Trong phần này chúng tôi hình bày một số các bất đẳng thức dạng chuẩn đối với tích chập suy rộng (2.1) trên một số các không gian hàm khác nhau. Chẳng hạn L i (M-
I-), Đặc biệt trong phần này chúng tôi nhận được
định lý dạng Young’s đối với tích chập suy rộng (2.1).
Định lý sau đây cho ta đánh giá bất đẳng thức chuẩn của tích chập suy rộng (2.1) hên không gian L i (M+) và còn nhận được đẳng thức Parseval.
Định lý 2.2. ( [ 6 ] ) C h o h £ Lp 1,/3(M-ị-) v à g £ Zq(M+), 0 < ạ ^ 1. K h i đ ó tích chập suy rộng (2.1) tồn tại với hầu hết X > 0, thuộc Li(M+) VÀ đánh giá sau là đúng
(2.13) Do
(2.12
Hơn thế, đẳng thức nhân tử hóa (2.2) là đúng. Hơn nữa, nếu 0 < /3 <■ 1 thì tích chập (2.1) thuộc CQ(R-H) và đẳng thức Parseval xảy ra với mọi X > 0
—h [ u )f { y ) K ị y i u) cosí x y ) cos[ v y ) d u v y u
'2 /í 1L/iJ(y)(.irc/)(.y)cos(a:y)cỉy. (2.14)
(h*/) (z) - X
1 y sinh Chứng minh
Sử dụng công thức (1.11) ta được 1
2
^-ucosh^) + e-ôcosh(x-,)^ dv _ K^uị (2.15)
Khi đó X X
2 Ị r]/ằM 1/1
¿1 Í.M-I-) 7T J J Ít 7T 1 ^
1 )
0 0
Bây giờ ta chứng minh đẳng thức Parseval. Sử dụng định lý Fubini và công thức X
cos { b y ) K i y { u ) d y - v™hs, ta có:
X 1
u —u cosh{x-ị-v) 1 — h [ u ) Ị { y ) d u 1 r
l~
0 0X' X' x>
0 0 0 X 30 X
^ — h { u ) f [ y ) K i y { u ) (cos(a; +- v ) y + cos{x — v ) y ) dudvdy lĩ u
4 f3 0 0 0
X l
lĩ J y sinh lĩy X
1
2
V
0
Từ đó ta nhận được đẳng thức Parseval (2.14), và định lý đã được chứng minh.
Trên không gian Lp’7(M+) chúng ta cũng có đánh giá bất đẳng thức chuẩn cho tích chập suy rộng (2.1).
Định lý 2.3. ( [ 6 ] ) C h o 1 < p < X) l à m ộ t s ố thực và q là số mũ liên hợp của nó, nghĩa là - + - — 1. Khi đó với h E Z/pP,/3(K-|-) và f E L q { M . + ) , tích chập suy rộng ịh * / j (2.1) cũng được xác định như một hàm liên tục bị chặn trên
Hơn nữa, thuộc Lp’7(M+), với 1 ^ r < X), 0 < 7 ^ 1 cho trước thì
â đ ă y C a : 1 ^ { Ị ^ ĩ ) Y Chứng minh
Sử dụng biểu diễn tích phân (2.15) cho hàm K Q { U ) , bất đẳng thức Holder, và hiển nhiên eucoah(.z-Hh eucosh[x-v) ^ 2e~u với tất cả u, X, V dương, ta có
,0 0
— x'
- Ị —r^r ---K ~ l [ h \ { y ) ự c f ) { y ) c o s { x y ) d y .
7Ĩ J y sinh 7T y
[ h ĩ
L (2.16
30 30 1 r f 7
7
h { D u cosh(x+i;) _|_ gií dudv
0 0 u / x>
30 h [ gií cosh(a;-|-ii) _|_ gií dud Vo 0
x> 30 u
X liằl giớ coshớx-Hi) _|_ giớ dud
7 u
J K ữ { u ) d u \ (2.17)
Do đó, tích chập suy rộng được xác định rõ ràng là một toán tử bị chặn và đánh giá (2.17) đúng. Hơn nữa, ta có
Suy ra (2.16). Định lý đã được chứng minh.
