Hiệu năng của giao thức LCMR sẽ được phân tích về mặt lý thuyết dựa trên giả định rằng tất cả các đường cùng cặp nút nguồn – đích được sử dụng để định tuyến dữ liệu là các đường độc lập theo nút. Trong thực tế, các đường này có thể không phải luôn luôn là các đường độc lập theo nút hoặc độc lập theo liên kết. Trong những trường hợp này, thời gian định tuyến có thể sẽ lớn hơn giá trị tương ứng được ước lượng theo lý thuyết. Những tình huống này sẽ được xét đến qua phần mô phỏng, được trình bày ở phần sau.
Thuật toán 3: Thuật toán tại nút đích Input: RREQ, gói dữ liệu
Output: RREP, ACK, NACK 1 if DA = ID nút hiện tại then
/* Khởi tạo đường */
2 if nhận được gói RREQ then
3 Gửi gói RREP cho nút đã gửi gói RREQ tới nút hiện tại;
/* Truyền dữ liệu */
4 if hoàn thành việc nhận gói dữ liệu then
5 Gửi gói ACK;
6 else
7 Gửi gói NACK;
Với phân tích hiệu năng của giao thức định tuyến về mặt lý thuyết, trước tiên ta xem xét trường hợp định tuyến đơn giản nhất chỉ qua hai con đường.
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng có N gói dữ liệu được gửi từ S đến D là chẵn. Ta có các kết quảnhư sau:
Định lý 1: Khi chỉ có hai đường P1 và P2định tuyến cho một cặp nguồn- đích với thời gian định tuyến tương ứng là T1 và T2 với T1 > T2, thời gian định tuyến Rp của giao thức LCMR luôn nhỏ hơn định tuyến thời gian Rf của giao thức FMLB.
Chứng minh. Đặt N pn r , 0 r n 1. Khi sử dụng giao thức
LCMR, có 1 N 1 r 1
n pn n
n n
gói tin sẽđược định tuyến qua đường P1
và 2 r 2
pn n
n
gói sẽ được định tuyến qua đường P2. Ta có
1 1 1 1 2 2 2 2
max ,
p
r r
R pn T n T pn T n T
n n
và
1 2
1 1
2 2
f
n n r
R pT T , khi n1 n2 N được giả định là chẵn và T1T2.
Nếu n1 n2 thì 1 1 2
2 2
r r
n . Do đó 2
2
r r
n n
và 1 2
r r
n n
.
Từ 2 1
1 2
T n
T n , suy ra 2 1
1 2 1 2
T n
T T n n
. Do đó, T2 nn1(T1T2). Vì vậy: r 2 T2 r 2 n1.( 1 2) r n n. 1 2.( 1 2)
n n T T T T
n n n n n
(1)
Tương tự, ta có: r 1 T1 r 1 n2 ( 1 2) r n n. 1 2.( 1 2)
n n T T T T
n n n n n
(2)
Do đó, r 2 T2 r 1 T1
n n
n n
.
Vì n T1 1n T2 2, suy ra: p 2 2 r 2 2
R pn T n T
n
. Ta có:
1 2
1 1 2 2 2 2
2 2 2 1
1 2 2 2 2
1 2
2 1 1 1
1 2 1
2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
f p
n n r r
R R pT T pn T n T
n
n T n T r r
p T pn T n T
n
T T r r
pn T n T
n
T T n
pn rT
n
Vì 1 1 2 r
n nên 1 1
1 0
2 rT n
n
, do đó Rf Rp 0, có nghĩa là Rf luôn lớn hơn Rp(điều phải chứng minh).
Thảo luận 1. Khi chỉ có hai đường để định tuyến từ S đến D, giao thức FMLB và giao thức MAODV [14] (phân phối sốlượng gói dữ liệu đều theo hai đường) có kết quả về thời gian định tuyến bằng nhau. Do đó, khi có hai đường đểđịnh tuyến với thời gian định tuyến không bằng nhau, giao thức LCMR luôn có thời gian định tuyến nhỏhơn so với giao thức FMLB và giao thức MAODV.
Để đánh giá hiệu năng của giao thức LCMR trong trường hợp tổng quát có hai hoặc nhiều đường từ một nút nguồn S đến một nút đích D, ta sẽ xem xét một vài ví dụđược đưa ra dưới đây.
