HTKT 4: Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
2. Tìm hiểu một số định lí cơ bản
2.1. Hình thành phương pháp Thông thường ta qua 3 bước:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chuùng
+ Nắm được các định lí cơ bản về hàm số liên tục
ẹũnh lớ 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lí 2: Giả sử y = f(x)
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bước 3: Tình giới hạn tại điểm của hàm số.
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số :
HD:
Xét tính liên tục trên Rcủa hàm số.
•
2
2 2 2
lim ( ) lim 2 lim ( 1) 3 2
x x x
x x
g x x
x
+ + +
→ → →
= − − = + =
−
• 2 2 2
lim ( ) lim (5 ) 3 lim ( )
x −g x x − x x +g x
→ = → − = = →
Vậy hàm số g(x) liên tục tại x = 2 . Từ đó suy ra hàm số liên tục trên R.
Vì
2 2
2 x x
x
− −
− liên tục với x > 2 và 5 – x liên tục với x < 2.
+ Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp (Học sinh lên bảng và thực hiện được ví dụ)
2.2. Hình thành phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm trong một khoảng xác định của hàm số Thông thường ta qua 3 bước:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn.
Bước 2 : Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút và so sánh tích của chúng với 0.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình: x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm HD:
. f(x) là hàm đa thức nên liên tục treân R.
. f(0) = –5, f(2) = 7
và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại x0.
a) y = f(x) ± g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
b) y =
( ) ( ) f x
g x liên tục tại x0
neáu g(x0) ≠ 0.
+ Kết quả . Học sinh lên bảng và thực hiện được ví dụ 4.
+ Giáo viên nhận xét bài giải của học sinh, từ đó chốt lại công thức nghiệm.
+ Giáo viên nhận xét bài giải của các nhóm, chỉnh sửa, yêu cầu các nhóm hoàn thiện bài giải.
+ẹũnh lớ 3: Neỏu y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]
và f(a).f(b) < 0 thì ∃c ∈ (a;
b): f(c) = 0.
Hay là, nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b)
< 0 thỡ phửụng trỡnh f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).
+ Học sinh biết cách chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình trong một khoảng cho trước.
HOẠT Đ ỘN G L UYỆ N T C ẬP
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
⇒ pt f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0
∈ (0; 2).
+ Phương thức tổ chức hoạt động: Tập thể - Tại lớp
2.3 Ví dụ mở rộng:
Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 = 0 luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m.
HD : f(x) = (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 là một đa thức nên liên tục trên R và do đó liên tục trên [- 1;0].
Hơn nữa f(0) = 1 > 0,f(-1) = -3m2 + 5 – 7 + 1 = -(3m2 + 1) < 0, ∀m ∈ R
Do đó tồn tại số c ∈ (-1; 0) sao cho f(c) = 0.
Vậy phương trình luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m .
+ Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp.
+ Học sinh thực hiện chứng minh các bài toán chứa tham số m.
+ Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong Sách giáo khoa Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của
học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài 2-SGK. a/ Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại 0
2 x =
, bieát:
b/ Cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại 0
2 x =
+ Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp (học sinh lên bảng trình bày lời giải bài toán)
Với x≠2 thì
3 8
( ) 2
g x x x
= −
−
2 2 4
x x
= + +
2
2 2
lim ( ) lim( 2 4)
x g x x x x
→ = → + +
12 g(2) 5
= ≠ =
Vậy hàm số không liên tục tại 0
2 x =
. Vì
lim ( ) 122 (2)
x g x g
→ = ≠
Cần thay số 5 bởi số 12 + Giáo viên nhận xét lời giải, sửa
HOẠT ĐỘ NG VẬ N DỤ NG , T ÌM TÒ I M Ở R ỘN D,E G
NHẬ N BI ẾT – T HÔN G HI 1 ỂU
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
chữa và củng cố kiến thức.
- Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những bài toán thực tế ứng dụng phương trình,…
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động
học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động Bài toán. Một hình vuông có
cạnh bằng 100cm, người ta nối với nhau các trung điểm của 4 cạnh và lại được một hình vuông mới, lại làm như vậy đối với hình vuông mới và cứ tiếp tục làm như thế mãi. Tính tổng diên tích của n hình vuông đầu tiên?
A.
2
99
2.100 1 1 2
−
÷
B.
2
98
2.100 1 1 2
−
÷
C.
2
100
2.100 1 1 2
−
÷
D.
2
97
2.100 1 1 2
−
÷
Phương thức: Theo nhóm – Tại nhà
Kết quả:
Giả sử hình vuông cạnh a, và n
T
là diên tích hình vuông thứ n.
2
1 2 1 3 2 2 1 1 1
1 1 1 1
, , ,....,
2 2 2 n 2n
T =a T = T T = T = T T = − T
Tổng diên tích cách hình vuông:
1 2 3
1 2
1 1
S ...
1 21 2 1 1
1 2
1 2
n n
n
n
T T T T
T − a −
= + + + +
−
÷
= − ÷÷= − ÷