Định lý Young’s đã được phát biểu cho tích chập Fourier, chúng tôi xin nhắc lại như sau:
Định lý Young’s ([9]). Cho p , q , r là các số thực trong (1; x>) sao cho - - -h - — 2 và cho h (x) t Lp (K), / [ x ) b L q (K) , k { x ) t Lr (M). Khi đó ta có
trong đó ị h * f j là tích chập Fourier, F là phép biến đổi tích phân Fourier được xác định ở (1.2), (1.14), (1.15). Bây giờ chúng ta phát biểu định lý dạng Young’s cho tích chập suy rộng (2.1). Tuy nhiên các không gian hàm được sử dụng ở đây hoàn toàn khác, cũng như hệ số của bất đẳng thức nhận được ở đây là phức tạp.
Định lý 2.4 (Định lý dạng Young’s). ( [ 6 ] ) C h o p . q , r ỉ à c á c s ố thực trong (.1; x>) sao cho ị + ^ + ị = 2 và cho f E L~P'P{R+), 0 < /3 ^ 1, g E L q { R + ) , h t Lr(M+). K h i đ ó
0
Chứng minh
Cho Pi, Ợi, Ti là các số mũ liên hợp lần lượt của p, q, r, nghĩa là
1 1 1 1 1 1 - + — — -
1 . p p 1 q Ợi r r 1
-|-x> r y
J { f * g ) p-1
{ x ) h { x ) d x (2.18
2
Khi đó, rõ ràng là — + — -+- — = 1. Đặt F { x , u , v ) - \ g ( v ) \ p i
\ h ( x ) \ ^ G [ x , u ,
V ) —
I /u [ô)
I — | h(z)|
gii cosh(x-N;) _|_ gUcosh(x — v ) pí
gU cosh(x-|-i;) _|_ gUcoshíx — li) ’1
u cosh^x-hi;) 1 Mcosh(x— v ) r
Ta có
/(ô) _ii cosh[x-h;) _ị_ lớcosh^x— v )
l
Mặt khác, trong không gian L P l (R-ị-) ta có
\ m . ớằ.> -
P1 0 0 0
JJ 'JỢ
(2.19)
|<?(t;)|9|/i(x)r +e-ôcoSh[x-i,)lư^ưa;
J \ g { v ) \ q \ h { x ) \ r "e Ududvdx 0 0 0
= 2 -) l,llLr'M^) ■ Hơn nữa: /ToOư) ^ K0(/3u) với 0 < /3 ^ 1
x> x> x>
r r r i/C'“)
(2.20)
IGT l
0 0 0
W*)I' —u coshỊar-h;) 1 — u cosh'x
— v ) dudvdx
x> x>
^ 2 l
0 0 0
’ r,/w |PJT0(/3IÍ) |/I(X) |
(2.21) và tương tự
1-^ liri'Mị) - 0 0 u
J { — u cosh^x-hu) 1 — u cosh(x
— v ) dudvdx
0 0 0
-1/1^,1911.1ô ,)■ <2-22>
TO (2.20), (2.21) và (2.22) ta có
l-^ liP1'Mị) 1^ 1-^ liri(.Mị) ^2 p I/Iv’OK-t-) \ 9 IL,(RO \ h lir(.M^)-
(2.23) 0 0 0
30 x> 30
F(ổ, u , v ) G { x , u , v ) H { x , u , v ) d u d v d x 0 0 0
Hệ quả 2.1 (Bất đẳng thức Young’s). ( [ 6 ] ) C h o 1 < p < 30,
l < ỗ < . 3 Q , l < r < x > s a o c h o - - h - — 1 T - và c h o f t L ~ p ’ P { R f - ) , 0 < ò ^ 1, g e Lp (M-I-). K h i đ ú t ớ c h c h ậ p s u y r ộ n g (2.1) c ũ n g đ ư ợ c x á c đ ị n h t ro n g L r { J ầ - ị - ) , h ơ n n ữ a , b ấ t đ ẳ n g t h ứ c s a u l à đ ú n g
J { u
u \PK0 [ ò u ) \ g [ y ) I
Từ (2.2) và (2.23), bởi bất đẳng thức Hodler cho ba hàm ta có
[ f * g ) { x ) h { x ) d x
f { u ) x> X
< 7
3— u cosh(x-hu) I —
ôcosh[x — v ) d u d v d
7
^ _5! I-^7J.2 1\ L IL „ .P 1[ R ị ) [Ki) \ G IL^Í.KO ị ILn. [Ki) 1 1 \ Lr i[ R ị ) P ~1
2
^ ^2 ỉi“p''3 CM^> lỡ I I
2 1/ IL-^'OM^) |¿,;.M + ) l'MLr(M)^- Định lý đã được chứng minh.
