Năm 2014, He và các cộng sự [4] đã chứng minh điểm bất động chung của c p ánh xạ giao hoán yếu trên một không gian metric nhân đầy đủ như sau:
Đ nh ý 2.2.1. Cho S T A, , và B à các ánh xạ t một không gian metric nhân đ đủ ( , )E vào chính nó th a m n nh ng đi u ki n au:
) ( ) ( )
i S E B E , T E( ) A E( ); (2.5)
25
, , , , , ,
) , max
, , ,
Au Bv Au Su Bv Tv ii Su Tv
Su Bv Au Tv (2.6) với m i u v, E và 0,1 / 2 .
)
iii một trong các ánh xạ S T A, , và B à i n t c. (2.7) i ử các c p ( , )A S và ( , )B T à giao hoán ếu hi đó S T A, , và B có một điểm bất động chung du nhất.
Đ nh ý 2.2.2. Cho S T A, , và B à các ánh xạ t một không gian metric nhân đ đủ ( , )E vào chính nó th a m n (2.5) (2.7). i ử các c p ( , )A S và ( , )B T à tương thích hi đó S T A, , và B có một điểm bất động chung du nhất.
h ng minh Vì S E( ) B E( ), nên với điểm u0 E, tồn tại u1 E thỏa mãn
0 1 0
Su Bu v , với điểm u1 này, tồn tại điểm u2 E thỏa mãn
1 2 1
Tu Au v . Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng được các dãy
2n 2n 2n 1, 2n 1 2n 1 2n 2.
v Su Bu v Tu Au
Theo chứng minh của Định lý 3.1 [4], { }vn là dãy Cauchy nhân trong E . Do đó, các dãy con Su2n , Au2n , Tu2n 1 và Bu2n 1 của dãy vn cùng hội tụ về z.
Giả sử A là liên tục. Khi đó, AAu2n, ASu2n hội tụ đến Az khi n . Vì A S, là tương thích trên E, nên theo Mệnh đề 1.2.9, SAu2n hội tụ tới Az khi n . Ta sẽ chỉ ra z Az. Thật vậy, ta có
2 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 1
, , , ,
, max , , , , .
,
n n n n
n n n n n n
n n
AAu Bu AAu SAu
SAu Tu Bu Tu SAu Bu
AAu Tu
Cho n , ta được
26
, , , , , ,
, max , .
, , ,
Az z Az Az z z
Az z Az z
Az z Az z
Suy ra d Az z, 1. Vậy Az z.
Tiếp theo, ta chứng minh Sz z. Thật vậy, ta có
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
Az Bu Az Sz Bx Tx
Sz Tu
Sz Bu Az Tu Cho n , ta có
, max , , , , , , , .
, , ,
z z z Sz z z
Sz z Sz z
Sz z Sz z
Suy ra Sz z. Vì S E( ) B E( ) nên tồn tại u X sao cho z Sz Bu. Ta chứng minh z Tu. Thật vậy, ta có
, , , , , ,
, , max
, , ,
Az Bu Az Sz Bu Tu d z Tu d Sz Tu
Sz Bu Az Tu
max z z, , z z, , z Tu, , z z, , z Tu,
( ,z Tu).
Suy ra z Tu.
Vì B T, là tương thích trên E và Bu Tu z, nên theo Mệnh đề 1.2.8, ta có BTu TBu và do vậy Bz BTu TBu Tz .
Tương tựnhư vậy, ta có
, , max , , , , , ,
, , ,
Az Bz Az Sz Bz Tz z Bz Sz Tz
Sz Bz Az Tz
max z Bz, , z z, , Bz Tz, , z Bz, , z Bz,
27
( ,z Bz).
Suy ra z Bz. Nên z Bz Tz Az Sz. Vậy z là một điểm bất động chung của S T A, , và B.
Phép chứng minh tương tựcho trường hợp B liên tục.
Tiếp theo, giả sử S liên tục. Khi đó SSu2n, SAu2n hội tụ tới Az khi .
n Vì A và S tương thích trên E nên từ Mệnh đề 1.2.9 suy ra ASu2n hội tụđến Az khi n . Ta có
2 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 1
, , , ,
, max , , , , .