Ví dụ 1. Xét kịch bản như được đưa ra trong Hình 1.6 và giả sử rằng ba đường P1, P2 và P3 có các giá trị của T1, T2, T3tương ứng là 40, 30 và 20 đơn vị thời gian. Bội số chung lớn nhất của 40, 30 và 20 là 120. Vì 120/40 = 3,
120/30 = 4 và 120/20 = 6 nên các gói dữ liệu được gửi theo P1, P2 và P3 có tỷ lệ là 3:4:6. Do đó, nếu có 6 + 4 + 3 = 13 gói dữ liệu, giao thức LCMR sẽ gửi 3 gói theo đường P1, 4 gói theo đường P2 và 6 gói theo đường P3 để tổng thời gian định tuyến cho việc gửi 13 gói này chỉ120 đơn vị thời gian.
Với cùng một kịch bản trên, nếu sử dụng giao thức FMLB, thì số gói dữ liệu theo các đường P1, P2 và P3 sẽ theo tỷ lệ F1:F2:F3 = 1:1:2. Do đó, với 13 gói dữ liệu, có 3 gói được gửi theo đường P1, 3 gói được gửi theo đường P2 và 6 gói được gửi theo đường P3. Gói cuối cùng sẽ được gửi theo đường P3 với thời gian định tuyến yêu cầu nhỏ nhất là 20 đơn vị. Do đó, tổng thời gian định tuyến cho các gói theo đường P1 là 120 đơn vị, theo đường P2 là 90 đơn vị và theo đường P3là 140 đơn vị. Như vậy, tổng thời gian định tuyến là 140 đơn vị (lớn hơn so với giao thức LCMR).
Nếu sử dụng giao thức MAODV [14] để phân phối các gói dữ liệu theo ba đường theo cơ chế chia đều cho các đường và gói còn lại được định tuyến qua P3 (có thời gian định tuyến nhỏ nhất), thì thời gian định tuyến tương ứng sẽ là max(160,120,100) = 160 đơn vị, nhiều hơn so với giao thức LCMR.
Ví dụ 2. Giả sử với các đường như trong Hình 1, nút S cần gửi 100 gói dữ liệu đến nút D. Nếu chọn n = 13 thì 100 = 7 × 13 + 9. Do đó giao thức LCMR ban đầu sẽ gửi có 91 gói dữ liệu, trong đó có 7 × 3 = 21 gói được gửi theo đường P1, 7 × 4 = 28 gói được gửi theo đường P2 và 7 × 6 = 42 gói được gửi theo đường P3.
Vì 9 9 9
3 2, 4 2, 6 4
13 13 13
nên trong số 9 gói còn lại, giao thức CLMR sẽ gửi 2 gói theo đường P1, 2 gói theo đường P2 và 4 gói theo đường P3. Gói cuối cùng sẽđược gửi theo đường P3.
Như vậy, số lượng gói được giao thức LCMR gửi 21 + 2 = 23 gói theo đường P1 hết 920 đơn vị thời gian, gửi 28 + 2 = 30 gói theo đường P2 hết 900
đơn vị thời gian và gửi 42 + 5 = 47 gói theo đường P3 hết 940 đơn vị thời gian.
Do đó, thời gian cần thiết để gửi tất cả 100 gói dữ liệu theo ba con đường trên là max(920,900,940) = 940 đơn vị thời gian.
Khi sử dụng giao thức FMLB [13], các gói sẽ được phân phối theo tỷ lệ 1:1:2, tức là 25 gói theo đường P1, 25 gói theo đường P2 và 50 gói theo đường P3. Tổng thời gian định tuyến là 50.20 = 1000 đơn vị. Giá trị này lớn hơn so với tổng thời gian định tuyến của giao thức LCMR.
Nếu sử dụng giao thức MAODV [14] với phân phối gói đều theo ba con đường thì thời gian định tuyến tương ứng sẽ là max(1320,990,680)=1320 đơn vị. Giá trị này cũng lớn hơn so với tổng thời gian định tuyến của giao thức LCMR.
Thảo luận 2. Trong Ví dụ 2, thời gian tối thiểu cần thiết để định tuyến cho tất cả 100 gói dữ liệu từ S đến D theo ba đường P1, P2 và P3 sẽ là 840 đơn vị thời gian cho 91 gói đầu và 90 đơn vị thời gian đầu tiên cho 9 gói còn lại (2 gói được gửi theo đường P1, 3 gói theo đường P2 và 4 gói theo đường P3). Như vậy tổng thời gian định tuyến là 930 đơn vị thời gian. Bài toán tìm thời gian định tuyến tối thiểu là tương tựnhư bài toán lập lịch cho N tác vụđộc lập trên k bộ xử lý song song có độ phức tạp NP.
