Từ đầu cho đến nay ta đã nghiên cứu liên phân số dưới góc độ đại số.
Tiếp theo ta cần tiếp cận một cách cụ thể hơn để hiểu sâu thêm về liên phân số. Vì thế, bây giờ ta sẽ xem xét liên phân số một cách trực quan hình học.
Để bắt đầu ta cần trình bày một số định nghĩa và định lý mà chúng sẽ giúp ta tìm được xấp xỉ tốt nhất loại hai cho một số vô tỉ α.
Định nghĩa 2.2.1. Để xác định các điểm trong mặt phẳng và các véc tơ, ta biểu thị chỳng bằng cỏc chữ A, B, C,ã ã ã ∈ R2 với cỏc quy ước sau.
i) O = (0,0) ∈ R2 là gốc.
ii) Nếu P, Q ∈ R2 là các điểm thì P Q = {P +t(Q−P) | t ∈ [0,1]} là đoạn thẳng nối từ P đến Q.
iii) |P Q| là kí hiệu cho độ dài của đoạn thẳng P Q, và kí hiệu chuẩn của P là kPk= |OP|.
iv) Nếu A= (q, p) ∈ R2 và q 6= 0 thì độ nghiêng của A là argA= p q.
Kí hiệu. Trong cả mục này ta sẽ giả sử rằng α ∈ R −Q, và theo Hệ quả 2.1.11, ta có thể giả sử thêm rằng α ∈ (0,1). Hơn nữa, đặt Z = (1, α) và
L = {(q, αq) | q ∈ R}
là đường thẳng với độ nghiêng α, và α = [a0;a1, a2, a3, . . .] có các giản phân là ck = Pk
Qk
, với k ∈ N.
Chú ý rằng vì α ∈ (0,1) nên a0 = 0. Với k ∈ N∪ {−1} ta đặt Ck là điểm xác đinh bởi Ck = (Qk, Pk) ∈ R2 và đặt C−1 = (0,1). Khi đó ta kí hiệu độ nghiêng của Ck là argCk = ck với k ∈ N và
Ci+1 =
Qi+1 Pi+1
= ai+1
Qi
Pi
+
Qi−1
Pi−1
= ai+1Ci +Ci−1
với mọi i ∈ Z+. Lưu ý rằng kí hiệu trên vẫn bảo đảm khi i = 0, vì ta vẫn có C1 =
Q1
P1
=
a1
a0a1 + 1
=
a1Q0 + 0 a1P0 + 1
= a1C0 +C−1. Định nghĩa 2.2.2. Trong mặt phẳng R2, cho các điểm P, Q, A. Khi đó i) Một lưới sinh ra bởi P và Q đó là tập hợp tất cả các điểm mP +nQ với mọi m, n ∈ Z, tức là tập ZP +ZQ.
ii) Một (P, Q)-nón dương đỉnh U đó là tập tất cả các điểm U +aP +bQ với mọi a, b ∈ Z+, tức là tập U + (Z+)P + (Z+)Q.
iii) Cho L là đường thẳng trong mặt phẳng R2 sao cho P /∈ L. Khi đó ta gọi khoảng cách từ A đến L theo hướng P là độ dài của đoạn thẳng nối A với điểm duy nhất A +aP thuộc L (với a ∈ R), và kí hiệu bởi dP(A, L). Khi P ⊥ L thì ta có khoảng cách trực giao d(A, L) = dP(A, L) (xem Hình 2.1).
Hình 2.1.
Định lý 2.2.3. Cho A, A′, P ∈ R2, với P /∈ L. Khi đó tỉ số dP(A, L)
dP(A′, L) không phụ thuộc vào hướng của P.
Chứng minh. Lấy θ là góc giữa đoạn thẳng nối điểm A đến điểm A+aP và đoạn thẳng nối điểm A đến hình chiếu vuông góc của nó lên L (Hình 2.2).
