2.2 Hai bất đẳng thức về một điểm trên mặt phẳng chứa
2.2.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Trong phần này chúng tôi trình bày một số Bổ đề cần thiết để chứng minh kết quả chính. Các Bổ đề này được tham khảo trong tài liệu [4].
Cho P là điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Kí hiệu R1, R2, R3 lần lượt là khoảng cách từ P đến các đỉnh A, B, C và r1, r2, r3 lần lượt là khoảng cách từ P đến các cạnh BC, CA, AB.
Kí hiệu −→r1, →−r2, −→r3 lần lượt là độ dài có hướng từ P tới các cạnh BC, CA, AB và −→S là diện tích có hướng của tam giác ABC.
Khoảng cách có hướng ~r1 từ P đến BC được xác định như sau: Khi hướng vòng theo các đỉnh P, B, C là ngược chiều kim đồng hồ, thì ~r1
dương và~r1 =r1; ngược lại,~r1 âm và~r1 = −r1 (nếuP nằm trênBC thì
~r1 = r1 = 0). Tương tự, đối với~r2 và ~r3. Tiếp theo, chúng ta xác định diện tích có hướng của tam giác: Cho △XY Z, nếu hướng vòng theo các đỉnh X, Y, Z là ngược chiều kim đồng hồ, thì diện tích có hướng S~△XY Z của △XY Z dương và S~△XY Z = S△XY Z; ngược lại, S~△XY Z âm vàS~△XY Z = −S△XY Z (nếuX nằm trênY Z thìS~△XY Z = S△XY Z = 0).
Trong phần này chúng tôi trình bày một số bổ đề cần thiết để chứng minh kết quả chính. Các bổ đề này được tham khảo trong tài liệu [4].
Bổ đề 2.2.1 Cho P và M là hai điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam
Hình 2.1
giác ABC và (x, y, z) là tọa độ điểm M. Khi đó
(x+y +z)2P M2 = (x+y +z) xP A2 +yP B2+zP C2
−(yza2+zxb2+xyc2), (2.14) trong đó a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.
Đặc biệt, khi A ≡ M trong (2.14) ta có
Bổ đề 2.2.2 Cho điểm P nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC có tọa độ (x, y, z). Khi đó
(x+y+z)2P A2 = (x+y+z) yc2 +zb2
− yza2 +zxb2 +xyc2 , (2.15) trong đó a, b, c là độ dài của các cạnh BC, CA, AB.
Đối với khoảng cách từ một điểm tới các cạnh của một tam giác, chúng ta có công thức sau:
Bổ đề 2.2.3 ChoP là điểm nằm trên mặt phẳng chứa tam giác ABC, có tọa độ là (x, y, z) và ~r1, ~r2, ~r3 lần lượt là khoảng cách có hướng từ
điểm P đến các cạnh BC, CA, AB. Khi đó
~r1 = xha
x+y+z, ~r2 = yhb
x+y +z, ~r3 = zhc
x+y+z,
vớiha, hb, hc lần lượt là độ dài đường cao đối với các cạnhBC, CA, AB. Bổ đề 2.2.4 Cho Pi là các điểm nằm trên mặt phẳng chứa tam giác ABC, có tọa độ lần lượt là (xi, yi, zi), (i = 1, 2, 3). Khi đó P1, P2, P3
thẳng hàng khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng:
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
= 0. (2.16)
Bổ đề 2.2.5 Cho p1, p2, p3, q1, q2, q3 là các số thực, khi đó ta có bất đẳng thức:
p1x2 +p2y2+p3z2 > q1yz +q2zx+q3xy (2.17) đúng với mọi số thực x, y, z khi và chỉ khi p1 > 0, p2 > 0, p3 >
0, 4p2p3−q12 > 0, 4p3p1 −q22 > 0, 4p1p2 −q32 > 0 và D = 4p1p2p3 − q1q2q3+p1q12 +p2q22+p3q32
> 0. (2.18) Các điều kiện xảy ra đẳng thức của bất đẳng thức (2.17) (giả sử p1 >
0, p2 > 0, p3 >0) như sau:
1) Nếu D = 0, 4p1p2 −q32 = 0,4p3p1 − q22 = 0, thì 4p2p3 −q12 = 0 và đẳng thức (2.17) xảy ra khi 2p1x= q3y+q2z.
2) Nếu D ≥ 0, 4p2p3−q12 > 0, 4p3p1−q22 > 0, 4p1p2−q32 = 0, thì đẳng thức (2.17) xảy ra khi D = 0, z = 0, 2p1x =q3y.
3) Nếu D ≥ 0, 4p2p3 − q12 > 0, 4p3p1 − q22 > 0, 4p1p2 − q32 > 0, x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0, thì đẳng thức (2.17) chỉ xảy ra khi D = 0, (2p1q1 +q2q3)x= (2p2q2+q3q1)y = 2 (p3q3 +q1q2)z.