Xét trường hợp tổng quát có k con đường P P1, ,...,2 Pk với thời gian định tuyến là T T1, ,...,2 Tk sao cho T1 T2 ... Tk. Đểđơn giản, ta giả sử rằng tổng số N gói dữ liệu được định tuyến từ S đến D là bội số nguyên lần của cả ik1ni và
1 k i Fi
.
Thời gian Rpđể giao thức LCMR định tuyến N gói dữ liệu từS đến D qua các con đường P P1, ,...,2 Pk được xác định theo công thức (3):
1 1
. .
max i
p i k k
i i i
i i
N n L N L
R n n n
(3)
Nói cách khác, thời gian định tuyến Rf của giao thức FMLB được xác định theo công thức (4)
1 1
. . .
max i max i
f i k i k
i i i i
i i
N F L N L F
R F n n F
(4)
Ta có các kết quả sau.
Định lý 2: Thời gian để định tuyến N gói dữ liệu bằng giao thức LCMR luôn nhỏ hơn thời gian định tuyến bằng giao thức FMLB [13] khi tỉ lệ
1: :...:2 k
n n n khác F F1: :...:2 Fk. Chứng minh. Đặt i i
i
F r
n và giả sử 1 2 ...
i i ik
r r r với i i1 2, ,...,ik là hoán vị của 1,2,...,k. Ta có 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
... ...
... ...
i i k ik
k
k k
n r n r n r
F F F
n n n n n n
. Theo giả thiết
1: :...:2 k
n n n khác F F1: :...:2 Fk nên mọi giá trị 1, ,...,2
i i ik
r r r có thể không bằng nhau.
Vì vậy,
1 1 1 1
1
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
... ...
... max
... ... ...
i i k i i k
k i
i i
k k k i
n r n r n r r n n n
F F F F
n n n n n n n n n r n
.
Từ công thức (3) và (4), ta có: 1
1
max 1
k
f i i i
i k
p i i i
R F n
R n F
.
Đây chính là điều cần chứng minh.
Ví dụ 3. Giả sử có N = 300 gói dữ liệu cần gửi từ nút S đến nút D theo 6 con đường P1, P2, P3, P4, P5 và P6 được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của thời gian định tuyến. Phân phối N gói này bằng giao thức FMLB theo các đường P1, P2, P3, P4, P5 và P6 tuân theo tỷ lệ của các số Fibonacci tương ứng F1, F2, F3, F4, F5 và F6, chẳng hạn là 1:1:2:3:5:8 mà không cần quan tâm đến thời gian định
tuyến thực tếtheo các đường này. Do đó, sốlượng gói được gửi theo các đường này sẽ lần lượt là 15, 15, 30, 45, 75 và 120.
Giả sử giao thức LCMR sử dụng các đường P1, P2, P3, P4, P5 và P6 với tỉ lệ phân phối các gói dữ liệu tương ứng theo các đường này là 1:1:2:3:4:4. Theo đó, với 300 gói dữ liệu cần định tuyến, sốlượng gói được gửi theo các đường này sẽ lần lượt là 20, 20, 40, 60, 80 và 80. Trong tình huống này, k1 i 20
i F
lớn hơn k1 i 15
i n
.
Giả sử rằng L là bội số chung nhỏ nhất của các giá trị thời gian định tuyến theo 6 đường này. Khi đó, giao thức LCMR có thể gửi 15 gói với đơn vị thời gian L là Rp 20L. Thời gian định tuyến Rf là:
300 1 300 1 300 1 300 1 300 1 300 1
max , , , , ,
20 1 20 1 20 2 20 3 20 4 20 4
max 15 , 15 , 15 , 15 , 75 , 15 , 30 4
L L L L L L
L L L L L L L
Do đó Rp < Rf và 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
max , , , , , 2 20 1,33
15
k i i k i i
F F F F F F F
n n n n n n n
Ví dụ 4. Xét một trường hợp khác về tỉ lệ phân phối dữ liệu của giao thức LCMR theo 6 đường trong Ví dụ 3 với tỉ lệ là 1:2:3:4:4:6. Trong trường hợp này k1 i 20
i n
bằng với giá trị của 1 k i Fi
. Khi đó, với đơn vị thời gian định
tuyến là L và số gói dữ liệu là 20, ta tính được Rp 15LRf 20L. Cần lưu
ý rằng 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
max , , , , , 8 1,33
6
F F F F F F
n n n n n n
lớn hơn 1
1
20 1 20
k i i k i i
F n
.