Giả sử Tk(x) và Uk(x) tương ứng là các đa thức Chebyushev loại một và loại hai. Ta có một số các công thức sau đây:
Tn(cosθ) = cosnθ, Un(cosθ) = sin(n+ 1)θ
sinθ , (2.25)
Zb a
Tk[η(x)]Tj [η(x)]
ρ(x) dx= αkδkj, (2.26)
Zb a
Uk[η(x)]Uj [η(x)]ρ(x)dx = βδkj, (2.27) Zb
a
Tk[η(y)]dy
(x−y)ρ(y) = −2π
b−aUm−1[η(x)], k = 0,1, . . . , (2.28) Zb
a
ρ(y)Uk−1[η(y)]dy
x−y = π(b−a)
2 Tk[η(x)], k = 1,2, . . . , (2.29) trong đó δkj là ký hiệu Kronecker và
α =
π, k = 0, π
2, k = 1,2, . . . , β = π(b−a)2
8 ,
η(x) = 2x−(a+b) b−a .
Trong hệ phương trình tích phân (2.20) thay các hàm v1(t) = ρ(t)χ1(t) và v2(t) = χ2(t)
ρ(t) , trong đó χ1 ∈ L2ρ(a, b), χ2 ∈ L2ρ−1(a, b), ta thu được hệ phương trình sau
1 πi
Zb a
ρ(t)χ1(t) x−t dt+
Zb a
ρ(t)χ1(t)k11(x−t)dt+ Zb
a
χ2(t)
ρ(t) k12(x−t)dt
= if1(x), a < x < b, 1
πi Zb
a
χ2(t)
ρ(t)(x−t)dt+ Zb
a
ρ(t)χ1(t)k21(x−t)dt+ Zb
a
χ2(t)
ρ(t) k22(x−t)dt
= −if2(x), a < x < b.
(2.30) Biểu diễn các hàm χ1(t) và hàm χ2(t) dưới dạng các chuỗi sau đây:
χ1(t) = X∞
j=0
AjUj[η(t)], (2.31)
χ2(t) = X∞
j=1
BjTj[η(t)], (2.32)
trong đóAj vàBj là các hằng số chưa biết, ngoài ra ta còn có {Aj}∞j=1 ∈ ℓ2 và {Bj}∞j=1 ∈ ℓ2.
Thế (2.31) và (2.32) vào (2.30), thay đổi thứ tự lấy tích phân và tổng ta thu được
1 πi
X∞ j=0
Aj
Zb a
ρ(t)Uj[η(t)]dt
x−t +
X∞ j=0
Aj
Zb a
ρ(t)Uj [η(t)]k11(x−t)dt
+ X∞
j=1
Bj
Zb a
Tj[η(t)]
ρ(t) k12(x−t)dt= if1(x), 1
πi X∞
j=1
Bj
Zb a
Tj[η(t)]dt ρ(t)(x−t) +
X∞ j=0
Aj
Zb a
ρ(t)Uj [η(t)]k21(x−t)dt
+ X∞
j=1
Bj
Zb a
Tj[η(t)]
ρ(t) k22(x−t)dt= −if2(x).
(2.33)
Sử dụng (2.28) và (2.29), từ (2.33) ta có
b−a
2π X∞
j=0
AjTj+1[η(x)] + X∞
j=0
Aj
Zb a
ρ(t)Uj[η(t)]k11(x−t)dt
+ X∞
j=1
Bj
Zb a
Tj[η(t)]
ρ(t) k12(x−t)dt= if1(x),
−2 i(b−a)
X∞ j=0
BjUj−1[η(x)] + X∞
j=0
Aj
Zb a
ρ(t)Uj[η(t)]k21(x−t)dt
+ X∞
j=1
Bj
Zb a
Tj[η(t)]
ρ(t) k22(x−t)dt= −if2(x).
(2.34)
Do có công thức (2.26) và (2.27), từ (2.34) ta có kết quả sau
b−a
2i An−1αn+ X∞
j=0
Aj Zb
a
ρ(x)Tn[η(x)]
Zb a
ρ(t)Uj[η(t)]k11(x−t)dtdx
+ X∞
j=1
Bj
Zb a
ρ(x)Tn[η(x)]
Zb a
Tj [η(t)]
ρ(t) k12(x−t)dtdx
= i Zb
a
ρ(x)Tn[η(x)]f1(x)dx,
−2
i(b−a)Bn+1βn+ X∞
j=0
Aj
Zb a
ρ(x)Un[η(x)]
Zb a
ρ(t)Uj[η(t)]k21(x−t)dtdx
+ X∞
j=1
Bj
Zb a
ρ(x)Un[η(x)]
Zb a
Tj[η(t)]
ρ(t) k22(x−t)dtdx
= −i Zb
a
ρ(x)Un[η(x)]f2(x)dx.
