4.4 Quy hoạch thực nghiệm v μ xây dựng mô hình toán học
4.4.1 Thí nghiệm khảo sát ảnh h − ởng đồng thời của các thông số công nghệ đến quá trình cắt bằng tia laser
Việc nghiên cứu khảo sát ảnh hưởng đơn của từng yếu tố công nghệ đến chất l−ợng vết cắt, nhằm xem xét thị phần ảnh h−ởng của từng thông số công nghệ lên vết cắt, cho phép đánh giá định tính ảnh hưởng đồng thời của nhiều yếu tố tác động đến quá trình cắt.
ảnh hưởng đồng thời của các tham số công nghệ lên hệ thống gia công bằng tia laser có thể khảo sát thông qua xây dựng mô hình toán học theo ph−ơng pháp lí thuyết thuần tuý hoặc theo ph−ơng pháp quy hoạch thực nghiệm. Trong phạm vi đề tμi nghiên cứu ứng dụng, việc lựa chọn phương pháp quy hoạch thực nghiệm lμ hợp lý . Trong phạm vi nghiên cứu, 5 thông số công nghệ chính đ−ợc quan tâm, đó lμ:
- Công suất cắt - Vận tốc cắt - Khe hở đầu cắt - áp suất khí
- §−êng kÝnh ®Çu phun
Mục tiêu của nghiên cứu nμy lμ xây dựng một mô hình toán học thực nghiệm dạng t−ờng minh vμ tìm các bộ thông số công nghệ tối −u theo h m μ mục tiêu về độ hẹp của mạch cắt.
Kết quả của việc mô hình hóa sẽ giúp công việc đánh giá quá trình nμy một cách xác thực hơn cũng nh− biểu diễn đ−ợc mối liên quan sự ảnh h−ởng của các thông số công nghệ, lμm cơ sở để tối u hóa quá trình gia công (tìm ra − bộ thông số công nghệ tối −u) phục vụ công việc xây dựng cơ sở dữ liệu của thiết bị.
4.4.2 Thiết kế quy hoạch thực nghiệm
Việc lựa chọn một ph−ơng pháp thiết kế thí nghiệm hợp lý (tránh đ−ợc các hiện t−ợng nhiễu vμ tốn kém do số l−ợng thí nghiệm lớn) l rất cần thiết. μ Ph−ơng pháp qui hoạch thực nghiệm đ−ợc thực hiện trong nghiên cứu nμy lμ Thiết kế nhân tố đầy đủ 2J (2- số mức điều khiển của nhân tố, J-số nhân tố cần thiÕt kÕ) [22].
Theo phương pháp thiết kế nhân tố đầy đủ 2J để tiến hμnh xác định được mô hình toán học thì cần trải qua các b−ớc sau:
• B−ớc 1: Lựa chọn các thông số công nghệ cần nghiên cứu, thiết kế các thí nghiệm theo tiêu chuẩn của ph−ơng pháp vμ mô tả chúng d−ới dạng các biến giải
• B−ớc 2: Chuẩn hóa các biến giải thích
• B−ớc 3: Lựa chọn dạng mô hình toán học
• Bước 4: Kiểm định các hệ số của mô hình theo mức ý nghĩa chọn trước nếu thỏa mãn thì đây lμ mô hình toán học đại diện, nếu không thỏa mãn thì quay lại nâng cấp mô hình ở b−ớc 3 .
• B−ớc 5: Quay trở lại biến thực tế ta đ−ợc mô hình toán học, đây chính l μ mô hình toán học để tối −u hóa.
4.4.3 Lựa chọn các thông số công nghệ cần nghiên cứu - Công suất nguồn Laser : P (W)
- Vận tốc cắt : v (m/ph)
- Khoảng cách giữa đầu cắt vμ phôi : Z (mm) - áp suất khí thổi (N2, O2) tại đầu cắt: Pkt (bar) - §−êng kÝnh ®Çu phun : D (mm) Công suất
Từ công thức wt v
P =η [1] với P lμ công suất, v- vận tốc cắt, độ rộng w mạch cắt, t- chiều dầy phôi vμη- hệ số hữu ích của thiết bị, cho thấy tăng công suất cho phép cắt tại tốc độ lớn hơn vμ/hoặc cắt vật liệu chiều d y hơn. Cũng từ μ công thức trên đối với mỗi chủng loại vật liệu, khi chiều dầy tấm t không đổi,
để đạt đ−ợc chiều rộng mạch cắt w cμng nhỏ thì hoặc phải giảm P, hoặc tăng v hoặc thực hịên cả hai việc trên. Tuy nhiên nếu giảm P, thì năng suất cắt lại giảm theo do các nguyên nhân về năng l−ợng cho quá trình cắt. Điều nμy rất bất lợi cho các quá trình sản xuất công nghiệp, vốn đòi hỏi cao cả về chất l−ợng gia công cũng nh− năng suất gia công vμ giá thμnh. Mặt khác, với các tấm có chiều dμy lớn (đối với công nghệ laser) máy cũng không thể cắt đ−ợc nếu điều chỉnh ở các mức công suất thấp. Do vậy, trong thực tế sản xuất công nghiệp, với các gam máy công suất vừa vμ nhỏ nh− tr−ờng hợp của thiết bị LC1000CO2-CNC, người ta có thể cố định công suất max vμ thay đổi v để đạt được các hiệu quả về
chiều rộng mạch cắt nhỏ (t−ơng tự nh− nếu giảm P) cũng nh− năng suất gia công cao (mμ việc giảm P trái lại lμm hạ năng suất). Vậy để đồng thời đạt hai mục tiêu chiều rộng mạch cắt vμ năng suất gia công, ta chọn P=Pmax vμ giải b i μ toán tối −u tìm v hợp lý cùng với các thông số công nghệ khác.
