º gi£i B i to¡n (2.1), c¡c t¡c gi£ T.M. Tuyen v N.S. Ha ¢ ÷a ra ph÷ìng phĂp l°p dữợi Ơy:
Phữỡng phĂp l°p 2.1. Vợi mội phƯn tỷ ban Ưu x0 = x ∈ E, xĂc ành dÂy {xn} bði
yi,n = ΠCixn, i = 1,2, ..., N,
Chồn in sao cho ∆p(yin,n, xn) = max
i=1,...,N∆p(yi,n, xn), °t yn = yin,n, zj,n =Jq∗[Jp(yn)−tnA∗Jp(I −PQj)A(yn)], j = 1,2, ..., M
Chồn jn sao cho ∆p(zjn,n, yn) = max
j=1,...,M∆p(zj,n, yn), °t zn = zjn,n, tk,n =Tk(zn), k = 1,2, ..., K,
Chồn kn sao cho ∆p(tkn,n, zn) = max
k=1,...,K∆p(tk,n, zn), °t tn =tkn,n, Hn ={z ∈E : ∆p(tn, z) ≤∆p(zn, z) ≤ ∆p(yn, z) ≤ ∆p(xn, z)}, Dn ={z ∈E : hxn−z, Jp(x0)−Jp(xn)i ≥0},
xn+1 = ΠHn∩Dn(x0), n≥ 0,
trong õ dÂy số {tn} thọa mÂn iãu kiằn (1.16).
Trong t i liằu tham khÊo [17], º chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa Phữỡng phĂp l°p 2.1, cĂc tĂc giÊ T.M. Tuyen v N.S. Ha  lƯn lữủt phĂt biºu v chựng minh cĂc mằnh ã dữợi Ơy.
Mằnh ã 2.2.1. Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ S ⊂ Hn∩Dn vợi mồi n≥ 0. Chựng minh. Trữợc hát, dạ thĐy Hn v Dn l cĂc têp con lỗi v õng cừa E.
L§y u ∈S, ta câ
∆p(tn, u) = ∆p(Tkn(zn), u) ≤ ∆p(zn, u). (2.2) Tứ tẵnh chĐt cừa ph²p chiáu Bregman (1.15), ta cõ
∆p(yn, u) = ∆p(ΠCin(xn), u) ≤∆p(xn, u). (2.3)
B¥y gií, ta ch¿ ra ∆p(zn, u) ≤ ∆p(yn, u). °t wn = A(yn)−PQjnA(yn). Khi â ta câ
zn = Jq∗(Jp(yn)−tnA∗Jp(wn)).
Tứ ành nghắa cừa Jp v (1.14), ta cõ
hA(yn)−A(u), Jp(wn)i=kA(yn)−PQjnA(yn)kp
+hPQjnA(yn)−A(u), Jp(wn)i
≥ kwnkp.
(2.4)
Do õ, tứ Mằnh ã 1.2.5 v (2.4), ta nhên ữủc
∆p(zn, u) = ∆p(Jq∗(Jp(yn)−tnA∗Jp(wn)), u)
= 1
qkJp(yn)−tnA∗Jp(wn)kq − hu, Jp(yn)i +tnhA(u), Jp(wn)i+ 1
pkukp
≤ 1
qkJp(yn)kq −tnhAyn, Jp(wn)i+ Cq(tnkAk)q
q kJp(wn)kq
− hu, Jp(yn)i+tnhAu, Jp(wn)i+ 1 pkukp
= 1
qkynkq − hu, Jp(yn)i+ 1
pkukp+tnhA(u)−A(yn), Jp(wn)i + Cq(tnkAk)q
q kwnkq
= ∆p(yn, u) +tnhA(u)−A(yn), Jp(wn)i+ Cq(tnkAk)q
q kwnkq
≤∆p(yn, u)−(tn− Cq(tnkAk)q
q )kwnkp. Tứ iãu kiằn (1.16), ta thu ữủc
∆p(zn, u) ≤ ∆p(yn, u). (2.5) Do vêy, tứ (2.2), (2.3) v (2.5), suy ra u∈Hn. Vẳ vêy S ⊂ Hn vợi mồi n ≥0.
Cuối cũng ta ch¿ ra S ⊂ Dn vợi mồi n ≥ 0.Thêt vêy, vẳ D0 = E, nản S ⊂ D0. GiÊ sỷ S ⊂ Dn vợi n ≥ 0 n o õ, khi õ S ⊂ Hn ∩Dn. Do õ, tứ xn+1 = ΠHn∩Dn(x0) v (1.14), ta câ
hxn+1−u, Jp(x0)−Jp(xn+1)i ≥0,
iãu n y suy ra u ∈ Dn+1. bơng quy nÔp toĂn hồc, ta nhên ữủc S ⊂ Dn vợi mồi n ≥0.
