Thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở hàm điều khiển Lyapunov

Chương 3: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI CHO ĐỘNG CƠ TUYẾN TÍNH KÉP TRONG HỆ CHUYỂN ĐỘNG VỊ TRÍ

3.2. Thiết kế bộ điều khiển thích nghi cho động cơ tuyến tính kép trong hệ truyền động vị trí

3.2.1 Thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở hàm điều khiển Lyapunov

Trước khi đưa ra thuật toán thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở hàm điều khiển Lyapunov, một số khái niệm sẽ được sử dụng trong phần này, đó là: điểm cân bằng của hệ thống; ổn định Lyapunov; hàm Lyapunov; hàm điều khiển Lyapunov.

Điểm cân bằng: điểm cân bằng xe của hệ thống là nghiệm của phương trình:

( , , )u 0 0 d x f x u t

dt   

(3.1)

nghĩa là, điểm cân bằng là điểm mà hệ thống sẽ nằm im tại đó, tức trạng thái của nó

không bị thay đổi ( 0 d x

dt 

) khi không có sự tác động từ bên ngoài (u0).

Điểm cân bằng mà trong luận án sẽ áp dụng chính là các giá trị đặt của bộ điều khiển mà ta sẽ thiết kế. Vì các khái niệm về ổn định Lyapunov được phát biểu cho điểm cân bằng tại gốc toạ độ 0 , nên từ các điểm cân bằng xe 0 của hệ , để chuyển về điểm cân bằng tại gốc toạ độ, ta thực hiện thế biến:

 

e

d x d x x x x

dt dt

   

, khi đó việc xét ổn định của hệ

0 

( , , )u ( , ) d x f x u t f x t

dt   

tại điểm cân bằng xe 0 sẽ được thay bằng việc xét tính ổn định của hệ

  ( e, ) ( , ) d x f x x t h x t

dt   

tại điểm gốc tọa độ x0.

Ổn định Lyapunov: một hệ thống với mô hình không kích thích:

0 

( , , )u ( , ) d x f x u t f x t

dt   

(3.2)

với một điểm cân bằng là gốc tọa độ 0, được gọi là :

Ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng 0 nếu sau một tác động tức thời đánh bật ra khỏi điểm cân bằng 0 và đưa tới một điểm trạng thái x0 nào đó thì hệ có khả năng tự quay về lân cận 0. Biểu diễn khái niệm này dưới dạng toán học thì: "Hệ được gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng 0 nếu với  0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại  phụ thuộc  sao cho nghiệm x(t) của (3.2) với điều kiện đầu x(0)=x0

thỏa mãn: x0   x t( ) , t 0".

Ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng 0 nếu sau một tác động tức thời đánh bật ra khỏi điểm cân bằng 0 và đưa tới một điểm trạng thái x0 nào đó thì hệ có khả năng tự quay về 0. Cũng biểu diễn khái niệm trên dưới dạng toán học thì:

"Hệ được gọi là ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng 0 nếu với  0 bất kỳ bao giờ

0  x0

 x t ( )

cũng tồn tại  phụ thuộc  sao cho nghiệm x(t) của (3.2) với điều kiện đầu x(0)=x0

thỏa mãn: lim ( ) 0t x t  ".

Hình 3.1 minh họa khái niệm ổn định và ổn định tiệm cận tại gốc 0 của hệ phi tuyến. Ở hệ ổn định, nếu cho trước một lân cận  của 0, tức là tập Ω các điểm x trong không gian trạng thái thỏa mãn x t( )  với  là một số thực dương tùy ý nhưng cho trước, thì phải tồn tại một lân cận  cũng của 0 sao cho mọi đường quỹ đạo trạng thái tại thời điểm t=0 đi qua một điểm x0 thuộc lân cận  thì kể từ thời điểm đó sẽ nằm hoàn toàn trong lân cận . Vì x0=x(0) nên để có được x(0) , lân cận  phải nằm trong lân cận . Mở rộng hơn, nếu quá trình tự do x(t) không những về được lân cận gốc 0 mà tiến tiệm cận về 0, thì đó người ta nói hệ là ổn định tiệm cận tại 0.

Từ các định nghĩa ở trên, để chỉ ra một dạng ổn định nào đó, ta phải xác định được x(t) là lời giải của (3.2). Song hiện chưa có một phương pháp tổng quát nào để cho ta tìm được nghiệm x(t) hệ phương trình vi phân phi tuyến (3.2).

A.M.Lyapunov, nhà toán học và kỹ sư người Nga, đã đưa ra một phương pháp kiểm tra được tính ổn định (ổn định tiệm cận) của hệ (3.2) mà không cần phải tìm nghiệm x(t) của nó. Phương pháp này sử dụng một hàm vô hướng V(x) xác định dương, nghĩa là V(0)=0 ; V( ) 0,x  x0. Nếu chỉ ra được V(x) là một hàm giảm liên tục, thì hệ thống tự nó phải chuyển tới trạng thái (điểm) cân bằng.