Khoảng cách đầu cắt tối −u
Như đã phân tích về sự ảnh hưởng của khoảng cách đầu phun đến chất l−ợng vết cắt ta nhận thấy chất l−ợng mạch cắt bé nhất khi khoảng cách đầu cắt cách bề mặt phôi lμ 2mm. Nh− vậy khoảng cách của đầu cắt Ztối −u =2mm.
Kết luận: Thiết kế thí nghiệm vμ quy hoạch thực nghiệm sẽ đ−ợc thực hiện với:
• Ptèi−u=1000W
• Ztèi−u=2 mm
Các thông số công nghệ còn lại, cần đ−ợc tối u l : − μ
- Vận tốc cắt : v (m/ph)
- áp suất khí thổi tại đầu cắt : Pkt (bar) - §−êng kÝnh ®Çu phun : D (mm)
Số thí nghiệm cần thiết cho một loại vật liệu vμ có chiều dầy cố định lμ: N = 2j = 23 = 8 thí nghiệm
Đại l−ợng đầu vμo:
• Vận tốc cắt v (m/ph)
• áp suất khí thổi Pkt (bar)
• §−êng kÝnh ®Çu phun D (mm).
Đại l−ợng đầu ra:
• Độ rộng vết cắt w ( m) μ
Kết luận: thí nghiệm theo ph−ơng pháp quy hoach thực nghiệm đ−ợc thiết kế nh− trong bảng 4.5.
4.4.4 Qui hoạch thực nghiệm xác định mô hình toán học
Nh− ta đã biết để thiết lập mối quan hệ giữa các biến định l−ợng : y = f(x1, x2…, xj; a1, a2…aj)
Trong đó dạng hμm f vμ các tham số aj lμ chưa xác định, người ta có thể xuất phát từ quan hệ bản chất (lý, hóa, công nghệ… ) giữa tốc độ biến thiên của y theo bé biÕn x1, x2…xj.
Có nhiều phương pháp để xác định các tham số aj nhưng một trong những phương pháp được sử dụng nhiều nhất đó lμ phương pháp thực nghiệm. Phương pháp nμy xuất phát từ một bộ số liệu thực nghiệm ng−ời ta −ớc l−ợng mối quan hệ giữa các biên cần giải thích y vμ bộ biến giải thích x1, x2…xj, bằng một sấp xỉ nμo đó (tuyến tính hoặc phi tuyến) trên cơ sở ứng dụng cực tiểu hóa tổng bình phương độ lệch giữa giá trị hμm vμ giá trị thực nghiệm t ơng ứng của y (gọi l ư μ
điều tiết một mặt hồi qui).
Khác với các ph−ơng pháp khác, ph−ơng pháp thực nghiệm có thể chủ
động cho các giá trị xác định của các biến giải thích (xác định trước các điểm thí nghiệm), vμ mỗi điểm thí nghiệm xác định (x1, x2…xj) đó thu đ−ợc một giá
trị ngẫu nhiên yi của y ở đầu ra.
Tuy nhiên, việc lựa chọn một ph−ơng pháp thực nghiệm từ khâu thiết kế thí nghiệm đến sử lý vμ đ−a ra mô hình toán học thực nghiệm vừa phản ảnh một cách chính xác nhất mối quan hệ của các biến vừa có thể tránh đ−ợc các hiện t−ợng nhiễu vμ tốn kém do số l−ợng thí nghiệm lớn lμ rất cần thiết. Nh− đã phân tích tác giả đã lựa chọn phương pháp qui hoạch thực nghiệm: Thiết kế nhân tố
đầy đủ 2J (2-số mức điều khiển của nhân tố, J-số nhân tố cần thiết kế).
ở đây tác giả chỉ đ−a ra một thí nghiệm điển hình l m đại diện, các thí μ nghiệm còn lại đ−ợc tiến hμnh t−ơng tự.