,
n n n n
n n n n n n
n n
ASu Bu ASu SSu
SSu Tu Bu Tu SSu Bu
ASu Tu
Cho n , ta được
, , , , , , , ,
, max
, , ,
Sz z Sz Sz z z Sz z
Sz z Sz z
Sz z
suy ra Sz z. Vì S E( ) B E( ) nên v E sao cho z Sz Bv. Ta có
2 2 2 2
2 2
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
ASu Bv ASu SSu Bv Tv SSu Tv
SSu Bv ASu Tv
Cho n , ta được
, , , , , , , ,
, max
,
, .
z z z z z Tv z z
z Tv d z Tv
z Tv
Suy ra z Tv. Vì B và T là tương thích trên E và Bv Tv z, nên theo Mệnh đề 1.2.8, ta có BTv TBv và do vậy Bz BTv TBv Tz.
M t khác, ta có
28
2 2 2 2
2 2
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
Au Bz Au Su Bz Tz Su Tz
Su Bz Au Tz
Cho n , ta được
, , , , , ,
, max
, , ,
, .
z Tz z z Tz Tz
z Tz z Tz z Tz
z Tz
Suy ra Tz z. Vì T E( ) A E( ) nên w X: z Tz Aw. Ta có
, ,
, , , , , ,
max , , ,
Sw z Sw Tz
Aw Bz Aw Sw Bz Tz Sw Bz Aw Tz
max , , , , , , , , ,
( , ).
z z z Sw Tz Tz Sw z z z Sw z
Suy ra Sw z. Vì S và A là tương thích trên E và Sw Aw z, nên theo Mệnh đề 1.2.8, ta có ASw SAw và Az ASw SAw Sz. Hay
z Az Sz Bz Tz. Vậy z là điểm bất động chung của S T A, , và B. Tương tự, ta có thể hoàn thành chứng minh khi T là liên tục.
Cuối cùng, giả sử rằng z và w z w là hai điểm bất động chung của S T A, , và B. Khi đó
, ,
, , , , , ,
max , , ,
z w Sz Tw
Az Bw Az Sz Bw Tw Sz Bw Az Tw
max , , , , , , , , ,
, .
z w z z w w z w z w z w
29
Suy ra z w. Vậy z là điểm bất động chung duy nhất của S T A, , và B. Ta được điều phải chứng minh.
ưới đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu ( )A .
Đ nh ý 2.2.3. Cho S T A, , và B à các ánh xạ t một không gian metric nhân đ đủ ( , )E vào chính nó th a m n (2.5) (2.7). i ử các c p ( , )A S và ( , )B T à tương thích kiểu ( )A hi đó S T A, , và B có một điểm bất động chung du nhất.
h ng minh Giả sử A liên tục. Vì ( , )A S là tương thích kiểu ( )A , theo Mệnh đề 1.2.2, c p ( , )A S là tương thích, nên kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.2.
Tương tự, nếu B liên tục và ( , )B T là tương thích kiểu ( )A thì ( , )B T tương thích nên kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.2.
Chứng minh tương tựcho trường hợp S ho c T liên tục. Sau đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu ( )B .
Đ nh ý 2.2.4. Cho S T A, , và B à các ánh xạ t một không gian metric nhân đ đủ ( , )E vào chính nó th a m n (2.5) (2.7). i ử c p ( , )A S và ( , )B T à tương thích kiểu ( )B hi đó S T A, , và B có một điểm bất động chung du nhất.
h ng minh Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta có vn là dãy Cauchy nhân trong E. o đó, các dãy con
Su2n , Au2n , Tu2n 1 và Bu2n 1 của dãy vn cùng hội tụ về z.
Giả sử S liên tục. Khi đó, SSu2n,SAu2n hội tụ tới Sz khi n . Vì c p ( , )A S là tương thích kiểu ( )B , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy ra AAu2n hội tụ tới Sz khi n . Ta có
30
2 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 1
, , , ,
, max , , , , .
,
n n n n
n n n n n n
n n
AAu Bu AAu SAu
SAu Tu Bu Tu SAu Bu
AAu Tu
Cho n , ta được
, max , , , , , , , , , .
( , )
Sz z Sz z Sz Sz z z Sz z Sz z Sz z
Suy ra Sz z. Vì S E( ) B E( ) nên u E: z Sz Bu. Ta có
2 2 2
2
2 2
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
AAu Bu v AAu SAu Bu Tu SAu Tu
SAu Bu AAu Tu Cho n , ta được
Sz Tu, Sz Tu, .