Bất đẳng thức Young’s được suy ra từ định lý trên.
< 7Ị-21^1
LP^ { R±) H O (2.24
2.3 Định lý kiểu Watson
Một trong những kết quả chính của chương này đó là nghiên cứu định lý dạng Watson đối với tích chập suy rộng (2.1) bằng cách cho toán tử D ' tác động vào tích chập suy rộng (2.1). Ở đây hàm h được cố định, còn hàm / biến thiên trên không gian hàm xác định. Tuy nhiên toán tử D ' được xác định ở đây hoàn toàn khác với toán tử D trong [5]. Bởi vì tích chập (2.1) có sự tham gia của phép biến đổi tích phân K~x, mà nhân của phép biến đổi này chứa hàm đặc biệt Macdonald công thức (1.6).
Còn đối với tích chập được xây dựng trong [5] là tích chập Fc mà nhân của phép biến đổi này là hàm c o s (x y) công thức (1.4).
Định lý dạng Watson nhận được sau đây cho ta thấy tính Unita của phép biến đổi D J J trong L2 (K-H) ngoài ra còn nhận được công thức biến đổi ngược dạng đối xứng của phép biến đổi này trong không gian L2 (K-h).
Chúng ta nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập (2.1)
như sau
DJJ : L 2 { R + ) - > L 2 { R + )
(2.25) trong đó:
Định lý 2.5. (Dạng Watson) ( X . [ 6 J ) C h o h t L 2 2,/3(M-|-), 0 < /3 ^ 1. K h i đ ó điều kiện
cosh(7ĩr (2.27
l à c ầ n v à đ ủ đ ể phép biến đổi (2.25) là unita trong L2{R-ị-). Hơn nữa, còn cho ta công thức của phép biến đổi ngược dạng đối xứng trong L2 (K-I-) như sau
^ h [ u ) f [ y ) d u d v (2.28)
trong đó: h là liên hợp phức của h.
Trước khi chứng minh Định lý này, chúng tôi hình bày một bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. ị [ 6 ] ) C h o h t L~2'ạ{R+), 0 < ạ ^ 1 và f t L 2 { R + ) . K h i đ ó tích chập suy rộng (2.1) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2). Hơn nữa, còn nhận được đẳng thức Parseval
x>
K [ h \ { y ) { F c f ) { y ) c o s x y d y , (2.29)
0 Chứng minh Định lý (2.5)
Điều kiện đủ. Giả sử hàm h thỏa mãn điều kiện (2.27). Áp dụng Bổ đề 2.1, dễ dàng chỉ ra rằng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.26) có thể viết được dưới dạng
9[x)
-n (* - í
fc-l 0
(2.30) hoặc tương đương, g ( x ) — lim gN( x ) , ò ă ó
N-r 3Ọ
= ảlj i1 -w'
Biếtrằng h { y ) , y h { y ) , y 2 h { y) e L2{ R ^ - ) n ế u \ầLchỉ nếu [ F h ) { x ) , [ d { F h ) [ x ) / d x ) , [ d 2 { F h ) { x ) / d x 2 ) e L 2 { R + ) . D o ă ó h { y ) , y h { y ) , y 2 h { y ) , . . . , y n h { y ) e L 2 { R + )
4 d 2 \ k 2 d x 2
X' -[ e
u — u cosh[x-|- 0 0
— u coshíx
[ h ĩ f ) { x ) - J ị 1 y sinh
nếu và chỉ nếu [ F h ) { x ) , [ d { F h ) { x ) / d x ) , { d 2 { F h ) [ x ) / d x 2 ) , . . . , [ d n { F h ) { x ) / d x n ) £ L 2 { R + ) . Hơn nữa, với mỗi số nguyên dương n ta có
f^ựh)íx)
■ -(-l)“F(ằ!”h(.9))(x).