Số thí nghiệm cần thiết cho một loại vật liệu thép CT3 vμ có chiều dầy cố
định lμ t = 2mm:
- Số thí nghiệm tiến hμnh: N = 2j = 23 = 8 thí nghiệm
Đặt các biến giải thích:
Đặt X1 : Biến giải tích của vận tốc cắt v (m/ph)
Đặt X2 : Biến giải tích của áp suất khí thổi Pkt (bar).
Đặt X3 : Biến giải tích của đ−ờng kính đầu phun D (mm).
Ghi chú: Trong nghiên cứu nμy, mô hình toán học đ−ợc lập chuẩn cho vật liệu thép cacbon CT3 chiều dầy 2mm, trên cơ sở đó một phương pháp luận được hình thμnh để xây dựng mô hình toán học cho các loại vật liệu/chiều dμy khác nhau.
Điều kiện biên, theo các thí nghiêm xác định khả năng gia công của thiết bị tại mục 4.2 kiểm tra thực tế đối với vật liệu thép CT3 chiều dầy 2mm thì
miền giới hạn có thể gia công tốt đ−ợc xác định nh− sau:
- vcắt max = 4m/phút
- vcắt min = 2m/phút - PKtmax = 4 (bar) - PKtmin = 1 (bar) - dmax = 2 (mm) - dmin = 0,8 (mm)
Số thí nghiệm đ−ợc tính theo công thức:
N = 2J ( lJ μ số nhân tố đ−ợc bố trí trong thí nghiệm) N = 23 = 8 (thí nghiệm)
Trong đó:
Ma trận thiết kế theo ph−ơng pháp nhân tố:
1 11 11 11 1
1 1 11 11
11
1 1
1 1
1 1
11
11 1 1
11 11
;
Với việc sử dụng phương pháp thiết kế đầy đủ với hai mức điều khiển để phân tích độ biến động của đối t−ợng nghiên cứu, một trong những vấn đề cần thiết lμ xác định đ−ợc dạng mô hình toán học thực nghiệm của đối t−ợng nghiên cứu. Từ đó, bằng phương pháp qui hoạch thực nghiệm có thể xác định được các hệ số trong mô hình vμ kiểm tra sự tồn tại của các hệ số cũng nh− mô hình toán học đó trong mức ý nghĩa cho phép.
4.4.4.1 Xác định dạng của mô hình toán học
Với phương pháp thiết kế nhân tố 2J thì dạng mô nhình đơn giản nhất lμ mô hình tuyến tính bậc nhất:
y = a0 + a1X1 + a2X2 + a3X3 Trong đó:
- X1: Biến đại diện cho vận tốc cắt v (m/ph)
- X2: Biến đại diện cho áp suất khí thổi tại đầu cắt Pkt (bar) - X3: Biến đại diện cho đường kính đầu phun D (mm)
- y : Biến đại diện cho hμm mục tiêu về độ rộng của mạch cắt.
Các thí nghiệm đ−ợc tiến hμnh lần l−ợt vμ kết quả đo đạc đ−ợc ghi trong bảng 4.5
Bảng 4.5: Bố trí thí nghiệm theo ph−ơng pháp thiết kế nhân tố.
SST
VËn tèc cắt (m/phót)
X1
áp suất khÝ (bar)
X2
§−êng kÝnh ®Çu
phun (mm) X3
Kết quả đo (y)
Độ rộng (μμμμμm) Đánh giá sơ bộ Mặt trên
(1)
Mặt d−íi (2)
Chênh lệch Mặt 2-1
H×nh thức (bám xỉ)
1 4,0000 4,0000 2,0000 142,0000 145 3
Mặt d−ới còn 1 vμi
điểm gợn 2 4,0000 4,0000 0,8000 132,0000 128 -4 Sạch đều
2 mặt
3 4,0000 1,0000 2,0000 120,0000 0 -
Mạch không thông 4 2,0000 4,0000 2,0000 187,0000 192 5 Khá sạch 5 4,0000 1,0000 0,8000 126,0000 145 19 1 vμi ®iÓm
gợn
6 2,0000 4,0000 0,8000 153,0000 159 6 Sạch
7 2,0000 1,0000 2,0000 165,0000 157 -8 Gỉ bám nhẹ đều 8 2,0000 1,0000 0,8000 150,0000 141 -9 Khá sạch
Chuẩn hóa các biến giải thích [7]
Các biến giải thích cần chuẩn hóa bao gồm X1, X2, X3, X1 = {1 ứng với X1 = 4; -1 ứng với X1 = 2 }
Do đó ta có: S1 = 0,5.(4 - 2) = 1 x1 = (X1 - 3)/1
X2 = {1 ứng với X2 = 4 ; -1 ứng với X2 = 1} Do đó ta có: S2 = 0,5.(4 - 1) =1,5
x2 = (X2 - 2,5)/1,5
X3 = {1 ứng với X3 = 2; -1 ứng với X3 = 0,8} Do đó ta có: S3 = 0,5.( 2 - 0,8) = 0,6
x3 = (X3 - 1,4)/0,6
Trong đó x1, x2, x3 lμ các biến đ−ợc chuẩn hóa.
