8 MOƠT VAØI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYÊN
8.3 Toơng cụa bôn sô chính phương
Bađy giờ chúng ta quan tađm đên cađu hỏi: sô nguyeđn dương nhỏ nhât nlà bao nhieđu đeơ mĩi sô nguyeđn dương đeău là toơng cụa n sô chính phương?
Ta thây raỉng sô 7 khođng là toơng cụa ba sô chính phương. Chúng ta sẽ chư ra raỉng mĩi sô nguyeđn dương đeău là toơng cụa 4 sô chính phương.
Định lý 8.4. Nêum, nđeău là toơng cụa bôn sô chính phương thì tích mncũng là toơng cụa bôn sô chính phương.
8.3. TOƠNG CỤA BÔN SÔ CHÍNH PHƯƠNG 129 Chứng minh. Giạ sử m=x2+y2 +z2+w2 và n=a2+b2+c2+d2. Ta có
mn= (x2+y2+z2+w2)(a2+b2+c2+d2 = (ax+by+cz+dw)2+ +(bx−ay+dz−cw)2 + (cx−dy−az+bw)2+ (dx+cy−bz−aw)2.
Định lý 8.5. Nêu p là sô nguyeđn tô thì có các sô nguyeđn x, y, z, w sao cho
x2+y2+z2+w2 =p.
Chứng minh. Trường hợp p= 2, hieơn nhieđn ta có 12+ 12+ 02+ 02 =p.
Trước hêt chúng ta chứng tỏ raỉng nêu p là sô nguyeđn tô lẹ thì có các sô nguyeđn x, y, với 0 ≤ x, y < p/2 sao cho x2+y2 + 1 = p. Vì đoăng dư
x2 ≡y2 (mod p) kéo theo x≡ ±y (mod p) neđn các sô
02,12,· · · ,(p−1 2 )
2
là đođi moơt khođng đoăng dư modulo p. Cũng vaơy, các sô
−1−02,−1−12,· · · ,−1−(p−1 2 )
2
đođi moơt khođng đoăng dư modulo p.Vì
{02,12,· · · ,(p−1 2 )
2,−1−02,−1−12,· · · ,−1−(p−1 2 )
2}
có cạ thạy p+ 1 sô neđn có0≤x, y < p/2sao cho x2+y2+ 1 =p.Gĩi mlà sô nguyeđn dương nhỏ nhât sao cho phương trình x2+y2+z2+w2 =mp có nghieơm nguyeđn x, y, z, w. Hieơn nhieđn là m < p, vì p=x2+y2+ 12+ 02 ≤
2((p−1)/2)2+ 1< p2.Chúng ta sẽ chứng tỏ raỉngm = 1;hay cũng vaơy, nêu
m >1 thì sẽ dăn đên đieău vođ lý. Giạ sử m >1.
Nêu m chẵn. Thê thì tât cạ các sô x, y, z, w đeău là sô chẵn hoaịc đeău là sô lẹ, hoaịc hai trong chúng là sô chẵn và hai sô còn lái là sô lẹ. Như vaơy, khođng mât tính toơng quát, ta có theơ giạ sử raỉng x ≡ y (mod 2) và z ≡ w
(mod 2). Khi đó các sô (x−y)/2, (x+y)/2, (z−w)/2, (z+w)/2 đeău là sô nguyeđn và x−y 2 2 +x+y 2 2 +z−w 2 2 +z+w 2 2 = (m/2)p,
đieău này vođ lý với giạ thiêt veă tính nhỏ nhât cụa m.
Bađy giờ giạ sử m là sô lẹ. Gĩi a, b, c, d là các sô nguyeđn sao cho
a≡x (mod m), b≡y (mod m), c≡z (mod m), d≡w (modm)
và −m/2< a < m/2, −m/2< b < m/2, −m/2< c < m/2, −m/2< d < m/2. Ta có a2+b2+c2+d2 ≡x2+y2 +z2+w2 (modm). Do đó a2+b2+c2+d2 =km,
với k là sô nguyeđn nào đó. Nhưng
0≤a2+b2+c2+d2 <4(m/2)2 =m2
neđn 0 ≤k < m. Nêu k = 0 ta có a =b = c=d= 0 cũng như x ≡y ≡z ≡
w≡0 (mod m). Đieău này kéo theo m2 |mp, hay m|p; và đieău này khođng xạy ra vì 1< m < p. Thê thì k > 0.Ta có (x2+y2+z2+w2)(a2+b2+c2+d2) =mp·km =m2kp. Theo định lý 8.4 ta có m2kp= (ax+by+cz+dw)2 + (bx−ay+dz −cw)2+ +(cx−dy−az +bw)2+ (dx+cy−bz−aw)2. Từ
a≡x (mod m), b≡y (mod m), c≡z (mod m), d≡w (modm)
ta có
ax+by+cz+dw≡x2+y2+z2+w2 ≡0 (mod m) bx−ay+dz−cw≡yx−xy−xz+yw≡0 (modm) cx−dy−az +bw ≡zx−wy−xz+yw≡0 (mod m) dx+cy−bz−aw≡wx+zy−yz−xw≡0 (modm).