Các hệ số nhị thức nr
, trong đó 0 ≤ r ≤ n, có thể được xắp sếp thành bảng hình tam giác như Hình 2.21. Tam giác này được gọi là tam giác Pascal.
Hình 2.21: Tam giác Pascal
Các hệ số nhị thức trung tâm 2nn xuất hiện ở chính giữa của các hàng chẵn trong tam giác Pascal, như trong Hình 2.22, trong đó các hệ số nhị thức trung tâm 2nn
được khoanh tròn để dễ xác định.
Hình 2.22: Tam giác Pascal
Có nhiều cách để tìm số Catalan trong hình trên.
(i) Cách rõ ràng nhất để tìm Cn là bằng cách sử dụng công thức hiển nhiên Cn = 1
n+ 1
2n n
, tức là, bằng cách chia hệ số nhị thức trung tâm cho n+ 1. Do đó, bằng cách chia các số được khoanh tròn cho một phần hai số hàng cộng với 1, ta có thể tính được số Catalan. Lưu ý, hàng đầu tiên được đánh số là hàng 0. Ví dụ, để tính C4, ta tới hàng 8, thấy
8 4
= 70, rồi lấy 70 chia cho 4 + 1 = 5 ta được 70
5 = 14.
(ii) Vì Cn = (2n)!
(n+ 1)!n! = 1
n ã (2n)!
(n−1)!(n+ 1)! = 1 n
2n n−1
, ta có thể tính Cn bằng cách lấy số hạng cho số ngay bên trái (hoặc bên phải) của hệ số nhị thức trung tâm chia cho một phần hai số dòng. Xem các số trong hình vuông trong Hình 2.23. Ví dụ, C4 = 1
4
8 3
= 1
4 ã56 = 14.
Hình 2.23
(iii) Theo cách định nghĩa thứ hai của số Catalan ở Mục 2.1, ta thấy rằng Cn = 2nn
− n2n−1
. Nên Cn có thể được tính bằng cách lấy hệ số nhị thức trung tâm trừ đi lân cận trái (hoặc phải) của nó; xem các số trong hình trong và hình vuông trong Hình 2.24. Ví dụ, C4 = 84
− 83
= 70−56 = 14.
Hình 2.24
(iv) Ta lại có 2n
n
−
2n n−2
= (2n)!
n!n! − (2n)!
(n−2)!(n+ 2)!
= (2n)!
n!(n+ 1)!
(n+ 1)− n(n−1) n+ 2
= (2n)!
n!(n+ 1)! ã 2(2n+ 1) n+ 2
= (2n)!(2n+ 1)(2n+ 2)
n!(n+ 1)!(n+ 2) = (2n+ 2)!
(n+ 1)!(n+ 2)! = Cn+1.
Do đó, mọi số Catalan, ngoại trừ C0, đều có thể được tính từ tam giác Pascal bằng cách lấy hệ số nhị thức trung tâm trừ đi n2n−2
, xem các số trong hình tròn và hình vuông trong Hình 2.25.
Hình 2.25
Ví dụ, giả sử ta muốn tính C5 (chú ý ở đây n= 4). Ta đi tới hàng 8, đọc 84
và 82
, lấy số đầu trừ số thứ hai C5 = 84
− 82
= 70−28 = 42.
(v) Ta cũng có thể tính số Catalan từ các hàng lẻ của tam giác Pascal dựa vào công thức Cn = 1
2n+ 1
2n+1 n
. Vì mỗi hàng lẻ đều chứa một số chẵn các số hạng, nên có hai số hạng ở giữa ở mỗi hàng. Lấy số hạng ở giữa này chia cho số thứ tự hàng của nó sẽ thu được số Catalan. Xem các số trong ô vuông trong Hình 2.26. Ví dụ, xét hàng 9:
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.
Một trong hai số hạng giữa là 126, chia nó cho 9 thu đượcC4 = 126
9 = 14.
Hình 2.26
(vi) Cn có cũng thể được tính bằng cách lấy 2nn−−11
trừ đi 2nn−−21
, trong đó n≥ 1: 2nn−−11
− 2nn−−21
= (2n−1)!
(n−1)!n!− (2n−1)!
(n−2)!(n+ 1)! = (2n−1)!
(n+ 1)!n![n(n+
1)− n(n −1)] = (2n−1)!
(n+ 1)!n!(2n) = (2n)!