Kết quả điều tra với biến chuẩn hóa.
Bảng 4.6: Chuẩn hóa các biến giải thích trong mô hình mới
SST x1 x2 x3 y y-y
1 1,0000 1,0000 1,0000 142,0000 -4,8750
2 1,0000 1,0000 -1,0000 132,0000 -14,8750
3 1,0000 -1,0000 1,0000 120,0000 -26,8750
4 -1,0000 1,0000 1,0000 187,0000 40,1250
5 1,0000 -1,0000 -1,0000 126,0000 -20,8750
6 -1,0000 1,0000 -1,0000 153,0000 6,1250
7 -1,0000 -1,0000 1,0000 165,0000 18,1250
8 -1,0000 -1,0000 -1,0000 150,0000 3,1250
Trong đó:
y = 1( )
∑1
= n
i
yi
n ( n = 2
J = 8 - số thí nghiệm) Xác định các hệ số của mô hình thực nghiệm:
a0 = ∑
=
J
i
J yi
2
2 1
1
a0 = y= 292,3750 aj = ∑
=
J
i
i
J xij y
2 1
2 .
1 j = 1: J
Bảng 4.7: Các hệ số trong mô hình tuyến tính bậc nhất
j a0=y x1j x2j x3j
1 142,0000 142,0000 142,0000 142,0000
2 132,0000 132,0000 132,0000 -132,0000
3 120,0000 120,0000 -120,0000 120,0000
4 187,0000 -187,0000 187,0000 187,0000
5 126,0000 126,0000 -126,0000 -126,0000
6 153,0000 -153,0000 153,0000 -153,0000
7 165,0000 -165,0000 -165,0000 165,0000
8 150,0000 -150,0000 -150,0000 -150,0000
Hệ số a0 a1 a2 a3
146,8750 -16,8750 6,6250 6,6250
Các hệ số của mô hình đ−ợc tính toán từ bảng 4.7:
a0 = 146,8750
a1 = -16,3750 a2 = 6,6250 a3 = 6,6250
Nh− vậy ta có mô hình tuyến tính xấp xỉ bậc nhất:
y = 146,8750 - 16,8750.x1 + 6,6250.x2 + 6,6250.x3
Quay trở về biến thực:
146,875 16,8750 3
1 6,6250 2,5
1,5 6,6250 1,4 0,6
y = 171 - 16,3750.X1 + 4,4167.X2 + 11,0417.X3 4.4.4.2 Kiểm định ý nghĩa của hệ số mô hình
Trong mục 4.4.4.1 ta đã tìm đ−ợc mô hình tuyến tính bậc nhất mô tả sự
ảnh hưởng đồng thời của các yếu tố công nghệ lên độ rộng mép cắt có dạng:
y = 146,8750 - 16,8750.x1 + 6,6250.x2 + 6,6250.x3
Theo lý thuyết của phương pháp thiết kế nhân tố để kiểm định mức ý nghĩa các hệ số của mô hình [7] giả sử mô hình tuyến tính có dạng :
y =b0 + b1.X1+ …+ bJ.XJ + ε Mô hình −ớc l−ợng (mô hình hồi qui) dạng:
y = a0 + a1x1+ …+ aJxJ Trong đó aj lμ các −ớc l−ợng của bj.
Với giả thiết ε tuân theo luật phân phối chuẩn N(0, σ2) bμi toán kiểm ý nghĩa của các bj lμ:
H0 : bj = 0
H1 : bj ≠ 0; j = 1..J
Tiêu chuẩn kiểm định Fisher lμ:
F = 2 2
e j
s s
ở mức kiểm định α α ( =0,05) nếu :
- F > fbảng = f[1; 2J - J - 1; α] thì các giá trị bj ≠ 0 tồn tại một cách có ý nghĩa.
- F < fbảng = f[1; 2J - J - 1; α] thì các giá trị bj không tồn tại nói cách khác mô hình giả thiết không phù hợp.
Nh− vậy với mô hình −ớc l−ợng cụ thể :
y = 146,8750 - 16,8750.x1 + 6,6250.x2 + 6,6250.x3
Ta có: véc tơ các hệ số aj ; Xij ; yj:
146.8750
16.8750 6.6250 6.6250
146.8750 16.8750 6.6250 6.6250
1 11 11 11 1
1 1 11 11
11
1 1
1 1
1 1
11
11 1 1
11 11
; y
142 132120 187126 153165 150
;
TBPHQ = aT.XT.y
146.8750 16.8750 6.6250 6.6250. 11 11
1 1 11
1 1
1 1
11 1 1
1 1
11
1 1 11
11
1 1
11
11 .
