Xét phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 u(x) = f(x) +λ
Z x 0
K(x, t)u(t)dt. (3.3) Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2. Lấyx ∈ [a, b]. Chia đoạn[a, b]bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ã ã ã < xn = b Áp dụng công thức cầu phương (3.1) ta có
u(x)−λ ( xi
X
k=0
AkK(x, tk)u(tk) +Rn[Ku]
)
= f (x) (3.4) trong đótk = xk, k = 0, n, xk là các nút của của công thức (3.1).
Ta giả thiết rằng giá trị |λRn(Ku)| là nhỏ và có thể không cần tính đến.
Trong phương trình (3.4) thayx = xi ta có u(xi)−λ
( xi X
k=1
AkK(xi, tk)u(tk) )
≈ f(xi), i = 0, n (3.5) Xét hệ phương trình
ui −λ ( i
X
k=1
AkK(xi, tk)u(tk) )
≈ f(xi), i = 0, n. (3.6) Với nghiệmui ≈ u(xi)
Ta có thể viết nghiệm xấp xỉ của phương trình (3.3) dưới dạng bảng số
trong đó u(xi) là giá trị chính xác của nghiệm tạix = xi,ui là giá trị xấp xỉ của nghiệm tạix = xi.
Ta xét một số ví dụ minh họa sau
Ví dụ 3.1.Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 sau u(x) = 1−
Z x 0
u(t)dt, u(0) = 0 (3.7) Lấyx ∈ [0,1], chia đoạn [0,1] làm 10phần bằng nhau bởi mốc chia h = 0,1
x0 = 0; x1 = 0,1; x2 = 0,2; x3 = 0,3; x4 = 0,4; x5 = 0,5;
x6 = 0,6; x7 = 0,7; x8 = 0,8; x9 = 0,9; x10 = 1.
Thayx bởixi. Khi đó phương trình (3.7) có dạng u(xi) = 1−
Z xi
0
u(t)dt (3.8)
+) i = 0
u0 = u(0) = 1 +) i = 1, khi đó (3.8) trở thành
u(x1) = 1− Z x1
0
u(t)dt (3.9)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u1 = 1− Z 0,1
0
u(t)dt
⇔u1 = 1 + 1
20[u0 +u1]
⇔u1 = 1−0,05−0,05u1
⇔u1 = 0,904761
+) i = 2, khi đó (3.8) trở thành
u(x2) = 1− Z x2
0
u(t)dt. (3.10)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u2 = 1− Z 0,2
0
u(t)dt
⇔u2 = 1−0,140476−0,05u2
⇔u2 = 0,818594
+) i = 3, khi đó (3.8) trở thành
u(x3) = 1− Z x3
0
u(t)dt. (3.11)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u3 = 1− Z 0,3
0
u(t)dt
⇔u3 = 1−0,0222335−0,05u3
⇔u3 = 0,740633
+) i = 4, khi đó (3.8) trở thành
u(x4) = 1− Z x4
0
u(t)dt. (3.12)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u4 = 1− Z 0,4
0
u(t)dt
⇔u4 = 1−0,296398−0,05u4
⇔u4 = 0,0,670097 +) i = 5, khi đó (3.8) trở thành
u(x5) = 1− Z x5
0
u(t)dt. (3.13)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u5 = 1− Z 0,5
0
u(t)dt
⇔u5 = 1−0,363408−0,05u3
⇔u5 = 0,606192 +) i = 6, khi đó (3.8) trở thành
u(x6) = 1− Z x6
0
u(t)dt. (3.14)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u6 = 1− Z 0,6
0
u(t)dt
⇔u6 = 1−0,424027−0,05u6
⇔u6 = 0,548546
+) i = 7, khi đó (3.8) trở thành
u(x7) = 1− Z x7
0
u(t)dt. (3.15)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải Ta có