Suy ra Tu Sz z Tu . Vì c p ( , )B T là tương thích kiểu ( )B và Bu z Tu, nên theo Mệnh đề 1.2.10, ta có TBu BTu và do đó Bz BTu TBu Tz . Ta có
2 2 2 2
2 2
, , , , , ,
, max
, , ,
n n n
n
n n
Au Bz Au Su Bz Tz Su Tz
Su Bz Au Tz Cho n , ta được
z Tz, z Tz, ,
Suy ra Tz z. Vì T E( ) A E( ), nên v E: z Tz Av. Ta có
, , , , , ,
, max ,
, , ,
Av Bz Av Sv Bz Tz Sv Tz
Sv Bz Av Tz
suy ra
Sv z, Sv z, .
31
Suy ra Sv z. Vì c p A S, là tương thích kiểu B và Sv z Av, nên theo Mệnh đề 1.2.10, ta có Sz SAv ASv Az. Do đó,
Az Bz Sz Tz z
và do vậy z là điểm bất động chung của S T A, , và B.
ây giờ, giả sử A liên tục. Khi đó, AAu2n và ASu2n hội tụ tới Az khi .
n Vì ( , )A S là tương thích kiểu ( )B , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy ra SSu2n hội tụ tới Az khi n . Ta có
2 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 1
, , , ,
, max , , , , .
,
n n n n
n n n n n n
n n
ASu Bu ASu SSu
SSu Tu Bu Tu SSu Bu
ASu Tu
Cho n , ta có
Az z, Az z, .
Suy ra Sz z. Vì S E( ) B E( ), nên w E: z Sz Bw. Ta có
, , , , , ,
, , max
, , ,
Az Bw Az Sz Bw Tw z Tw Sz Tu
Sz Bw Az Tw
max , , , , , , , , ,
( , ).
z z z z z Tw z z z Tw z Tw
Suy ra, z Tw. Vì c p ( , )B T tương thích kiểu ( )B và Bw z Tw nên
theo Mệnh đề 1.2.10, ta có TBw BTw, do đó Bz BTw TBw Tz.
Ta có
( ,Sz Tz) max { ( ,z Tz), ( , ), ( ,z z Tz Tz), ( ,z Tz), ( ,z Tz) ( ,z Tz).
Suy ra z Tz. o đó, z là điểm bất động chung của S T A, , và B. Chứng minh tương tựcho trường hợp B ho c T liên tục.
32
Cuối cùng, nếu z và w z w là hai điểm bất động chung thì ta có
, ,
, , , , , ,
max , , ,
z w Sz Tw
Az Bw Az Sz Bw Tw Sz Bw Az Tw
z w, .
Suy ra, z w. Vậy z là điểm bất động chung duy nhất của S T A, , và B. Định lí được chứng minhđầy đủ.
ưới đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu ( )C .
Đ nh ý 2.2.5. Cho S T A, , và B à các ánh xạ t một không gian metric nhân đ đủ ( , )E vào chính nó th a m n (2.5) (2.7) i ử các c p ( , )A S và ( , )B T à tương thích kiểu ( ).C hi đó S T A, , và B có một điểm bất động chung du nhất.
h ng minh Theo Định lý 2.2.2, vn E là dãy Cauchy nhân. o đó, các dãy con
Su2n , Au2n , Tu2n 1 và Bu2n 1 của vn cũng hội tụ tới z.
Giả sử S liên tục. Khi đó, SSu2n, SAu2n hội tụ tới Sz khi n . Vì c p ( , )A S là tương thích kiểu ( )C , nên theo Chú ý 1.2.13 suy ra AAu2n hội tụ đến Sz khi n .
Ta sẽ chứng minh Sz z. Thật vậy, ta có
2 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 1
, , , ,
, max , , , , .
,
n n n n
n n n n n n
n n
AAu Bu AAu SAu
SAu Tu Bu Tu SAu Bu
AAu Tu
Cho n , ta được
33
, , , , , , , ,
, max
, , .
Az z Sz Sz z z Sz z
Sz z Sz z
Sz z
Suy ra Sz z. Vì S E( ) B E( ), nên u E: z Sz Bu. Ta có
2 2 2 2
2 2
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
AAu Bw AAu SAu Bu Tu
SAu Tw
SAu Bu AAu Tu
Cho n , ta được
, max , , , , , , , .