142 132120 187126 153165 150
TBPHQ = 175560
Tính các giá trị hồi qui trong bảng 4.8:
TBP0 = 2
1
) 1(
∑
= I
i
yi
I = 8.(y)2 = 8.(292,375)2 = 172578,1250 S1y = X1(yi y)
i
i −
∑
S2y = X2(yi y)
i
i −
∑
S3y = X3(yi y)
i
i −
∑ Bảng 4.8: Các giá trị hồi qui
i x1 x2 x3 y-y
1 1.0000 1.0000 1.0000 -17.3750
2 1.0000 1.0000 -1.0000 -18.3750
3 1.0000 -1.0000 1.0000 -19.3750
4 -1.0000 1.0000 1.0000 27.6250
5 1.0000 -1.0000 -1.0000 -10.3750
6 -1.0000 1.0000 -1.0000 32.6250
7 -1.0000 -1.0000 1.0000 19.6250
8 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -14.3750
Siy
S1y S2y S3y y
-135,0000 53,0000 53,0000 146,8750
Tính các giá trị trong bảng phân tích ph−ơng sai (bảng 4.9) TBP1 = a1.S1y = (- 16,8750).(-135.0000) = 2278,1250 TBP2 = a2.S2y = 6,6250.53,0000 = 351,1250 TBP3 = a3.S3y = 6,6250.53,0000 = 351,1250 TBPe = TBPHQ -(TBP0+TBP1+TBP2+TBP3).
TBP0+TBP1+TBP2+TBP3 = 175558,1250 YT.Y =∑I yi
1
2 = 175560,0000
TBPe = 175560,0000 - 175558,1250 = 1,785 Bảng 4.9: Bảng phân tích ph−ơng sai
Nguồn Tổng bình ph−ơng Bậc tự
do Ph−ơng sai F
Do a0 TBP0 = 2
1
) 1(
∑
= I
i
yi
I 1
Do x1 TBP1=a1.S1j; j = 1..J 1 S21 S21/ S2e Do x2 TBP2 =a2.S2j; j = 1..J 1 S22 S22/ S2e Do x3 TBP3=a3.S3j; j = 1..J 1 S23 S23/ S2e Hồi qui TBP0+TBP1+ TBP2 +TBP3 4 S2HQ S2HQ/ S2e
Sai sè YT.Y- (TBP0 +TBP1 +TBP2
+TBP3) (I - J - 1) S2e
Tổng YT.Y =∑I yi
1
2 I
Thay thế số vμo bảng 4.9 ta có bảng phân tích ph−ơng sai cụ thể nh− sau:
Nguồn Tổng bình ph−ơng Bậc tự
do Ph−ơng sai F
Do a0 172578,1250 1
Do x1 2278,1250 1 2278,1250 5125,210
Do x2 351,1250 1 351,1250 786,834
Do x3 351,1250 1 351,1250 786,834
Hình 4.23: Sơ đồ thiết kế hợp tử tại tâm
Hồi qui 175560,0000 4 43890 98408,070
Sai sè 1,785 4 0,44625
Tổng 175560,0000 8
Kiểm tra hệ số Fisher ở mức kiểm định α (α=0,05) fbảng = f[1; 2J - J - 1; α]
Trong đó :
- J : Sè nh©n tè trong thiÕt kÕ - α : Mức kiểm định
- 2J : Số thí nghiệm Tra bảng Fisher (phụ lục 2):
f( 1; 4; 0,05) = 7,7100
Quan sát trên bảng phân tích ph−ơng sai (bảng 4.9) mặc dù các giá trị Ftính trong bảng lớn hơn các giá trị tra bảng trong bảng Fisher (F tra bảng), nh−ng với sai số TBPe = 1,785 lμ quá lớn so với mức cho phép (0,1). Nh vậy, có thể kết − luận: mô hình tuyến tính bậc nhất ch−a phản ảnh đ ợc đầy đủ qui luật giữa − hμm mục tiêu vμ các biến số hay nói cách khác lμ mô hình bậc nhất bị thiếu hôt.
4.4.4.3 Thiết kế hợp tử tại tâm-xấp xỉ bậc hai
Để bù vμo sự thiếu hụt của mô hình bậc nhất ta đ−a thêm v các hệ số μ t−ơng tác aik. Tức lμ phải bổ xung vμo mô hình bậc nhất các giá trị t−ơng tác giữa các biến giải thích, điều đó đồng nghĩa với việc phải tiến hμnh thêm một số thí nghiệm nhằm tăng độ chính xác của
mô hình toán học.