Do đó, nếu y2 11 (1 -I- t f ) h { y )N £ L2(M-H) thì công thức sau là đúng
(2.31) Từ điều kiện (2.27) và dạng tích vô hạn của sinhz ta có
y2 U i1 + ỉ) —
Điều này chỉ ra rằng gN thuộc L2(M+). Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine cho cả hai vế của quan hệ trên, ta có
i F c 9 N ) { y ) - y2 n (x ỉ)
Ngoài ra, từ đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier cosine
\ F c f \L Á R ± } - l/L2']M>suyra:
dx2 4 d 2 \
k 2 d x [ F c h ) { x ) - y
N , U1+
k-1 v k 2 ) y
K-1 L*J
(ỉ/) ộ, (i + £) <
k - và do đó nó bị chặn. Vì thế
N / X 2\
y fi(1+ 1
k-1
và công thức (2.31)
4r
____________
k 2 ) y sinh. K-\h\{y)ựJ){y) t L2(RX SJÍ(Z) -
I FcgN — Fcg |L2;M+) — I 9 N — ¡O 0, N x
Do đó, ta kết luận
ự c g ) ( y ) = y2( i + f?) — ^ K " M y ) i F J ) { y ) - y sinh 27T y-—Ar ---K ~ \ h \ { y ) ự c ỉ ) { y )
2y sinh 7T y - coshT T y K ~ l [ h \ { y ) { F c f ) { y ) .
Từ điều kiện (2.27), dễ dàng chỉ ra rằng \ { Fcg ) { y ) \ — \ { Fcf ) { y ) \ , khi đó \ Ỉ \ L ' R ) ~ lớ IL M ) ’ điều đó CÓ nghĩa là phép biến đổi (2.26) là unita. Lại từ điều kiện (2.27) ta được:
cosh7x y K ~ l [ h \ { y ) { F c g ) { y ) - ự c Ị ) { y ) .
Như vậy, trong cùng cách tương tự như trên nó tương ứng với (2.28) và suy ra công thức nghịch đảo của phép biến đổi (2.26).
Điều kiện cần. Giả sử phép biến đổi (2.26) là unita trên L2{K-h) và công thức biến đổi ngược dạng đối xứng được xác định bởi (2.28). Khi đó, sử dụng đồng nhất thức Parseval (2.29), đồng nhất thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier cosine ta được
\9\L2{ KD - I cosh iryK ^ [ ỷ i \ i y } { . F c f ) i j j ) |£2[R_ị_) - \ F c f \ L a { ĩ l + . ) - \ f \ L 2 [ R + ) .
Đẳng thức giữa đũng với mọi / t L2 ( R I ) nếu và chỉ nếu h thỏa mãn điều kiện (2.27). Định lý đã được chứng minh.
Kết luận chương 2
Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân [ Fc, K ~l) . Chỉ ra sự tồn tại của chúng trên các không gian hàm, nhận được đẳng thức nhân tử hóa và các bất đẳng thức dạng chuẩn đối với tích chập này (Định lý 2.1, Định lý 2.4).
Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân [ Fc, K ~l) trên không gian L2 (K-h). Từ đó nhận được tính unita và công thức phép biến đổi ngược dạng đối xứng của chúng (Định lý 2.5).