Mằnh ã ữủc chựng minh.
Mằnh ã 2.2.2. Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ xn+1−xn → 0 khi n→ ∞. Chựng minh. Tứ Mằnh ã 2.2.1, suy ra dÂy {xn} l ho n to n xĂc ành.
Cố ành u∈ S. Tứ xn+1 = ΠHn∩Dn(x0) v (1.15) suy ra
∆p(xn+1, u) ≤∆p(x0, u). (2.6) Do õ, dÂy {∆p(xn, u)} bà ch°n. Vẳ vêy, tứ (1.12), suy ra dÂy {xn} cụng bà ch°n.
Tiáp theo, tứ xn+1 ∈Dn v ành nghắa cừa têp hủp Dn, ta cõ
hxn−xn+1, Jp(x0)−Jp(xn)i ≥ 0. (2.7) Do vêy, ta nhên ữủc
hxn−x0, Jp(x0)−Jp(xn)i ≥ hxn+1−x0, Jp(x0)−Jp(xn)i. (2.8) Do õ, tứ (1.12), ta cõ
hxn+1−x0, Jp(x0)−Jp(xn)i ≥ ∆p(xn, x0) + ∆p(x0, xn). (2.9) Vẳ vêy, tứ (1.11), ta nhên ữủc
−∆p(xn, xn+1) + ∆p(xn, x0) + ∆p(x0, xn+1) ≥∆p(xn, x0) + ∆p(x0, xn).
iãu n y tữỡng ữỡng vợi
∆p(x0, xn+1) ≥ ∆p(x0, xn) + ∆p(xn, xn+1), (2.10) suy ra {∆p(x0, xn)} l dÂy tông. Do õ, tứ tẵnh bà ch°n cừa {∆p(x0, xn)}, tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn
a= lim
n→∞∆p(x0, xn).
Vẳ vêy, tứ (2.10), ta thu ữủc lim
n→∞∆p(xn, xn+1) = 0. Tứ (1.12) suy ra
n→∞lim kxn+1−xnk= 0.
Mằnh ã ữủc chựng minh.
Mằnh ã 2.2.3. Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, cĂc dÂy {xn −yn}, {xn −zn} v {xn −tn} hởi tử vã 0 khi n → ∞.
Chựng minh. Vẳ xn+1 ∈Hn, nản ta cõ
∆p(tn, xn+1) ≤ ∆p(zn, xn+1) ≤∆(yn, xn+1) ≤ ∆(xn, xn+1).
Do õ, tứ Mằnh ã 2.2.2 (∆(xn, xn+1) → 0), ta thu ữủc
∆p(tn, xn+1) → 0, ∆p(zn, xn+1)→ 0, ∆(yn, xn+1)→ 0.
Tứ (1.12) suy ra
kxn+1−tnk →0, kxn+1−znk →0, kxn+1−ynk →0 kát hủp vợi kxn+1−xnk →0, ta nhên ữủc
xn−tn → 0, xn −zn →0, v xn −yn → 0.
Mằnh ã 2.2.4. Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ ωw(xn) ⊂ S, ð Ơy ωw(xn) l têp cĂc iºm tử yáu cừa dÂy {xn}.
Chựng minh. Ró r ng, ωw(xn) 6=∅ vẳ dÂy {xn} bà ch°n. LĐy x¯∈ωw(xn), khi õ tỗn tÔi mởt dÂy con {xnk} cừa dÂy {xn} hởi tử yáu vã x¯.
Ta chựng minh mằnh ã n y theo cĂc bữợc sau:
Bữợc 1. x¯∈
K
\
k=1
F(Tk)
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ tn −zn → 0 v do õ ∆p(tn, zn) → 0. Tứ cĂch xĂc ành phƯn tỷ tn, ta nhên ữủc ∆p(tk,n, zn) → 0, tực l ∆p(Tk(zn), zn) → 0 vợi mồi k = 1,2, ..., K. Suy ra x¯ ∈ Fˆ(Tk) = F(Tk) vợi mồi k = 1,2, ..., K. Do vêy
¯ x∈
K
\
k=1
F(Tk).
Bữợc 2. x¯∈
N
\
i=1
Ci
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ ∆p(yn, xn) → 0. Do õ, tứ cĂch xĂc ành phƯn tỷ yn suy ra ∆p(yi,n, xn) → 0 v vẳ vêy
kyi,n−xnk →0, (2.11)
vợi mồi i = 1,2, ..., N.