Một trong những cách thiết kế thí nghiệm bổ xung hưu hiệu nhất cho bμi toán thiết kế nhân tố 2J (thiết kế bộ phận) đó lμ phương pháp thiết kế hợp tử tại tâm (hình 4.23) tức lμ phát triển thêm các thí nghiệm tại đỉnh của một hình đa diện đều 2J đỉnh. Có thể diễn giải một cách rõ rμng hơn lμ ở b−ớc 1 thực hiện thiết kế 2J với điều tiết xấp xỉ bậc nhất
nh−ng do mô hình bậc nhất có thiếu hụt (đã chứng minh ở trên) ta chuyển sang
bước thứ hai với thiết kế 2J lμ lμ hợp tử tại tâm của 2J đồng thời với n0 điểm thí nghiệm tại tâm với điều tiết xấp xỉ bậc 2.
Nh− vậy dạng thiết kế mới sẽ có dạng khối lập ph−ơng với tử tại tâm nh− hình 4.23, trong đó:
- 2J: Số thí nghiệm theo thiết kế nhân tố.
- 2J: Số thí nghiệm tại các đỉnh bổ xung.
- n0: Số điểm thí ngiệm tại tâm.
Nh− vậy tổng số thí nghiệm sẽ phải tiến hμnh lμ: I = 2J + 2.J + n0 I = 8 + 6 + 1 = 15 (thí nghiệm)
Bằng khai triển Taylor với hμm 3 biến X1, X2, X3 (f(X1, X2, X3) tại lân cận (X01, X02, X03) cho xấp xỉ bậc hai, ta có dạng mô hình mô hình xấp xỉ tổng quát nh− sau:
y = a0 + J j k
j k
k J
j j J
j jj j
J
j
X X a X
a X
a ∑ ∑ ∑
∑= = = =
+
+ ạ
1 2 1 1
ạ
Víi J = 3 ta cã:
y = a0+a1x1+a2x2+a3x3+a11x12+a22 x22+a33 x32+a12x1x2+a13x1x3+a23x2x3 (*) Với mô hình (*) tổng bình phương sai số không chỉ biểu thị độ biến động của sai số thí nghiệm mμ còn biểu thị sự đóng góp của mọi tương tác. Sự đóng góp đó chính lμ sự thiếu hụt của mô hình điều tiết (mô hình bậc nhất) đã nêu ở trên.
T−ơng tự nh− mục 4.4.4.1 ta có bảng thí kế thí nghiệm theo ph−ơng pháp thiết kế hợp tử tại tâm với J = 3 biến giải thích (bảng4.10).
Trong đó:
- a: Bán kính thí nghiệm đ−ợc xác định theo công thức:
n + 2.a4 = 3.n
a = n0,25= 80,25=1,682
Xác định giá trị của các biến giải thích trong thí nghiệm bổ xung:
X1 - 3 = 1,682 → X1 = 4,682; X1 - 3 = -1,682 → X1 = 1,3180 (X2 - 2,5)/1,5 = 1,682 → X2 = 5,0230; (X2 - 2,5)/1,5 = -1,682 → X2 = 0 (X3 - 1,4)/0,6 = 1,682 → X3 = 2,4; (X3 - 1,4)/0,6 = -1,682 → X3 = 0,4 Tại mức 0 tức lμ các điểm thí nghiệm nằm tại tâm.
Bảng 4.10: Bảng bố trí thí nghiệm theo ph−ơng pháp hợp tử tại tâm
SST
VËn tèc cắt
áp suất khÝ
§−êng kÝnh
®Çu phun
§é
réng Ghi chó (m/phót) (bar) (mm) (μμμμμm)
X1 X2 X3 y
1 4 4 2 142
23 = 8 thÝ nghiệm theo thiÕt kÕ nh©n tè
2 4 4 0.8 132
3 4 1 2 120
4 2 4 2 187
5 4 1 0.8 126
6 2 4 0.8 153
7 2 1 2 165
8 2 1 0.8 150
9 4,6 2.5 1.4 215
2 x 3 = 6 thÝ nghiệm bổ xung
10 3 5 1.4 235
11 3 2.5 2.4 240
12 1,3 2.5 1.4 270
13 3 0 1.4
14 3 2.5 0.4 153
15 3 2.5 1.4 160 Sè ®iÓm thÝ
nghiệm tại tâm Bảng 4.11: Bảng chuẩn hóa các biếngiải thích trong mô hình mới
SST x1 x2 x3 y
1 1 1 1 142
2 1 1 -1 132
3 1 -1 1 120
4 -1 1 1 187
5 1 -1 -1 126
6 -1 1 -1 153
7 -1 -1 1 165
8 -1 -1 -1 150
9 a= 1,682 0 0 215
10 0 a= 1,682 0 235
11 0 0 a= 1,682 240
12 -a = -1,682 0 0 270
13 0 -a = -1,682 0
14 0 0 -a = -1,682 153
15 0 0 0 160
Theo lý thuyết của ph−ơng pháp thiết kế tử tại tâm ta có:
3 0
14 2 0 14
0
=
=
=
=∑ ∑ ∑
∑
=
=
ij jk
ij jk
i ij i
ij X X X X X
X
14 2 1
2 n 2a
X
i
ij = +
∑=
= 8 + 2. (1,682)2 = 13,6582 8
. 2
14
1
2 = =
∑
=
n X X ik
i ij
14 4 1
4 n 2a
X
i
ij = +
∑
=
= 8 + 2. (1,682)4 = 24
Các hệ số trong mô hình (*) đ−ợc xác định theo công thức:
aj = X y j J
a
n i i
ij ; 1..
