Chương 2. Một số loại số giả nguyên tố 14
2.2 Kiểm tra Miller và số giả nguyên tố mạnh
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử n là số nguyên dương lẻ, n−1 =2st, trong đó s là số nguyên không âm, t là số nguyên dương lẻ. Ta nói n trải qua được kiểm tra Miller cơ sởb, nếu hoặc bt ≡1(mod n), hoặcb2jt ≡ −1(modn), với j nào đó, 0≤ j≤s−1.
Ta chứng tỏ rằng, nếu n là số nguyên tố thì n trải qua được kiểm tra Miller cơ sởbvới mọi số bsao chon|b. Thật vậy, giả sửn−1=2st. Đặt
xk =b(n−1)/2k =b2(s−k)t, vớik=0,1,ãããs.
Vì n là số nguyên tố nên x0 ≡ 1 (mod n). Do đó x21 ≡ 1 (mod n), tức là x1 ≡ 1 (mod n) hoặc x1 ≡ −1 (mod n). Tiếp tục quá trình như vậy ta sẽ đi đến kết luận rằng, hoặc xk ≡ 1 (mod n) với k = 0,1ãããs, hoặc xk ≡ −1 (mod n) với một số nguyên k nào đó. Như vậy n trải qua được kiểm tra Miller cơ sởb.
Dễ thấy rằng, nếu n trải qua được kiểm tra Miller cơ sởb thìn sẽ là số giả nguyên tố cơ sởb. Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.2.2. Số nguyênn được gọi làsố giả nguyên tố mạnh cơ sởb nếu nó là hợp số và trải qua được kiểm tra Miller cơ sởb.
Như vậy các số giả nguyên tố mạnh lại còn ít hơn các số giả nguyên tố.
Tuy nhiên, ta có định lý sau.
Định lí 2.2.3. Tồn tại vô số số giả nguyên tố mạnh cơ sở2.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử n là một số giả nguyên tố cơ sở 2. Khi đó, với số nguyên lẻ knào đó, ta có 2n−1−1=nk. Đặt N =2n−1, khi đó nó có ước là2d−1, với d là ước số nào đó của n. Mặt khác,
N−1=2n−2=2(2n−1−1) =2nk, 2N−21 =2nk = (2n)k ≡1(mod N).
Vậy với mỗi số giả nguyên tố n, ta xây dựng được số giả nguyên tố mạnh N với các sốnkhác nhau cho ta các sốN khác nhau. Như vậy định lý được chứng minh, bởi vì có vô số giả nguyên tố cơ sở2.
Ta có thể dùng kiểm tra Miller để kiểm tra nguyên tố những số không lớn lắm. Ta biết rằng, số giả nguyên tố mạnh lẻ cơ sở 2 bé nhất là 2047.
Như vậy, nếun lẻ và n<2047, thì nlà nguyên tố nếu nó trải qua kiểm tra Miller. Tương tự như vậy, số 1373653, là số giả nguyên tố mạnh lẻ bé nhất
cơ sở 2 và 3, được dùng để kiểm tra nguyên tố những số bé hơn nó. Đối với cơ sở 2, 3 và 5, số giả nguyên tố mạnh lẻ bé nhất là 25326001, trong trường hợp cơ sở 2, 3, 5, 7, số tương ứng là 3215031751. Trong những số nhỏ hơn 25ã109, chỉ cú một số giả nguyờn tố lẻ với cơ sở 2, 3, 5, 7, đú là 3215031751. Như vậy, nếun<25ã109 là số lẻ trải qua kiểm tra Miller cơ sở2, 3,5, 7thìnlà số nguyên tố nếu nó khác với 3215031751.
Cách làm trên đây chỉ áp dụng được khi cần kiểm tra nguyên tố những số không lớn. Đối với những số lớn, ta có thể dùng thuật toán xác suất dựa trên định lý sau đây:
Định lí 2.2.4. Nếu n là một hợp số dương lẻ thì tồn tại không quá n−41 cơ sở b, 1≤b≤n−1sao cho ntrải qua được kiểm tra Miller đối với các cơ sở đó.
Từ Định lý 2.2.4 suy ra rằng, nếu số b được chọn ngẫu nhiên trong khoảng 1≤b≤n−1 thìntrải qua kiểm tra Miller cơ sở bvới xác suất bé hơn 1/4. Như vậy, nếu ta chọn k số ngẫu nhiên thì xác suất để n trải qua kiểm tra Miller đối vớikcơ sở đó sẽ bé hơn 41k. Khik đủ lớn, ví dụk=20, xác suất đó quá nhỏ, nên với n trải qua với 20 cơ sở ngẫu nhiên thì có thể tin “hầu chắc chắn” rằng nlà số nguyên tố. Từ đó ta có thuật toán xác suất sau đây.
Thuật toán (Rabin-Miller 1980). Cho N ≥3 lẻ, thuật toán sau đây xác định rằngN là một hợp số, hoặc in ra thông báoN là số nguyên tố với xác suất lớn hơn1−4120.
RM1 (Xuất phát). Đặtq←N−1,t←0, và nếuqchẵn đặtq←q/2,t←t+1 (bây giờ ta có N−1=2tq, vớiqlẻ). Sau đó đặt c←20
RM2 (Chọn a mới). Chọn ngẫu nhiên số a trong khoảng 1 <a < N. Đặt e←0, b←aq (modN). Nếu b=1, chuyển sang RM4.
RM3 (Bình phương). Nếub6≡ ±1(modn)vàe<t−2, ta đặtb←b2(modN), e←e+1. Nếu b 6=N−1, in ra thông báo “n là hợp số” và kết thúc thuật toán.
RM4 Đặt c←c−1. Nếu c>0, chuyển sang RM2. Nếu c=0, in ra thông báo “N là số nguyên tố”.