(2.35)
Ký hiệu
Pnj = 2i (b−a)αn
Zb a
ρ(x)Tn[η(x)]
Zb a
ρ(t)Uj[η(t)]k11(x−t)dtdx, (2.36)
Qnj = 2i (b−a)αn
Zb a
ρ(x)Tn[η(x)]
Zb a
Tj[η(t)]
ρ(t) k12(x−t)dtdx, Rnj = i(b−a)
−2βn
Zb a
ρ(x)Un[η(x)]
Zb a
ρ(t)Uj [η(t)]k21(x−t)dtdx,
Snj = i(b−a)
−2βn
Zb a
ρ(x)Un[η(x)]
Zb a
Tj[η(t)]
ρ(t) k22(x−t)dtdx, F1n = −2
(b−a)αn
Zb a
ρ(x)Tn[η(x)]f1(x)dx, (2.37)
F2n = b−a
−2βn
Zb a
ρ(x)Un[η(x)]f2(x)dx. (2.38)
Khi đó hệ phương trình (2.35) được biểu diễn dưới dạng
An−1 + X∞
j=0
AjPnj + X∞
j=1
BjQnj = F1n (n = 1,2, . . .), Bn+1 +
X∞ j=0
AjRnj + X∞
j=1
BjSnj = F2n (n = 0,1,2, . . .).
(2.39)
Định lý 2.5. [5]. Hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) và hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.39) là tương đương. Nếuρ(t)
X∞ j=0
AjUj[η(t)] ∈ Ho1/2(a, b) thì hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.39) sẽ tương đương với hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.20).
Chứng minh. Giả sử v1(t) ∈ L2ρ(a, b), v2(t) ∈ L2ρ−1(a, b) là nghiệm của hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30).
Ta có
v1(t) =ρ(t)χ1(t) = ρ(t) X∞
j=0
AjUj[η(t)],
v2(t) = χ2(t)
ρ(t) = 1 ρ(t)
X∞ j=1
BjTj [η(t)].
Sử dụng các biến đổi ở trên ta đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.30) đối với v1(t), v2(t) về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.39) đối với {Aj}∞j=1 và {Bj}∞j=1.
Ngược lại, ta sẽ chứng minh từ hệ phương trình (2.39) suy ra hệ phương trình (2.30).
Giả sử {Aj}∞j=1 ∈ ℓ2 và {Bj}∞j=1 ∈ ℓ2 là nghiệm của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.39), ta biến đổi hệ phương trình (2.39) về hệ phương trình (2.34). Sử dụng biểu thức phổ (2.28) vào hệ phương trình (2.34) ta thu được hệ phương trình (2.33). Tiếp theo ta hoán vị thức tự lấy tổng và tích phân, với kí hiệu (2.31), (2.32) ta thu được hệ phương trình (2.30).
Ta thay χ1(t) = v1(t)
ρ(t) , χ2(t) = v2(t)ρ(t) ta thu được hệ phương trình kỳ dị (2.20) đối với v1(t), v2(t). Định lý được chứng minh.
Ta kí hiệu
Y2j+1 = Aj (j = 0,1,2, . . .), Y2j = Bj (j = 1,2,3, . . .),
G2n−1 = F1n(n= 1,2, . . .), G2n+2 = F2n,(n= 0,1,2, . . .), (2.40) D2n−1,2j+1 = Pnj, D2n−1,2j = Qnj,(n= 1,2, . . .;j = 0,1, . . .), (2.41) D2n+2,2j+1 = Rnj, D2n+2,2j = Snj,(n= 0,1, . . .;j = 0,1, . . .). (2.42) Khi đó hệ phương trình (2.39) viết được dưới dạng
Yn+
X∞ j=1
Dn,jYj = Gn, n= 1,2,3, . . . .