2 1
2 =
+ ∑ (4-1)
ajk = X X y j J k j
n ik i
n
i
ij = − >
∑ ; 1.. 1;
1 (4-2)
ajj (j = k) lμ nghiệm của hệ ph−ơng trình:
2 2.
2 2 .
… … …
2 . 2
4 3
Các giá trị của hệ số aij đ−ợc xác định theo công thức (4-1), (4-2) v đμ −ợc ghi trong bảng 4.12.
Bảng 4.11: Bảng xác định các hệ số trong mô hình mới
SST xi1.yi xi2.yi xi3.yi xi1.xi2.yi xi1.xi3.yi xi2.xi3.yi 1 142.00 142.00 142.00 142.00 142.00 142.00 2 132.00 132.00 -132.00 132.00 -132.00 -132.00 3 120.00 -120.00 120.00 -120.00 120.00 -120.00 4 -187.00 187.00 187.00 -187.00 -187.00 187.00 5 126.00 -126.00 -126.00 -126.00 -126.00 126.00 6 -153.00 153.00 -153.00 -153.00 153.00 -153.00 7 -165.00 -165.00 165.00 165.00 -165.00 -165.00 8 -150.00 -150.00 -150.00 150.00 150.00 150.00
9 361.63 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
10 0.00 395.27 0.00 0.00 0.00 0.00
11 0.00 0.00 403.68 0.00 0.00 0.00
12 -454.14 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
14 0.00 0.00 -257.35 0.00 0.00 0.00
15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Hệ số a1 a2 a3 a12 a13 a23
-16,6574 32,8206 14,5945 0,3750 -5,6250 4,3750
Tính toán các giá trị ajj theo hệ ph−ơng trình (4-3)
Bảng 4.12: Bảng xác định các hệ số trong hệ ph−ơng trình (4-3) SST yi x2i1.yi x2i2.yi x2i3.yi
1 142.00 142.00 142.00 142.00
2 132.00 132.00 132.00 132.00
3 120.00 120.00 120.00 120.00
4 187.00 187.00 187.00 187.00
5 126.00 126.00 126.00 126.00
6 153.00 153.00 153.00 153.00
7 165.00 165.00 165.00 165.00
8 150.00 150.00 150.00 150.00
9 215.00 608.26 0.00 0.00
10 235.00 0.00 664.84 0.00
11 240.00 0.00 0.00 678.99
12 270.00 763.86 0.00 0.00
13 0.00 0.00 0.00 0.00
14 153.00 0.00 0.00 432.86
15 160 0 0.00 0.00
Tổng 2448,0000 2547,1251 1839,8441 2286,8457
Kết hợp hệ ph−ơng trình (4-3) v bảng 4.12 ta có hệ phμ −ơng trình 4-3.1
Giải hệ ph−ơng trình theo ph−ơng pháp Gauss ta có:
a0 = 167,6468 a11 = 18,5294
15.a0 + 13,658.a11 + 13,658.a22 + 13,658.a33 = 2448
13,658.a0 + 24.a11 + 8.a22 + 8.a33 = 2547,121 (4-3.1) 13,658.a0 + 8.a11 + 24.a22 + 8a33 = 1839,8441
13,658.a0 + 8.a11 + 8.a22 + 24.a33 = 2286,8457
a22 = -25,6754 a33 = 2,2622
Ta có dạng của mô hình xấp xỉ bậc 2 :
, , , , ,
, , , , , (*) 4.4.4.4 −ớc l−ợng hệ số của mô hình xấp xỉ bậc 2 (*)
Theo lý thuyết của phương pháp thiết kế tử ở tâm để kiểm định mức ý nghĩa các hệ số của mô hình [*] với mô hình tuyến tính dạng :
y = a0 + J j k
j k
k J
j j J
j jj j
J
j
jX a X a X X
a ∑ ∑ ∑
∑= = = =
+
+ ạ
1 2 1 1
+ ε
Giả thiết ε tuân theo luật phân phối chuẩn N(0, σ2). Nếu sai số của các −ớc l−ợng aij nằm trong khoảng cho phép vμ các tiêu chí kiểm định của Fisher đ−ợc thỏa mãn thì có thể kết luận các hệ số của mô hình xấp xỉ bậc hai lμ đủ tin cậy trong mức ý nghĩa chọn tr−ớc.