u7 = 1− Z 0,7
0
u(t)dt
⇔u7 = 1−0,478882−0,05u7
⇔u7 = 0,496303 +) i = 8, khi đó (3.8) trở thành
u(x8) = 1− Z x8
0
u(t)dt. (3.16)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u8 = 1− Z 0,8
0
u(t)dt
⇔u8 = 1−0,528512−0,05u8
⇔u8 = 0,449036 +) i = 9, khi đó (3.8) trở thành
u(x9) = 1− Z x9
0
u(t)dt. (3.17)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u9 = 1− Z 0,9
0
u(t)dt
⇔u9 = 1−0,573416−0,05u9
⇔u9 = 0,40627
+) i = 10, khi đó (3.8) trở thành
u(x10) = 1− Z x10
0
u(t)dt. (3.18)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u10 = 1− Z 1
0
u(t)dt
⇔u10 = 1−0,614043−0,05u3
⇔u10 = 0,367578
Theo kết quả của phương pháp giải tích ở ví dụ (2.2.23) của chương2, Phương trình (3.7) có nghiệm chính xác làu(x) = e−x
Khi đó ta có bảng sau đánh giá độ chính xác của nghiệm trong đó u(xi) là
giá trị chính xác của nghiệm tại x = xi, ui là giá trị xấp xỉ của nghiệm tại
x = xi, u(xi) =|u(xi)−ui|.
Ví dụ 3.2.Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 sau u(x) = 1 +
Z x 0
(x−t)u(t)dt, (3.19)
Lấyx ∈ [0,1], chia đoạn [0,1] làm 10phần bằng nhau bởi mốc chia h = 0,1 x0 = 0; x1 = 0,1; x2 = 0,2; x3 = 0,3; x4 = 0,4; x5 = 0,5;
x6 = 0,6; x7 = 0,7; x8 = 0,8; x9 = 0,9; x10 = 1.
Thayx bởixi. Khi đó phương trình (3.19) có dạng u(xi) = 1 +
Z xi
0
(xi −t)u(t)dt (3.20)
+) i = 0
u0 = u(0) = 1 +) i = 1, khi đó (3.20) trở thành
u(x1) = 1 + Z x1
0
(x1 −t)u(t)dt (3.21) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u1 = 1 + Z 0,1
0
(0,1−t)u(t)dt
⇔u1 = 1−0,05
⇔u1 = 0,995
+) i = 2, khi đó (3.20) trở thành u(x2) = 1 +
Z x2
0
(x2 −t)u(t)dt. (3.22)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u2 = 1 + Z 0,2
0
(0,2−t)u(t)dt
⇔u2 = 1−0,019995
⇔u2 = 0,98005
+) i = 3, khi đó (3.20) trở thành u(x3) = 1 +
Z x3 0
(x3 −t)u(t)dt. (3.23) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u3 = 1 + Z 0,3
0
(0,3−t)u(t)dt
⇔u3 = 1−0,00447
⇔u3 = 0,9553
+) i = 4, khi đó (3.20) trở thành u(x4) = 1 +
Z x4 0
(x4 −t)u(t)dt. (3.24) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u4 = 1 + Z 0,4
0
(0,4−t)u(t)dt
⇔u4 = 1−0,079004
⇔u4 = 0,920996
+) i = 5, khi đó (3.20) trở thành u(x5) = 1 +
Z x5 0
(x5 −t)u(t)dt. (3.25) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u5 = 1 + Z 0,5
0
(0,5−t)u(t)dt
⇔u5 = 1−0,122517
⇔u5 = 0,877483 +) i = 6, khi đó (3.20) trở thành
u(x6) = 1 + Z x6
0
(x6 −t)u(t)dt. (3.26) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u6 = 1 + Z 0,6
0
(0,6−t)u(t)dt
⇔u6 = 1−0,174805
⇔u6 = 0,825194 +) i = 7, khi đó (3.20) trở thành
u(x7) = 1 + Z x7
0
