Từ Định lý 2.1, ta có một số kết quả dưới đây cho việc tìm nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát.
Định lí 2.2. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F : C ×C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-A(5) và cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho B : C −→ B là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh. Cho S : C −→ H là một ánh xạ không giãn sao choΩ = F ix(S)∩GM EP(F, ϕ, B) 6=∅. Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn}, {un} và {zn} là các dãy được xác định bởi
x1 =x∈C,
F(un, y) +ϕ(y)ưϕ(un) +hBxn, yưuni +1
rnhy −un, un −xni ≥ 0, ∀y ∈C, zn = (1−αn −βn)xn +αnun+βnSun, Cn ={z ∈C : kzn−zk ≤ kxn −zk}, Qn = {z ∈ C : hxn−z, x−xni ≥0}, xn+1 =PCn∩Qnx, ∀n ≥1,
trong đó {rn} ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0,2α) và {αn}, {βn} là các dãy nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện:
(i) αn+βn <1 với mọi n ≥1;
(ii) limn→∞αn = 0;
(iii) lim infn→∞βn >0.
Khi đó, các dãy {xn}, {un} và {zn} cùng hội tụ mạnh về w =PΩx.
Chứng minh. Trong Định lý 2.1, lấy A= 0 ta nhận được điều phải chứng minh.
Định lí 2.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F : C ×C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-A(5) và cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho B : C −→ B là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh. Cho S : C −→ H là một ánh xạ không giãn sao choΩ = F ix(S)∩GM EP(F, ϕ, B) 6=∅. Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn}, {un} và {zn} là các dãy được xác định bởi
x1 =x∈C,
F(un, y) +ϕ(y)ưϕ(un) +hBxn, yưuni +1
rnhy −un, un −xni ≥ 0, ∀y ∈C, zn = (1−βn)xn +βnSun,
Cn ={z ∈C : kzn−zk ≤ kxn −zk}, Qn = {z ∈ C : hxn−z, x−xni ≥0}, xn+1 =PCn∩Qnx, ∀n ≥1,
trong đó {rn} ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0,2α) và {βn} là dãy nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện limn→∞αn = 0. Khi đó, các dãy {xn}, {un} và {zn} cùng hội tụ mạnh về w= PΩx.
Chứng minh. Trong Định lý 2.1, lấy A = 0 và αn = 0 với mọi n ≥ 1 ta nhận được điều phải chứng minh.
Định lí 2.4. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F : C ×C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-A(5) và cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz và cho B : C −→ B là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh. Cho S : C −→ H là một ánh xạ không giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩V I(C, A)∩GM EP(F, ϕ, B) 6= ∅. Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn}, {un}, {yn} và {zn} là các dãy được
xác định bởi
x1 =x∈C,
F(un, y) +ϕ(y)ưϕ(un) +hBxn, yưuni +1
rnhy −un, un −xni ≥ 0, ∀y ∈C, yn =PC(xn−λnAun),
zn = (1−βn)xn +βnSPC(un−λnAyn), Cn ={z ∈C : kzn−zk ≤ kxn −zk}, Qn = {z ∈ C : hxn−z, x−xni ≥0}, xn+1 =PCn∩Qnx, ∀n ≥1,
trong đó {λn} ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, 1
4k), {rn} ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0,2α) và {βn} là dãy nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện lim infn→∞βn > 0. Khi đó, các dãy {xn}, {un}, {yn} và {zn} cùng hội tụ mạnh về w=PΩx.
Chứng minh. Trong Định lý 2.1, lấy βn = 1 và αn = 0 với mọi n ≥ 1 ta nhận được điều phải chứng minh.
Định lí 2.5. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F : C ×C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-A(5) và cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz và cho B : C −→ B là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh sao cho Ω = V I(C, A)∩GM EP(F, ϕ, B) 6= ∅.
Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn}, {un}, {yn} và {zn} là các dãy được xác định bởi
x1 =x∈C,
F(un, y) +ϕ(y)ưϕ(un) +hBxn, yưuni +1
rnhy −un, un −xni ≥ 0, ∀y ∈C, yn =PC(xn−λnAun),
zn =PC(un −λnAyn),
Cn ={z ∈C : kzn−zk ≤ kxn −zk}, Qn = {z ∈ C : hxn−z, x−xni ≥0}, xn+1 =PCn∩Qnx, ∀n ≥1,
trong đó {λn} ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, 1
4k), {rn} ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0,2α) và {βn} là dãy nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện lim infn→∞βn > 0. Khi đó, các dãy {xn}, {un}, {yn} và {zn} cùng hội tụ mạnh về w=PΩx.