, , ,
Sz Sz Sz Sz Sz Tu
Sz Tu Sz Tu
Bu Bu Sz Tu
Suy ra Sz Tu z( Tu). Vì c p ( , )B T là tương thích kiểu ( )C và ,
Bu z Tu nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TBu BTu. o đó .
Bz BTu TBu Tz Ta có
2 2 2 2
2 2
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
Au Bz Au Su Bz Tz Su Tz
Su Bz Au Tz Cho n , ta được
, max , , , ,1, , , ,
, .
z Tz z Tz z z z Tz z Tz
z Tz
Suy ra Tz z. Vì T E( ) A E( ), nên v E:T z Av. Ta có
, ,
, , , , , ,
max , , ,
Sv z Sv Tz
Av Bz Av Sv Bz Tz Sv Bz Av Tz
max , , , , , , , , ,
, .
z z Sv z z z Sv z z z Sv z
34
Suy ra z Sv. Vì c p ( , )A S là tương thích kiểu ( )C và Sv z Av, nên theo Chú ý 1.2.12, ASv SAv, ta có Sz SAv ASv Az. o đó,
Bz Az Tz Sz z. Vậy z là điểm bất động chung của S T A, , và B. Giả sử A liên tục. Khi đó AAu2n, ASu2n hội tụ đến Az khi n . Vì c p ( , )A S là tương thích kiểu ( )C , nên theo Chú ý 1.2.13 suy ra SSu2n hội tụ tới Az khi n .
Ta cũng có
2 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 1
, , , ,
, max , , ,
,
n n n n
n n n n n n
n n
ASu Bu ASu SSu
SSu Tu Bu Tu SSu Bu
ASu Tu
.
Cho n , ta được
, , , , , ,
, max
, , ,
, .
Az z Az Av z z
Az z Az z Az z
Az z Suy ra Az z. Ta có
2 1 2 1 2 1
2 1
2 1 2 1
, , , , , ,
, max
, , ,
n n n
n
n n
Az Bu Az Sz Tu Bu
Sz Tu
Sz Bu Az Tu
Cho n , ta được ( , )Sz z ( , ).Sz z Suy ra Sz z. Vì S E( ) B E( ) nên w E thỏa mãn z Sz Bw. Lại có
, , , , , ,
( , ) ( , ) max
, , ,
, .
Az Bw Az Sz Bw Tw z Tw Sz Tw
Sz Bw Az Tw z Tw
Suy ra Tw z. Vì ( , )B T là tương thích kiểu ( )C và Bw z Tw, nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TBw BTw và do vậy Bz BTw TBw Tz.
M t khác, ta cũng có
35
z Tz, Sz Tz, z Tz, .
Suy ra Tz z. o vậy, Tz Bz Sz Az z. Vậy z là một điểm bất động chung của S T A, , và B.
Tương tự, ta có thể chứng minh cho trường hợp khi B ho c T là liên tục.
Tính duy nhất được suy ra dễ dàng. Định lí được chứng minh.
Cuối cùng, ta có định lý sau đối với các ánh xạ tương thích kiểu ( ).P
Đ nh ý 2.2.6. Cho S T A, , và B à các ánh xạ t một không gian metric nhân đ đủ ( , )E vào chính nó th a m n (2.5) (2.7). i ử r ng c p ( , )A S và ( , )B T à tương thích oại ( ).P hi đó S T A, , và B có điểm bất động chung du nhất.
h ng minh Theo chứng minh Định lý 2.2.2, vn là một dãy Cauchy nhân trong E o đó, các dãy con Su2n , Au2n , Tu2n 1 và {Bu2n 1} của vn hội tụ tới z khi n .
Giả sử S liên tục. Khi đó, SSu2n,SAu2n hội tụ tới Sz khi n . Vì c p ( , )A S là tương thích kiểu ( )P , nên từ Chú ý 1.2.13 suy ra AAu2n hội tụ tới Sz khi n .
Ta sẽchứng minh Sz z. Thật vậy, ta có
2 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 1
, , , ,
, max , , , , .
,
n n n n
n n n n n n
n n
AAu Bu AAu SAu
SAu Tu Bu Tu SAu Bu
AAu Tu
Cho n , ta được
, , , , , ,
, max
, , ,
, .