(x7 −t)u(t)dt. (3.27) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u7 = 1 + Z 0,7
0
(0,7−t)u(t)dt
⇔u7 = 1−0,235345
⇔u7 = 0,764655
+) i = 8, khi đó (3.20) trở thành u(x8) = 1 +
Z x8 0
(x8 −t)u(t)dt. (3.28) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u8 = 1 + Z 0,8
0
(0,8−t)u(t)dt
⇔u8 = 1−0,303532
⇔u8 = 0,696468 +) i = 9, khi đó (3.20) trở thành
u(x9) = 1 + Z x9
0
(x9 −t)u(t)dt. (3.29) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u9 = 1 + Z 0,9
0
(0,9−t)u(t)dt
⇔u9 = 1−0,378684
⇔u9 = 0,621316 +) i = 10, khi đó (3.20) trở thành
u(x10) = 1 + Z x10
0
(x10 −t)u(t)dt. (3.30) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u10 = 1 + Z 1
0
(1−t)u(t)dt
⇔u10 = 1−0,460048
⇔u10 = 0,539952
Áp dụng phương pháp phân tích Adomian ở chương2, ta có thể tìm ra nghiệm chính xác của phương trình (3.19) làu(x) = cost
Khi đó ta có bảng sau đánh giá độ chính xác của nghiệm trong đó u(xi) là
giá trị chính xác của nghiệm tại x = xi, ui là giá trị xấp xỉ của nghiệm tại x = xi, u(xi) =|u(xi)−ui|.
Ví dụ 3.3. Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 sau u(x) = 3x+ 5
2x2 − 5 3
Z x 0
u(t)dt, (3.31)
Lấyx ∈ [0,1], chia đoạn [0,1] làm 10phần bằng nhau bởi mốc chia h = 0,1 x0 = 0; x1 = 0,1; x2 = 0,2; x3 = 0,3; x4 = 0,4; x5 = 0,5;
x6 = 0,6; x7 = 0,7; x8 = 0,8; x9 = 0,9; x10 = 1.
Thayx bởixi. Khi đó phương trình (3.31) có dạng u(xi) = 3xi + 5
2x2i − 5 3
Z xi 0
u(t)dt, (3.32)
+) i = 0
u0 = u(0) = 0 +) i = 1, khi đó (3.31) trở thành
u(x1) = 3x1 + 5
2x21 − 5 3
Z x1
0
u(t)dt, (3.33)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u1 = 3×0,1 + 5
2 ×(0,1)2 − 5 3
Z 0,1 0
u(t)d
⇔u1 = 0,325− 5 3 × 1
20[u0 +u1]
⇔u1 = 0,325− 5
3(0,05u1)
⇔u1 = 0,3 +) i = 2, khi đó (3.32) trở thành
u(x2) = 3x2 + 5
2x22 − 5 3
Z x2
0
u(t)dt, (3.34)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u2 = 3×0,2 + 5
2 ×(0,2)2 − 5 3
Z 0,2 0
u(t)dt
⇔u2 = 0,7− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 +u2]
⇔u2 = 0,7− 5
3(0,05u2 + 0,03)
⇔u2 = 0,6
+) i = 3, khi đó (3.32) trở thành u(x2) = 3x2 + 5
2x22 − 5 3
Z x2 0
u(t)dt. (3.35)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u(x3) = 3×0,3 + 5
2 ×(0,3)2 − 5 3
Z 0,3 0
u(t)dt
⇔u3 = 1,125− 5
30,05[u0 + 2u1 + 2u2 +u3]
⇔u3 = 1,125− 5
3(0,05u3 + 0,09)
⇔u3 = 0,9.
+) i = 4, khi đó (3.32) trở thành u(x4) = 3x4 + 5
2x42 − 5 3
Z x4
0
u(t)dt (3.36)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u(x4) = 3×0,4 + 5
2 ×(0,4)2 − 5 3
Z 0,4 0
u(t)dt
⇔u4 = 1,6− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 +u4]
⇔u4 = 1,6− 5
3(0,05u3 + 0,18)
⇔u4 = 1,2.