Ta cƯn ch¿ ra rơng ∆p(¯x,ΠCi(¯x)) = 0 vợi mồi i = 1,2, ..., N. Thêt vêy, tứ (1.11), (1.14) v (1.12), ta nhên ữủc Ănh giĂ sau
∆p(¯x,ΠCi(¯x)) ≤ h¯x−ΠCix, J¯ p(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i
=h¯x−xnk, Jp(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i
+hxnk −ΠCi(xnk), Jp(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i +hΠCi(xnk)−ΠCi(¯x), Jp(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i
≤ h¯x−xnk, Jp(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i
+hxnk −ΠCi(xnk), Jp(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i
=h¯x−xnk, Jp(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i +hxnk −yi,nk, Jp(¯x)−Jp(ΠCi(¯x))i.
Tứ (2.11), cho k → ∞ ta nhên ữủc ∆p(¯x,ΠCi(¯x)) = 0 vợi mồi i = 1,2, ..., N, tực l x¯∈Ci vợi mồi i = 1,2, ..., N hay x¯∈
N
\
i=1
Ci. Bữợc 3. x¯∈
M
\
j=1
A−1Qj
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ ∆p(zn, yn) → 0. Do õ, tứ cĂc xĂc ành phƯn tỷ zn, ta nhên ữủc ∆p(zj,n, yn) → 0 v vẳ vêy ta thu ữủc
kzj,n−ynk →0, (2.12)
vợi mồi j = 1,2, ..., M.
Vẳ E l khổng gian Banach trỡn ãu, nản Ănh xÔ ối ngău Jp liản tửc ãu trản cĂc têp con bà ch°n (xem [9, ành lỵ 2.16]) v do õ ta cõ
tnA∗Jp(I −PQj)A(yn) =Jp(yn)−Jp(zj,n)→ 0.
Vẳ 0< t≤ tn vợi mồi n, nản ta nhên ữủc
kA∗Jp(I −PQj)A(yn)k →0. (2.13) BƠy giớ ta cố ành u ∈ S, khi õ A(u) ∈ Qj vợi mồi j = 1,2, ..., M. Tứ (1.14) suy ra
k(I −PQj)A(ynk)kp =h(I −PQj)A(ynk), Jp(I −PQj)A(ynk)i
=hA(ynk)−A(u), Jp(I −PQj)A(ynk)i +hA(u)−PQjA(ynk), Jp(I −PQj)A(ynk)i
≤ hA(ynk)−A(u), Jp(I −PQj)A(ynk)i
≤K0k(I −PQj)A(ynk)kp−1, iãu n y kát hủp vợi (2.13), ta nhên ữủc
k(I −PQj)A(ynk)k →0 (2.14) vợi mồi j = 1,2, ..., M, ð Ơy K0 =kAk(supkkynkk+kuk) <∞.
Tứ (1.14), ta cõ
k(I −PQj)A(¯x)kp =hA(¯x)−PQjA(¯x), Jp(A(¯x)−PQjA(¯x))i
=hA(¯x)−A(ynk), Jp(A(¯x)−PQjA(¯x))i +hA(ynk)−PQjA(¯x), Jp(A(¯x)−PQjA(¯x))i +hPQjA(¯x)−A(ynk), Jp(A(¯x)−PQjA(¯x))i
≤ hA(¯x)−A(ynk), Jp(A(¯x)−PQjA(¯x))i
+hA(ynk)−PQjA(¯x), Jp(A(¯x)−PQjA(¯x))i.
Tứ tẵnh liản tửc cừa A, xn −yn → 0 v xnk * x¯, suy ra A(ynk)* A(¯x). Do õ, cho k → ∞ v sỷ dửng (2.14), ta nhên ữủc
kA(¯x)−PQjA(¯x)k= 0, vợi mồi j = 1,2, ..., M, tực l A(¯x) ∈
M
\
j=1
A−1Qj.
Do õ, tứ cĂc Bữợc 1, Bữợc 2 v Bữợc 3, ta nhên ữủc x¯∈S. Vẳ x¯l bĐt ký, nản ωw(xn) ⊂S.
Mằnh ã ữủc chựng minh.
Sỹ hởi tử mÔnh cừa Phữỡng phĂp l°p 2.1 ữủc cho trong ành lỵ dữợi Ơy:
ành lỵ 2.2.5. Trong Thuêt toĂn 2.1, dÂy {xn} hởi tử mÔnh vã x† = ΠS(x0), khi n → ∞.
Chựng minh. GiÊ sỷ {xnk} l mởt dÂy con cừa {xn} sao cho xnk * x∗. Khi õ tứ Mằnh ã 2.2.4, ta cõ x∗ ∈S.