(n+ 1)!n! = Cn. Do đó, Cn có thể được tính từ tam giác Pascal bằng cách trừ số hạng ở giữa đầu tiên của hàng 2n−1cho phần tử ngay bên trái của nó. Xem các số trong ô vuông ở Hình 2.27. Ví dụ, C4 = 73
− 72
= 35−21 = 14.
Hình 2.27
(vii) Tiếp theo, là một cách khác để tính Cn: 2 2nn
− 2n+1n
= 2(2n)!
n!n! − (2n+ 1)!
n!(n+ 1) = (2n)!
(n+ 1)!n![2(n + 1) −(2n + 1)] = (2n)!
(n+ 1)!n! = Cn. Theo đó, mỗi số Catalan Cn có thể được tính bằng cách lấy 2 lần hệ số nhị thức trung tâm ở hàng thứ 2n trừ đi số hạng ở giữa ở hàng thứ 2n+ 1.
Xem các số trong hình tròn và ô vuông trong Hình 2.28. Ví dụ, C3 = 2 63
− 73
= 2ã20−35 = 5.
Hình 2.28
(viii) Tiếp theo là một phương pháp của Guy để tính Cn: 2n+1n+1
− 2 n+12n
= (2n+ 1)!
(n+ 1)!n! − 2 (2n)!
(n+ 1)!(n−1)! = (2n+ 1)Cn − (2n)Cn = Cn. Theo đó, ta tính Cn bằng cách lấy số hạng ở giữa thứ hai 2n+1n+1
ở hàng 2n+ 1 trừ đi hai lần số hạng n+12n
ngay bên phải hệ số nhị thức trung tâm ở hàng 2n. Xem các số trong hình vuông trong Hình 2.29. Ví dụ, C3 = 73
−2 64
= 35−2ã15 = 5.
Hình 2.29
Năm 1928, Jacques Touchard phát triển một công thức truy hồi khác
cho Cn mà dùng các hệ số nhị thức ở hàng thứ n của tam giác Pascal:
Cn+1 =
⌊n/2⌋
X
r=0
n 2r
2n−2rCr.
Ta kiểm chứng được công thức trên bằng phướng pháp hàm sinh C(x) củaCn như sau. Ở đầu chương, ta cóC(x) =P
n≥0Cnxn = 1−√
1−4x
2x .
Nên C
x2 (1−2x)2
= 1−x2x ã 1−2x−2x√1−4x. Nờn x
1−2xC
x2 (1−2x)2
= 1−2x−√
1−4x
2x = C(x)−1
= X
n≥1
Cnxn = X
n≥0
Cn+1xn+1. (2.5) Nhưng
x 1−2xC
x2 (1−2x)2
= X
r≥0
x2r+1 (1−2x)2r+1
= X
r≥0
Cr
"
X
r≥0
2r + 1 +k−1 k
(2x)k
# x2r+1
= X
r≥0
Cr
"
X
r≥0
2r +k k
2kx2r+k+1
# .
Hệ số của xn+1 ở vế phải bằng
X
0≤2k≤n
n n−2r
2n−2rCr =
⌊n/2⌋
X
r=0
n 2r
2n−2rCr. (2.6) Cho hệ số của xn+1 ở phương trình (2.5) và (2.6) bằng nhau ta suy ra được công thức cần tìm.
Do đó, Cn+1 có thể được tính một cách đệ quy bằng tổng trọng số của hệ số nhị thức 2rn
ở vị trí chẵn trong hàng thứ nvà dùng 2n−2rCr là hàm trọng. Ví dụ, C5 =
2
P
r=0 4 2r
24−2rCr = 40
24C0+ 42
22C1+ 44
20C2 = 1ã16ã1 + 6ã4ã1 + 1ã1ã2 = 42.
Kết luận
Trong luận văn, chúng tôi đã trình bày một cách hệ thống các vấn đề sau:
1. Khai triển (x1 + . . .+ xn)n, chuỗi lũy thừa hình thức và hàm sinh thường,...
2. Khai triển Maclaurin của hàm f(x) = (1 +x)α được dùng rất nhiều trong phương pháp hàm sinh để tìm công thức tổng quát của số Catalan dựa trên công thức truy hồi dãy số.
3. Khái niệm và các tính chất của dãy số Catalan được trình sau khi tìm ra công thức tổng quát của nó.
4. Một số ứng dụng của dãy số Catalan như bài toán đếm cây nhị phân, đếm số phân hoạch không giao nhau.
5. Ứng dụng tam giác Pascal để tìm số Catalan theo nhiều cách khác nhau.