Chứng minh. Bất đẳng thức (2.17) được viết lại như sau:
p1x2−(q3y +q2z)x+p2y2 −q1yz +p3z2 > 0. (2.19)
Ta biết bất đẳng thức này đúng với mọi số thựcxkhi và chỉ khi p1 > 0, và
p2y2 −q1yz +p3z2 > 0, (2.20) (q3y +q2z)2−4p1 p2y2 −q1yz +p3z2
6 0. (2.21) hơn nữa, (2.20) đúng với mọi số thực y, z khi và chỉ khi p2 > 0, p3 >
0, q12−4p2p3 6 0. Bất đẳng thức (2.20) là tương đương 4p1p2−q32
y2 −2 (2p1q1 +q2q3)yz + 4p3p1 −q22
z2 > 0, (2.22) đúng với mọi số thực y, z nếu và chỉ nếu 4p1p2−q23 > 0, 4p3p1−q22 > 0 và
[−2 (2p1q1 +q2q3)]2−4 4p1p2 −q32
4p3p1 −q22
6 0
hoặc
4p1p2 −q23
4p3p1 −q22
−(2p1q1 +q2q3)2 > 0. (2.23) tương đương với
16p1 p1q21 +p2q22 +p3q23 +q1q2q3 −4p1p2p3
6 0.
Vì p1 > 0, ta có
4p1p2p3− q1q2q3 +p1q12+p2q22 +p3q32
> 0, (2.24) tức là D > 0.
Kết hợp với những lập luận trên, ta suy ra điều kiện cần và đủ của (2.17) đúng cho với mọi số thực x, y, z: p1 > 0, p2 > 0, p3 >
0, 4p2p3−q12 > 0, 4p3p1 −q22 > 0, 4p1p2 −q32 > 0, D > 0.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét về các điều kiện xảy ra đẳng thức của (2.17).
Rõ ràng, đẳng thức (2.19) và sau đó (2.17) đúng nếu và chỉ nếu 2p1x−q3y−q2z = 0 (2.25) và đó là đẳng thức của (2.20) hoặc (2.22), nghĩa là
4p1p2 −q23
y2 −2 (2p1q1 +q2q3)yz + 4p3p1 −q22
z2 = 0. (2.26)
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét về các điều kiện xảy ra đẳng thức của (2.17) trong các trường hợp khác nhau (giả sử p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0 cho từng trường hợp):
Trường hợp 1: D = 0, 4p1p2 − q32 = 0,4p3p1 − q22 = 0.
Trong trường hợp này, ta có: 16p2p3p21 = q22q23 và (2.23) trở thành một đồng nhất thức. Do đó từ (2.23) ta có 2p1q1 + q2q3 = 0. Như vậy, (2.26) đúng và 4p2p3−q12 = q422pq223
1 − q12 = 0. Ngoài ra, đẳng thức trong (2.17) chỉ đúng khi (2.25) đúng.
Trường hợp 2: D > 0,4p2p3−q12 > 0, 4p3p1−q22 > 0, 4p1p2−q23 = 0. Từ 4p1p2−q32 = 0và (2.23), ta có 2p1q1+q2q3 = 0. Khi đó (2.26) trở thành 4p3p1 −q22
z2 = 0, do đó z = 0 và từ (2.25) ta có 2p1x = q3y.
Vì vậy, đẳng thức trong (2.17) xảy ra khi D = 0, z = 0, 2p1x = q3y.
Trường hợp 3: D > 0, 4p2p3 −q12 > 0, 4p3p1 − q22 > 0, 4p1p2 −q32 >
0, x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0.
Đầu tiên, ta dễ thấy đẳng thức trong (2.22) xảy ra khi D = 0 và 2 4p1p2 −q23
y −2 (2p1q1 +q2q3)z = 0, tức là
y
z = 2p1q1 +q2q3
4p1p2 −q32 . (2.27) Sử dụng (2.25) và (2.27), ta dễ dàng có được
x
z = 2p2q2 +q3q1
4p1p2−q32 . (2.28) Thêm nữa, sử dụng D = 0, dễ dàng chứng minh được hai đồng nhất thức:
2p1q1 +q2q3
4p1p2 −q23 = 2p3q3+q1q2
2p2q2+q3q1
, (2.29)
2p2q2 +q3q1
4p1p2 −q23 = 2p3q3+q1q2
2p1q1+q2q3
. (2.30)
Lấy (2.27) từ (2.30) ta được
(2p1q1 +q2q3)x= (2p2q2 +q3q1)y = (2p3q3 +q1q2)z. (2.31)
Do đó, bất đẳng thức trong (2.17) thuộc trường hợp 3 khi và chỉ khi D = 0 và (2.31) xảy ra. Bổ đề 2.2.5 được chứng minh.
Bổ đề 2.2.6 Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. I′ là điểm đối xứng của I qua O. Khi đó, khoảng cách giữa I′ và đỉnh A được cho bởi
I′A = 2R√
1−sinBsinC, (2.32) với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và B, C là các đỉnh của tam giác ABC.
Như một hệ quả quan trọng đơn giản của Bổ đề 2.2.1, ta có
Hệ quả 2.2.7 Cho P nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC và với mọi số thực x, y, z.
(x+y+z) xP A2+yP B2 +zP C2