Sz z Sz Sz z z
Sz z Sz z Sz z
Sz z
Suy ra Sz z. Vì S E( ) B E( ) nên u E sao cho z Sz Bu.
36 Tiếp theo, ta chứng minh Tu z. Ta có
2 2 2 2
2 2
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
Au Bu Au Su Bu Tu
Su Tu
Su Bu Au Tu
Cho n , ta có
z Tu, max z z, , z z, , z Tu, , z z, , z Tu, z Tu, .
Suy ra z Tu. o đó, Bu Tu z. Vì c p ( , )B T là tương thích kiểu ( ),P nên theo Chú ý 1.2.12, ta có TTu BBu, suy ra Bz Tz, 1. Vậy
.
Tz Bz ây giờ ta sẽ chỉ ra Tz z. Ta có
2 2 2 2
2 2
, , , , , ,
, max .
, , ,
n n n
n
n n
Au Bz Au Su Bz Tz Su Tz
Su Bz Au Tz
Cho n , ta được
z Tz, z Tz, ,
Suy ra z Tz. o đó Bz Tz z. Vì T E( ) A E( ), nên v E sao cho .
z Tz Av Ta chứng minh Sv z. Thật vậy, ta có
max , , , , , ,
, ,
, , , , ,
Av Bz Av Sv Bz Tz Sv z Sv Tz
Sv Bz Av Sv Av Tz
Sv z, .
Suy ra z Sv. o đó z Sv Av. Vì ( , )A S là tương thích kiểu ( ),P nên theo Chú ý 1.2.12, ta có SSv AAv, suy ra d Sz Az, 1. o đó, Sz Az. Vì Az Bz Sz Tz z, nên z là điểm bất động chung của S T A, , và B. Chứng minh tương tựcho trường hợp khi A ho c B ho c T liên tục.
Tính duy nhất dễ ràng được suy ra. Vậy định lý được chứng minh.
37
Ví dụ 2.2.7. Cho E [1, ) với metric nhân thông thường ( , )x y u . v ét các ánh xạ từ E vào chính nó Su u Tu, u Bu2, 2u4 1 và
2 2 1
Au u với mọi u 1.
(i) S E( ) T E( ) B E( ) A E( ) E, S E( ) B E( ), T E( ) A E( );
(ii) S T A, , và B là các ánh xạ liên tục.
iii Các c p ( , )A S và ( , )B T là tương thích, và chúng là các ánh xạ tương thích kiểu ( )A , kiểu ( )B , kiểu ( )C , và kiểu ( )P .
ét dãy un 1 1
n với n 1. Khi đó un 1 khi n . Ta có
lim n lim n lim n lim n 1
n Au n Su n Bu n Tu E khi n .
Ta cũng có
lim n, n 1, lim n, n 1,
n ASu SAu n BTu TBu
lim n, n 1, lim n, n 1,
n ASu SSu n SAu AAu
lim n, n 1, lim n, n 1,
n BTu TTu n TBu BBu
iv Với 1 / 3, ta có
, max , , , , , ,
, , ,
Au Bv Au Su Bv Tv Su Tv
Su Bv Au Tv
với mọi u v, E. Vậy tất cả các điều kiện của các định lý chính được thỏa mãn và 1 là điểm bất động chung duy nhất của S T A, , và B.
KẾT LUẬN
38 Luận vănđã trình bày:
- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian metric nhân, Mối quan hệvà các tính chất của các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó. Đó là các ánh xạ tương thích kiểu ( )A ,( )B ,( )C và kiểu ( )P trong không gian metric nhân Các Mệnh đề 1.2.2-1.2.11).
- Kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong không gian metric nhân Định lí 2.1.1
- Kết quả về điểm bất động chung đối với ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân Định lí 2.2.2
- Các kết quả về điểm bất động chung đối với các biến thể của ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân. Cụ thể là Định lí 2.2.3 đối với ánh xạ tương thích kiểu ( )A , Định lí 2.2.4 đối với ánh xạ tương thích kiểu ( )B , Định lí 2.2.5 đối với ánh xạ tương thích kiểu ( )C và Định lí 2.2.6 đối với ánh xạ tương thích kiểu ( )P .
TÀI LIỆU THAM KHẢO