(2.43)
Bổ đề 2.3. [10], [11]. Bất đẳng thức sau đây luôn là bất đẳng thức đúng
|Dn,j| ≤ L
n2j2,(n ≥ 2, j ≥ 2), (2.44) trong đó L là hằng số dương nào đó. Nếu các đạo hàm fm(k)(x), m = 1,2 là các hàm liên tục trên [a, b] thì bất đẳng thức sau cũng luôn đúng
|Gn| ≤ L
nk (n = 1,2, . . .;k = 0,1, . . .). (2.45) Chứng minh. Trong biểu thức (2.36) ta sử dụng phép biến đổi biến số
x = 1
2[(b−a) cosθ+ a+ b], t = 1
2[(b−a) cosϕ+a+b]
và sử dụng công thức (2.25), ta có Pnj =
b−a 2
2Zπ 0
sinθsin(n+ 1)θdθ Zπ
0
cosjϕk11[σ(cosθ−cosϕ)]dϕ, (2.46) trong đó σ = b−a
2 .Kí hiệu tích phân trong công thức (2.46) là K11(cosθ) và sử dụng phương pháp tích phân từng phần hai lần ta được
K11(cosθ) = σ2 j(j −1)
Zπ 0
sin(j −1)ϕsinϕk′′11[σ(cosθ−cosϕ)]dϕ
− σ2 j(j + 1)
Zπ 0
sin(j+ 1)ϕsinϕk11′′ [σ(cosθ−cosϕ)]dϕ. (2.47) Vì k11(x) là hàm khả vi vô hạn và bị chặn trên [a, b], khi đó từ (2.47) ta có kết quả sau
|K11(cosθ)| ≤ L
j2,(j ≥ 2). (2.48)
Xét tích phân
Hnj(11) :=
Zπ 0
sinθsin(n+ 1)θK11(cosθ)dθ.
Hoàn toàn tương tự ta có
Hnj(11) ≤ L
n2,(n≥ 2). (2.49)
Từ (2.48) và (2.49) ta suy ra Pnj ≤ L
n2j2 (n ≥ 2, j ≥ 2). Ta có kết quả tương tự cho Qnj, Rnj, Snj. Sử dụng (2.41) và (2.42) ta suy ra (2.44). Bất đẳng thức (2.45) được chứng minh hoàn toàn tương tự. Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.6. [10], [11]. Giả sử f1(x) và f2(x) là các hàm số đã cho, giả thiết rằng {Gn}∞n=1, được xác định bởi (2.37), (2.38) và (2.40) thuộc không gian ℓ2. Khi đó hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.43) có nghiệm duy nhất {Yn}∞n=1 ∈ ℓ2. Hệ phương trình này là hệ tựa hoàn toàn chính quy.
Chứng minh. Ký hiệu H là ma trận vô hạn ở vế trái của phương trình (2.43). Từ bất đẳng thức (2.44) ta suy ra hệ cặp chuỗi trong thành phần của H là hội tụ, do đó H là toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert ℓ2. Do vậy, hệ vô hạn (2.43) là hệ phương trình Fredhom trong ℓ2. Tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình này được suy ra từ tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình (2.10). Như vậy, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.43) có duy nhất nghiệm thuộc không gian ℓ2. Với mỗi số n = N đủ lớn, ta có
X∞ j=1
|Dn,j| ≤ L n2
X∞ j=1
1
j2 ≤ 1−θ <1 (n = N + 1, N + 2, . . .).
Do đó hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.43) là hệ tựa hoàn toàn chính quy. Định lý được chứng minh.
Kết luận
Luận văn đã trình bày về một số kết quả sau đây:
1. Trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, các đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vectơ.
2. Trình bày tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier:
- Đưa bài toán biên hỗn hợp về hệ phương trình cặp tích phân Fourier.
- Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các hệ phương trình cặp tích phân Fourier trong các không gian Sobolev vectơ thích hợp.
- Đưa các hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy.
- Đưa tiếp các hệ phương trình tích phân về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Đánh giá được các hệ số của các hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đó và chứng minh các hệ phương trình đó có duy nhất nghiệm thuộc không gian ℓ2, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đó là hệ tựa hoàn toàn chính quy.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt
[1] Ngô Thị Thanh (2015) “ Giải gần đúng hệ phương trình tích phân kỳ dị của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier”.
Tài liệu tiếng Anh
[2] Brychkov U. A. and Prudnikov A. P. (1997), Generalized integral transformations, Nauka, Moscow.
[3] Duduchava R. (1979),Integral Equations with Fixed Singlarites, Teub- ner Verlagsgesellscohaft, Leipzig.
[4] Eskin G. I. (1973), Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodif- ferential Equations, Nauka, Moscow, (in Russia).
[5] Kantorovich L.V., Krylov Yu.A. (1962), Approximate Methods in Higher Analysis, Fizmatgiz, Moscow, (in Russia).
[6] Krylov V.I. (2006), Approximate Calculation of Integrals, Dover Publi- cation INC.
[7] Lions J.L., Magenes E. (1968), Problems aux limites non homogenes et applications, Volume 1, Dunod- Pris.
[8] Nguyen Van Ngoc (1988), “On the solvability of dual integral equa- tions involving Fourier Transforms”, Acta Math. Vietnamica, 13(2), pp. 21-30.