậy thì ứng với một giá trị mà các định thức , , triệt tiêu, đường cong ranh giới miền D không phải xác định bởi một điểm xác định mà là một đường thẳng xác định. Ta gọi đường thẳng đó là đường thẳng đặc biệt hay đường thẳng bổ xung.
Vì , , là các hàm lẻ của cho nên ta có thể viết được:
;
(4.36)
Với = 0 và =
- Thông thường đường thẳng đặc biệt tồn tại khi = 0 nếu hệ số tự do của phương trình đặc trưng phụ thuộc vào các tham số thay đổi. Cho giá trị hệ số này bằng không ta sẽ tìm được phương trình đặc biệt cho trường hợp này.
- Khi hệ số của phần tử có bậc cao nhất trong phương trình đặc trưng phụ thuộc vào tham số thay đổi thì sẽ tồn tai đường đặc biệt ứng với trường hợp = . Để tìm phương trình đặc biệt cho trường hợp này ta cho hệ số của phần tử có bậc cao nhất bằng không.thì và có dạng
; 0
0 . Cho nên đó là các tần số đặc biệt để tạo ra các đường thẳng đặc biệt. Bây giờ ta phải tìm các đường thẳng đặc biệt đó.
* Ứng với = 0 thì và có dạng 0 0 .
Phương trình đặc trưng: A(p) = aopn + a1pn-1 +...+ an = 0 Nếu có an = 0 sẽ trở thành:
A(p) = p[a0pn-1 + a1pn-2 + …+an-1] = 0
Hay: A(j)j[a0(j)n1a1(j)n2...an1]0
Như vậy thì hệ số an = 0 trong phương trình đặc trưng cũng giống như tần số
= 0 trong phương trình đường cong ranh giới chia miền D. Vậy phương trình đường thẳng đặc biệt với tần số = 0 là:
an = 0 (4.37)
* Ứng với = thì và có dạng
Phương trình đặc trưng được viết dưới dạng:
) 0 j ( ... a ) j (
a j
a a ) j (
A 0 1 2 2 n n
Khi = thì bắt buộc a0 = 0. Vậy phương trình đường thẳng đặc biệt thứ hai là:
a0 = 0 (4.38)
Quy tắc gạch chéo như sau:
+) Trên mặt phẳng (, ), trục hoành là đường cong giới hạn sẽ được gạch sọc bên trái nếu > 0 và gạch sọc sẽ bên phải nếu < 0 theo chiều tăng của .
Vì là hàm lẻ của nên với > 0 và tăng từ 1 đến 2(với 2 > 1) thì
0
. Còn với 0và chạy từ 2 đến 1thì 0. Do đó đường cong ranh giới luôn luôn được gạch sọc cả hai lần cùng một phía.
Trên hình 4.28a có 2 1 chiều tăng có ()0, gạch sọc bên trái.
Còn từ 2 đến 1 là chiều tăng (vì 0) có ()0, gạch sọc bên phải. Cả hai lần gạch sọc đều trùng nhau. Tương tự khi tăng có ()0 ta gạch chéo bên phải đường cong ranh giới.
Hình 4.28. Phân miền D a. Khi()0 ; b. Khi ()0
-
0
2
1
+
(-)>0
(+)<0
-
0
2
1
+
(-)<0
(+)>0
(a) (a)
(b)
Thực tế vì và là các hàm chẵn của nên khi vẽ đường cong ()chỉ cần lấy từ 0 đến . Nếu ()0, theo chiều tăng ta gạch sọc bên trái hai lần và
0 ) (
theo chiều tăng ta gạch sọc bên phải hai lần.
+) Ứng với i 0 (hoặc i ), đường thẳng đặc biệt được gạch sọc một lần cùng với đường cong ranh giới đã gạch sọc, còn ở nửa còn lại của nó sẽ được gạch sọc ở phía bên kia (hình 4.29a).
+) Ứng với i 0(hoặc i ) nếu đường cong ranh giới cắt qua đường thẳng đặc biệt mà định thức không đổi dấu thì đường thẳng đặc biệt sẽ không gạch sọc; nếu định thức đổi dấu thì đường thẳng đặc biệt được gạch sọc mỗi nửa cùng phía gạch sọc với đường cong ranh giới (hình 4.29b).
Tóm tắt các bước chia miền D cho hệ thống có hai tham số:
- Bước 1: Xác định đường cong ranh giới chia miền D
Tính ;;và ,. Cho 0vẽ đường cong ()theo đã tính.
- Bước 2: Vẽ các đường thẳng đặc biệt có phương trình a0 = 0 và an = 0.
- Bước 3: Gạch sọc các đường cong ranh giới và đường thẳng đặc biệt theo quy tắc đã trình bày.
- Bước 4: Xác định miền ổn định là miền được gạch sọc toàn bộ và nhiều lần nhất.
Thử lại bằng cách lấy một điểm trong miền đó rồi xét ổn định và đi đến kết luận cho cả miền.
Ví dụ 4.18: Phân miền D cho hệ thống phương trình đặc trưng là:
A(p) = (T1p + 1)(T2p + 1) (T3p + 1) + K = 0 Biết tham số thay đổi là K và T1; T2 = 2 và T3 = 3.
Bài giải:
Ta có: A(p) = 6T1p3 + 5T1p2 + 6p2 + T1p + 5p + K + 1 = 0 Thay p = j và tách phần thực, phần ảo ta được:
- 5T12 + K +1 - 62 = 0 ( - 6 ) + 0.K + 5 = 0
0
=0
0
>0
<0
Hình 4.29. Phân miền D
a. Khi i = 0 (hoặc I = ); b. Khi I 0 (hoặc I )
= +
+ 1=0
2=
i
(a) (b)
Tính giá trị các định thức:
= 63 - ; K = - 365 -133 - ; T1 = - 5
= 0 khi = 0 và = 0,408 Giải hệ phương trình trên ta được:
K =
3 3 5
6 13
36 ; T1 =
6 3
5
Có hai đường đặc biệt tương ứng với: = 0 và =
Khi = 0 cho hệ số tự do của phương trình đặc tính K + 1 = 0 ta được phương trình đặc biệt K = - 1.
Khi = ta cho hệ số của phần tử có bậc cao nhất 6T1 = 0 ta được phương trình của đường đặc biệt T1 = 0.
Để xây dựng phân miền D ta lập bảng sau:
K T1
0 0,408(-) 0,408(+)
0
< 0 0 <
0 <
- 1 -
- 5 -
0
Kết quả phân miền D được mô tả trên hình 4.30. Việc gạch sọc được tiến hành như sau:
=
=
K
I T1
III’ II I’
II’
III
= 0,408(-)
= 0,408(+)
Hình 4.30. Phân miền ổn định ví dụ 4.18