+) i = 5, khi đó (3.32) trở thành u(x5) = 3x5 + 5
2x25 − 5 3
Z x5 0
u(t)dt. (3.37)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u(x5) = 3×0,5 + 5
2 ×(0,5)2 − 5 3
Z 0,5 0
u(t)dt
⇔u5 = 2,125− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 +u5]
⇔u4 = 2,125− 5
3(0,05u5 + 0,3)
⇔u5 = 1,5.
+) i = 6, khi đó (3.32) trở thành u(x6) = 3x6 + 5
2x26 − 5 3
Z x6 0
u(t)dt. (3.38)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u(x6) = 3×0,6 + 5
2 ×(0,6)2 − 5 3
Z 0,6 0
u(t)dt
⇔u6 = 2,7− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + u6]
⇔u6 = 2,7− 5
3(0,05u6 + 0,45)
⇔u6 = 1,8.
+) i = 7, khi đó (3.32) trở thành u(x7) = 3x7 + 5
2x27 − 5 3
Z x7
0
u(t)dt.. (3.39)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u(x7) = 3×0,7 + 5
2 ×(0,7)2 − 5 3
Z 0,7 0
u(t)dt
⇔u7 = 3,325− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 +u7]
⇔u7 = 3,325− 5
3(0,05u7 + 0,63)
⇔u7 = 2,1.
+) i = 8, khi đó (3.32) trở thành u(x8) = 3x8 + 5
2x28 − 5 3
Z x8 0
u(t)dt.. (3.40)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u8 = 3×0,8 + 5
2 ×(0,8)2 − 5 3
Z 0,8 0
u(t)dt
⇔u8 = 4− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + 2u7 +u8]
⇔u8 = 4− 5
3(0,05u8 + 0,84)
⇔u8 = 2,4.
+) i = 9, khi đó (3.32) trở thành u(x9) = 3x9 + 5
2x29 − 5 3
Z x9
0
u(t)dt. (3.41)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
. Ta có
u9 = 3×0,9 + 5
2 ×(0,9)2 − 5 3
Z 0,9 0
u(t)dt
⇔u9 = 4− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5
+ 2u6 + 2u7 + 2u8] +u9]
⇔u9 = 4,725− 5
3(0,05u9 + 1,08)
⇔u8 = 2,7.
+) i = 10, khi đó (3.32) trở thành u(x10) = 3x10+ 5
2x210− 5 3
Z x10 0
u(t)dt. (3.42)
Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân ở vế phải.
Ta có
u10 = 3 + 5 2 − 5
3 Z 1
0
u(t)dt
⇔u10 = 4− 5
3 ×0,05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + 2u7 + 2u8] + 2u9 +u10]
⇔u10 = 5,5− 5
3(0,05u10 + 1,35)
⇔u10 = 3.
Áp dụng phương pháp phân tích Adomian ở chương2, ta có thể tìm ra nghiệm chính xác của phương trình (3.31) làu(x) = 3x.
Khi đó ta có bảng sau đánh giá độ chính xác của nghiệm
trong đó u(xi) là giá trị chính xác của nghiệm tại x = xi, ui là giá trị xấp xỉ của nghiệm tạix = xi, u(xi) = |u(xi)−ui|.
Kết luận
Luận văn trình bày một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra bao gồm phương pháp số và phương pháp giải tích, đồng thời trình bày một số ví dụ giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể. Luận văn gồm 3 chương, trong đó:
Chương 1 trình bày về kiến thức chuẩn bị .
Chương 2 trình bày về phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1, loại 2. Phương pháp giải tích giải đúng và gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.
Chương 3 trình bày về phương pháp số để giải một số phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 cụ thể.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn để luận văn hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.