Vẳ xn+1 = ΠHn∩Dn(x0), nản xn+1 ∈ Dn. Do õ, tứ ΠS(x0) ∈S ⊂ Dn, ta cõ
∆p(xn+1, x0) ≤∆p(ΠSx0, x0), kát hủp vợi ∆p(xn+1, x0) ≥∆p(xn, x0), ta nhên ữủc
∆p(xn, x0) ≤∆p(ΠSx0, x0), ∀n ≥0. (2.15) Do vêy, tứ (1.10), (1.11) and (2.15), ta thu ữủc
∆p(xnk,ΠS(x0)) = ∆p(xnk, x0) + ∆p(x0,ΠS(x0)) +hxnk −x0, Jp(x0)−Jp(ΠS(x0))i
≤ ∆p(ΠS(x0), x0) + ∆p(x0,ΠS(x0)) +hΠS(x0)−x0, Jp(x0)−Jp(ΠS(x0))i +hxnk −ΠS(x0), Jp(x0)−Jp(ΠS(x0))i
= hxnk −ΠS(x0), Jp(x0)−Jp(ΠS(x0))i.
Vẳ vêy, ta cõ lim sup
k→∞
∆p(xnk,ΠS(x0))≤ lim sup
k→∞
hxnk −ΠS(x0), Jp(x0)−Jp(ΠS(x0))i
≤ hx∗−ΠS(x0), Jp(x0)−Jp(ΠS(x0))i ≤0, suy ra lim
k→∞∆p(xnk,ΠS(x0)) = 0 v do õ tứ (1.12) ta cõxnk → ΠS(x0) . Tứ tẵnh duy nhĐt cừa hẳnh chiáu Bregman ΠS(x0), suy ra dÂy {xn}hởi tử yáu vãΠS(x0). Tứ (1.12), tỗn tÔi τ >0 sao cho
τkxn−ΠS(x0)k ≤ hxn −ΠS(x0), Jp(x0)−Jp(ΠS(x0))i.
Cho n → ∞, ta nhên ữủc xn → x† = ΠS(x0).
Tiáp theo, tứ ành lỵ 2.2.5, ta cõ cĂc hằ quÊ dữợi Ơy. Trữợc hát, õ l mởt phữỡng phĂp l°p º giÊi b i toĂn (MSSFP) trong hai khổng gian Banach.
Hằ quÊ 2.2.6. Cho Ci, i = 1,2, ..., N v Qj, j = 1,2, ..., M l cĂc têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa hai khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu E v F, tữỡng ựng. Cho A : E → F l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n. GiÊ sỷ
S = N
\
i=1
Ci
\ M
\
j=1
A−1(Qj)
6= ∅. Náu dÂy số {tn} thọa mÂn iãu kiằn (1.16), thẳ dÂy {xn} xĂc ành bði x0 ∈E v
yi,n = ΠCi(xn), i= 1,2, ..., N,
Chồn in sao cho ∆p(yin,n, xn) = max
i=1,...,N∆p(yi,n, xn), °t yn =yin,n, zj,n =Jq∗[Jp(yn)−tnA∗Jp(I −PQj)A(yn)], j = 1,2, ..., M
Chồn jn sao cho ∆p(zjn,n, yn) = max
j=1,...,M∆p(zj,n, yn), °t zn =zjn,n, Hn ={z ∈E : ∆p(zn, z)≤ ∆p(yn, z)≤ ∆p(xn, z)},
Dn ={z ∈E : hxn−z, Jp(x0)−Jp(xn)i ≥ 0}, xn+1 = ΠHn∩Dn(x0), n≥ 0,
hởi tử mÔnh vã x† = ΠS(x0), khi n→ ∞.
Chựng minh. p dửng ành lỵ 2.2.5 vợi Tk(x) = x vợi mồi x ∈ E v mồi k = 1,2, ..., K, ta nhên ữủc iãu phÊi chựng minh.
Cuối cũng, ta cõ kát quÊ dữợi Ơy cho b i toĂn tẳm mởt iºm bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn toĂn tỷ L-BSNE trong khổng gian Banach.
Hằ quÊ 2.2.7. Cho E l mởt khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu. Cho Tk : E → E, k = 1,2, ..., K l mởt hồ hỳu hÔn cĂc toĂn tỷ Bregman khổng giÂn m¤nh tr¡i sao cho Fˆ(Tk) = F(Tk) v S =
K
\
k=1
F(Tk) 6= ∅. Khi â d¢y {xn} x¡c ành bði x0 ∈E v
tk,n =Tk(xn), k = 1,2, ..., K,
Chồn kn sao cho ∆p(tkn,n, xn) = max
k=1,...,K∆p(tk,n, xn), °t tn =tkn,n, Hn = {z ∈ E : ∆p(tn, z) ≤∆p(xn, z)},
Dn = {z ∈ E : hxn −z, Jp(x0)−Jp(xn)i ≥0}, xn+1 = ΠHn∩Dn(x0), n≥0,
hởi tử mÔnh vã x† = ΠS(x0), khi n→ ∞.
Chựng minh. p dửng ành lỵ 2.2.5 vợi E ≡ F v Ci = Qj = E vợi mồi i = 1,2, ..., N, j = 1,2, ..., M v A =I, ta nhên ữủc iãu phÊi chựng minh.