Chứng minh. Trong Định lý 2.1, lấy S =I,βn =γn = 1vàαn = 0với mọin ≥ 1 ta nhận được điều phải chứng minh.
Định lí 2.6. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F : C ×C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-A(5) và cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz và cho B : C −→ B là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh sao cho Ω = V I(C, A)∩GM EP(F, ϕ, B) 6= ∅.
Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn}, {un}, {yn} và {zn} là các dãy được xác định bởi
x1 =x∈ C,
F(un, y) +ϕ(y)ưϕ(un) +hBxn, yưuni + 1
rnhyưun, unưxni ≥0, ∀y ∈C, yn = (1−γn)un +γnPC(xn−λnAun), zn = PC(un−λnAyn),
Cn ={z ∈ C : kzn −zk2 ≤ kxn−zk2+ (3−3γn)b2kAunk2}, Qn ={z ∈C : hxn −z, x−xni ≥0},
xn+1 = PCn∩Qnx, ∀n ≥1, trong đó {λn} ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, 1
4k), {rn} ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0,2α), {γn} là dãy nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện limn→∞γn = 1 và γn > 3/4 với mọi n ≥ 1. Khi đó, các dãy {xn}, {un}, {yn} và {zn} cùng hội tụ mạnh về w= PΩx.
Chứng minh. Trong Định lý 2.1, lấy S =I, βn = 1 và αn = 0 với mọi n ≥ 1 ta nhận được điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1. Cho T : C −→C là một ánh xạ từ tập con lồi và đóng C vào chính nó. Ta nói rằng T là ánh xạ giả co nếu
hT x−T y, x−yi ≤ kx−yk2 với mọi x, y ∈C.
Chú ý 2.1. Ta biết rằng lớp ánh xạ giả co chứa thực sự lớp ánh xạ không giãn, tức là mọi ánh xạ không giãn đều là ánh xạ giả co và có những ánh xạ là giả co nhưng không phải là ánh xạ không giãn. Ngoài ra, ta cũng biết rằng nếu T là một ánh xạ giả co, thì A = I −T là một toán tử đơn điệu, Lipschitz và F ix(T) =V I(C, A).
Ta có định lý dưới đây cho bài toán tìm một phần tử thuộc giao của tập điểm bất động của ánh xạ giả co T, tập điểm bất động của ánh xạ không giãn S và tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát.
Định lí 2.7. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho F : C×C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)- A(5) và cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới.
Cho T : C −→ C là một ánh xạ giả co và cho B : C −→ B là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh. Cho S : C −→ H là một ánh xạ không giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩F ix(T) ∩GM EP(F, ϕ, B) 6= ∅. Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc(B2) đúng. Cho {xn},{un}, {yn}và {zn}là các dãy được xác định bởi
x1 =x∈ C,
F(un, y) +ϕ(y)ưϕ(un) +hBxn, yưuni + 1
rnhyưun, unưxni ≥0, ∀y ∈C, yn = (1−γn)un +γnPC(xn−λn(un −T un)),
zn = (1−αn −βn)xn +αnyn+βnSPC(un −λn(yn −T yn)),
Cn ={z ∈ C : kzn −zk2 ≤ kxn−zk2+ (3−3γn +αn)b2kun−T unk2}, Qn ={z ∈C : hxn −z, x−xni ≥0},
xn+1 = PCn∩Qnx, ∀n ≥1,
trong đó {λn} ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0, 1
4k), {rn} ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0,2α) và {αn}, {βn}, {γn} là các dãy nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện:
(i) αn+βn <1 với mọi n ≥1;
(ii) limn→∞αn = 0;
(iii) lim infn→∞βn >0;
(iv) limn→∞γn = 1 và γn >3/4 với mọi n≥ 1.
Khi đó, các dãy {xn}, {un}, {yn} và {zn} cùng hội tụ mạnh về w=PΩx.
Chứng minh. Trong Định lý 2.1, với A = I −T ta nhận được điều phải chứng minh.