Xác định ma trận Xij.
- Cột 1 gồm các giá trị 1 (n + 2J + n0 giá trị).
- Các cột 2 đến cột J + 1 ta cột thiết kế với J = 3 biến chuẩn hóa - Các cột còn lại lμ các giá trị cho thiết kế tại tâm.
Ma trận Xij trong thiết kế tử tại tâm:
11 11 11 11 11 11 11 1
11
1 1
1 1
1
1 1.682
00
1.682 00 0
11
1
1 1
1 1
1 1.6820
00
1.682 00
1 1 11
1
1
1 1 00 1.682
01
1.682 0
11 11 11 11 2.8291
00 2.8291
00 0
11 11 11 11 2.82910
00 2.8291
00 11 11 11 11 00 2.8291
00 2.8291
0 11
1
1
1
1 11 00 00 00 0
1 1
1 1
1
1 1 10 00 00 00
1 1
1 11
1
1 10 00 00 00
Đặt ma trận A = XT*X ta có:
150 00 13.6582 13.6582 13.6582
00 0
13.65820 00 00 00 00
00 13.6582
00 00 00 0
00 13.65820
00 00 00
13.6582 00 240
88 00 0
13.6582 00 08 248
00 0
13.6582 00 08 248
00 0
00 00 00 08 00
00 00 00 00 80
00 00 00 00 08
Ma trận nghịch đảo A-1:
0.98850 00
0.3374
0.3374
0.3374 00 0
0.07320 00 00 00 00
00 0.0732
00 00 00 0
00 0.07320
00 00 00
0.3374 00 0.16520 0.1027 0.1027
00 0
0.3374 00 0.10270 0.1652 0.1027
00 0
0.3374 00 0.10270 0.1027 0.1652
00 0
00 00 00 0.12500
00 00 00 00 00 0.1250
0 00 00 00 00 0.12500
142132 120187 126153 165150 215235 240270 1530 160
Các hệ số −ớc l−ợngaij đ−ợc tính theo công thức: . .
167.6767
16.6573 32.8205 14.5944 18.5089
25.6748 2.2493 0.3750 5.6250 4.3750
Xác định độ chênh lệch của các hệ số aij
ij a0 a1 a2 a3 a11 a22 a33 a12 a13 a23
aij 167.6468 -16,6574 32,8206 14,5945 18,5294 -25,6754 2,2622 0,3750 -5,6250 4,3750
ij 167.6767 -16.6573 32.8205 14.5944 18.5089 -25.6748 2.2493 0.3750 -5.6250 4.3750 Chênh
lệch 0.0299 0.0001 0.0001 0.0001 0.0205 0.0006 0.0129 0 0 0
Xác định phương sai của các hệ số trong mô hình phi tuyến:
, , , , ,
, , , , ,
Về mặt lý thuyết thì một mô hình phi tuyến bất kỳ nμo cũng có thể đ−a về mô hình tuyến tính qui bội. Tuy nhiên, với mô hình phi tuyến thì vấn đề quan tâm thêm lμ ý nghĩa đóng góp của các hệ số bậc cao, khi đó người ta sẽ phân tích tổng bình ph−ơng thμnh hai thμnh phần:
- Phần thứ nhất lμ do đóng góp của các số hạng bậc nhất - Phần thứ hai lμ do đóng góp của các số hạng bậc cao
Đặt :
z1 = x1; z2 = x2 ; z3 = x3;
; ; ; z7 =x1.x2; z8 = x1.x3 ; z9 =x3 Mô hình trở thμnh :
y = a0 + a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 + a11 z4+ a22 z5 + a33 z6 + a12 z7 + a13 z8+ a23 z9
trong đó : ao = y
Sji = 1 ( )
1
y y
I X i
J
ij −
∑
Ta có bản phân tích ph−ơng sai trong mô hình xấp xỉ bậc hai Bảng 4.13: Bảng phân tích ph−ơng sai
Nguồn Tổng bình ph−ơng Bậc tự do Ph−ơng sai F
Do a0 TBP0 = 2
1
) 1(
∑
= I
i
yi
I 1
Do số hạng bậc nhất TBP1 + TBP2 + TBP3 3 S21 S21/ S2e Do số hạng bậc hai TBP4 +... + TBP9 6 S22 S22/ S2e Sai sè YT.Y- (TBP0 + TBP1 + …
+TBP9) (I - J - 1) S2e
Tổng YT.Y =∑I yi
1
2 I