Chương 3
ứng dụng
Ngày nay các kết quả về lý thuyết cũng như ứng dụng đối với phương trình vi phân và phương trình tích phân được phát triển khá mạnh mẽ và gần như "trọn vẹn". Trong khi đó lý thuyết và các công cụ để nghiên cứu cho phương trình vi-tích phân còn "khiêm tốn". Trong chương này chúng tôi sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1) đã trình bày ở chương II để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương trình ở đây có dạng phương trình vi-tích phân. Kết quả chính nhận được của chương này là Định lý (3.1).
Tài liệu chính dùng để nghiên cứu chương này là ([6]).
Một lớp bài toán dạng Cauchy
Mục đích chính của phần này là chúng tôi xây dựng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương trình có dạng vi-tích phân.
Sau đó sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đã được trình bày ở chương II để giải bài toán này. cần phải nhấn mạnh thêm rằng toán tử D dùng cho chương này có bậc là hữu hạn. Cụ thể xét phép biến đổi như sau
D : LỊ(R+) -> Li (R+)
ỉ ^ K h { f ) -
Ta xét bài toán dạng Cauchy sau
f { x ) + [ K h Ị ) { x ) = g { x ) ,
< (3.3)
lim f ^ { x ) — 0, k — 0, 2 n — 1.
Ở đây, h , g là các hàm cho trước trong Li(M-ị-), và / là ẩn hàm phải tìm. [ KhỊ ) được xác định ở công thức (3.2).
Ta cần lưu ý: Cho h t LI(M-H) sao cho: h(0) — 0, lim h ' [ x ) — 0, các phép X — r X )
biến đổi Fourier sine và Fourier cosine của h , h ' tồn tại. Hơn nữa, ( F s h ' ) ( y ) —1— h ! [ x ) s i ĩ ì x y d x
\2ĩĩ Jo - - y { F c h ) { y ) ,
{ F c t í ) { y ) = — = h \ x ) c o s x y d x = y { F s h ) { y ) . (3.5) V27Ĩ Jo
Định lý sau đây sẽ cho ta nghiệm đũng của bài toán Cauchy (3.3) trong không gian L i (M-I-). Biểu thức nghiệm nhận được được viết dưới dạng một biểu thức giải tích thông qua tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fc.
1 2 7 d 11
k-1 d +
-1
I e 0 u
Trong —u (3.1
H- e - U C 0 s h [ x - v ) \ h { u ) f { v ) d u d v .
1 , , , ự— ị
h [ x ) sin x y x
y h { x ) cos (3.4
Định lý 3.1. ( [ 6 ] ) G i ả s ử
J2n=-1)!_ ( 7---1— V y >0 . (3.6) V2ir.22n~1 V cosh2nr/2/ 'y ’ y
K h i đ ó b à i toán (3.3) có dwy n/ĩấí nghiệm trong Lị (K-I-) và nghiệm có dạng f { x ) = g ( x ) + { g * l ) ( x ) , (3.7)
Fc
trong đó l t Lị (K-I-) và được xác định bỏi:
,„ ,U.A ((2 n -l)!/v/2Ĩr.22“-1)í’í(h ỉ coslr2“ T/2)(V) 1 — ((2n — l)!/v/27T.22n-1)-Fc(^ ĩ cosh n r/2)(y) được xác định (1.17), được xác định (2.1).