Hình 3.3 Minh họa khái niệm ổn định Lyapunov

Điều kiện cho hệ ổn định:

Theo [3], hệ phi tuyến cân bằng tại gốc tọa độ và khi không bị kích thích, được mô tả bởi mô hình:

( , ) d x f x t

dt 

(3.3) sẽ ổn định Lyapunov tại 0 với miền ổn định Ω nếu:

Trong Ω tồn tại một hàm xác định dương V(x,t)

Đạo hàm của nó tính theo mô hình (3.3) có giá trị không dương trong Ω, tức

là:

V V V

( , ) 0

d f x t

dt t x

 

  

  với mọi x 

sẽ ổn định tiệm cận Lyapunov tại 0 với miền ổn định Ω nếu:

Trong Ω tồn tại một hàm xác định dương V(x,t).

Đạo hàm của nó tính theo mô hình (3.3) có giá trị âm trong Ω với x0, tức

là:

V V V

( , ) 0

d f x t

dt t x

 

  

  với mọi x  và x0

Hàm Lyapunov:

Một hàm V(x) trơn, xác định dương có

( ) ( ) ( ) 0, 0

f

L V x V x f x x x

   





được gọi là hàm Lyapunov của hệ (3.2). Hiển nhiên rằng cần và đủ để hệ (3.2) ổn định tiệm cận tại 0 là nó có hàm Lyapunov (LF).

Ổn định tiệm cận toàn cục: với hệ ổn định ổn định tiệm cận, lân cận gốc Ω chứa tất cả (hoặc phần lớn) các điểm trạng thái đầu x0 mà từ đó hệ tự quay về được gốc, được gọi là miền ổn định. Nếu một hệ phi tuyến ổn định tiệm cận tại gốc 0 với miền ổn định Ω là toàn bộ không gian trạng thái thì nó được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục (GAS).

Thuật toán thiết kế bộ điều khiển trên cơ sở hàm điều khiển Lyapunov Bây giờ chúng ta thêm vào đầu vào điều khiển và xét hệ thống:

( , ) x f x u

(3.4)

Nhiệm vụ của bài toán điều khiển được đặt ra trong luận văn này là thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái u( )x để cho trạng thái mong muốn của hệ kín

( , ( )) x f x x

là một điểm cân bằng ổn định tiệm cận toàn cục (ổn định tuyệt đối).

Từ các phân tích về ổn định Lyapunov ở trên, để đạt được mục đích đặt ra ở trên, ta cần thực hiên các bước sau:

Tìm một hàm V(x) xác định dương, khả vi.

Xác định hàm u( )x để có:

0 0

V( ) V

V ( , ( ))

0 0

f

khi x d x

L f x x

khi x

dt x   

  

 

 

trong một miền Ω nào đó chứa gốc tọa độ. Miền Ω càng lớn, chất lượng bộ điều khiển càng cao. Nếu miền Ω là toàn bộ không gian trạng thái, người ta nói, bộ điều khiển đã ổn định được đối tượng một cách toàn cục.

Một hàm xác định dương, khả vi V(x) thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm điều khiển Lyapunov (CLF). Như vậy bất cứ một hàm xác định dương, trơn nào cũng có thể là hàm CLF của hệ (3.4) nếu như tồn tại ít nhất một quan hệ u( )x sao cho:

inf fV inf V( ) ( , ) 0 0

u u

L x f x u khi x

x

 

   

  

Như vậy, hàm điều khiển Lyapunov là một khái niệm mở rộng của hàm Lyapunov. Hàm Lyapunov chỉ được định nghĩa cho hệ không bị kích thích và ổn định, còn khái niệm hàm điều khiển Lyapunov được định nghĩa cho cả hệ bị kích thích và không ổn định.

Từ hàm điều khiển Lyapunov, ta dễ dàng xác định được bộ điều khiển ổn định đối tượng theo hai bước của thuật toán đã nêu. Vấn đề còn lại là làm thế nào để có được một hàm điều khiển Lyapunov. Đây là một bài toán nan giải, cản trở sự ứng dụng của phương phỏp thiết kế Lyapunov. Một trong những phơng pháp tìm hàm điều khiển Lyapunov đợc áp dụng cho một lớp đối tợng dạng cascade (dạng đối tợng có nhiều mô hình con hợp thành) gọi là phơng pháp cuốn chiếu (backstepping). Hàm điều khiển



u

cos(.)



- (.)3

x

cos(x) x3

x

+ +

+

Lyapunov sẽ đợc xây dựng xuất phát từ các mô hình con bên trong theo kiểu cuèn chiÕu.