Chứng minh
Từ phương hình của bài toán dạng Cauchy
/ (x) H- { Khf ) (x) - g [ x ) Ta viết về dạng
]h { u ) f { y ) d u d v — g [ x ) (3.8) Sử dụng công thức (2.1), (3.1)
( h l f ) { x ) = — I I ỉ[_e-ôco8h(x-Hi;)+e-ôco8h(x-i;) F Jo Jo u ™ o - ( Ề ) u ( - ; è + f c 2 )
v ỵ fc-i v '
Khi đó phương trình vi-tích phân của bài toán dạng Cauchy được viết dưới dạng phương trình tích chập sau
/w + ¿ị ị {~i + fc2) {(/17' /)WI=
k — 1 x /
f { x ) 1 đ 7ĩ2
2 n-1
k -n dổ
T
0^0^ -Le —u cosh(x-
—U cosh[x
^ \ h { u ) f { y ) d u d v, X
(3.9
Tác động phép biến đổi tích phân Fourier cosine vào cả hai vế của phương trình (3.9), từ đó sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.2) và các điều kiện của bài toán (3.3) cộng với các công thức (3.4), (3.5). Cho ta phương trình (3.9) được viết lại như sau
[ F c f ) { y ) - y 2 \ [ { . y 2 + k2).— ---K 1 { h \ l y ) ự c f ) { y ) = ự c g ) { y ) .
(3.10) Sử dụng công thức
ta có
ự c f ) l y ) -
^ { { 2 n — 1)!/A/2TT. 2 2 n ~ 1 ) F c ( h ĩ cosh_2n r / 2 ) { y )
\ 1 — l { 2 n — 1)!/V/27Ĩ.22 n ~ l ) F c [ h ĩ cosh_2n r / 2 ) { y )
(3.11)
1 l y )
V 27T.2 y
cosh2" r/2/ (2n - 1)! sinh7n/ riR + *2>, ự c / K y ) - ^ (
1 A
\ Ỉ 2 V
hoặc tương đương,
1
cosh2" r/2 [ y ) K l h \ { y ) [ F c f ) { y ) - ự c g )
1 - RỊ R
V/27ĩ.22n 1 V Từ điều kiện (3.6) ta có
1
cosh2" r/2 l y = [ F c g )
j ự ' 9 ) ( y ) .
Nhắc lại định lý Wiener-Levy rằng nếu / là phép biến đổi Fourier của một hàm trong L \ (M-I-), và </? là giải tích trong một lân cận của điểm gốc chứa trong miền { f l y ) , ' i y e R \ và — 0, thì </?(/) cũng là phép biến đổi Fourier của một hàm trong L i ( R _ ) . Cho phép biến đổi Fourier cosine nghĩa là / là phép biến đổi Fourier cosine của một hàm trong L] ' R I ) , và L p là giải tích trongmột lân cận của điểm gốc chứa trong miền [ f l y ) , Vy - và <¿>(0) — 0, thì t p l f ) cũng là phép biến đổi Fourier của một hàm trong L i ( R I ) .
Theo điều kiện (3.6) cho trước hàm t p { z ) — thỏa mãn điều kiện của định lý Wiener-Levy, và do đó, tồn tại duy nhất hàm 11 L1 (R-I-) sao cho:
ựM y ) -((2n-l)!/V^)fi(^cosh-:/2)(y) ¥# > 0
1 — ( ( 2 n — l)!/\/27ĩ.22n 1) Fc{ h * cosh 2 n r / 2 ) l y ) Do đó phương trình (3.11) trở thành
ự c f ) l y ) - (1 + ự c l ) ) l y ) ự c g ) l y ) , Vy > 0 Suy ra
ự c f ) l y ) = ựcg ) l y ) + ựcl) l y ) . ự c g ) l y ) , M y > 0 Sử dụng công thức (1.18) cho ta
l F c f ) l y ) - l Fcg ) l y ) H- Fc í l * g J l y ) , Vy > 0 Từ đó cho ta
l F c f ) l y ) - F c ị ^ g + l * g j l y ) , Vy > 0 Suy ra: f [ y ) = g l y ) + ( ^ l *
g ^ j l y ) , Vy > 0
Theo giả thiết: g t L i l R+) và ị l * g ^ j t L i l R+) (X.[VD 2]) Do đó nghiệm của bài toán Cauchy (3.3) / e i i (R-I-).
Định lý đã được chứng minh.
Kết luận chương 3
Trong chương này, khi phép biến đổi D có bậc hữu hạn cho ta ứng dụng để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy (3.3).
Kết quả chính của chương này là Định lý 3.1.