Hình 2.2.
Khi đó θ cũng bằng góc giữa đoạn thẳng nối điểm A′ đến điểm A′ +a′P và đoạn thẳng nối điểm A′ đến hình chiếu vuông góc của nó lên L. Do đó
dP(A, L) = d(A, L)
cosθ và dP(A′, L) = d(A′, L) cosθ . Suy ra
dP(A, L) dP(A′, L) =
d(A, L) cosθ d(A′, L)
cosθ
= d(A, L) d(A′, L) là số độc lập với θ, hay tỉ số
dP(A, L) dP(A′, L)
không phụ thuộc vào hướng của P. Vậy định lý được chứng minh.
Chú ý 2.2.4. i) Qua định lý trên ta thấy rằng ta hoàn toàn tự do khi chọn hướng để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng sao cho phù hợp.
Khi đó ta luôn đánh giá được điểm nào gần đường thẳng L hơn một số hữu hạn các điểm còn lại.
ii) Minh họa hình học xấp xỉ tốt nhất loại hai cho số vô tỉ α.
Cho L là đường thẳng có độ nghiêng α, tức L = {(q, αq) | q ∈ R}. Giả sử p là một xấp xỉ tốt nhất loại hai của α, nghĩa là |qα−p| < |q′α−p′| với mọiq (q′, p′) ∈ Z2 mà 1≤ q′ < q. Về mặt hình học, điều này tức là: trong số tất cả các điểm (q′, p′) của lưới nguyên Z2 với hoành độ thỏa mãn 1 ≤ q′ ≤ q, thì điểm(q, p) là điểm duy nhất gần nhất đường thẳngL theo hướng điểm(0,1). Ở đây khoảng cách từ (q′, p′) đến L theo hướng (0,1) bằng |q′α −p′| (Thật vậy, tồn tại 0 < θ < 1 để P = θA+ B = (0, θp′) + (q′,0) = (q′, θp′). Mặt khác P ∈ L nên θp′
q′ = α. Từ đó khoảng cách từ (q′, p′) đến L theo hương (0,1) bằng khoảng cách từ (q′, p′) đến điểm P, tức là nó bằng |p′ −θp′| =
|p′ −p′q′α
p′ | = |p′−αq′| = |αq′ −p′|). Vì thế người ta còn gọi (q, p) là điểm xấp xỉ tốt nhất loại hai của L (Hình 2.3).
Hình 2.3.
Ta cũng thấy rằng miền xét những điểm (q′, p′) như trên là các điểm nằm ngoài nón (q, p) + (Z+)A+ (Z+)B.
Định nghĩa 2.2.5. Ta xét quá trình xây dựng được minh họa ở Hình 2.4:
Cho một số vô tỉ α, và hai điểm nguyên A, B. Mục đích của ta là xây dựng điểm C như trong Hình vẽ 2.4, mà ta gọi là điểm ngoài của A, B và kí hiệu là C = C(A, B;α).
Hình 2.4.
Trước khi mô tả quá trình xây dựng điểm ngoài ta cần bổ đề sau đây cho ta một số tính toán kĩ thuật cần thiết liên quan đến điểm ngoài.
Bổ đề 2.2.6. Lấy L là đường thẳng có độ nghiêng α (0 < α < 1, α vô tỉ).
i) Giả sử L cắt hình bình hành OBF A ở gốc O và điểm P (điểm này thuộc đoạn BF). Giả sử L cắt đường AF kéo dài tại điểm Q. Khi đó tồn tại 0< θ < 1 để P = θA+B và Q = A+ 1
θB. (Xem Hình 2.5).
ii) Giả sử L cắt hình bình hành OBF A ở gốc O và điểm P (điểm này thuộc đoạn AF). Giả sử L cắt đường BF kéo dài tại điểm Q. Khi đó tồn tại 0< θ < 1 để P = A+θB và Q = B + 1
θA. (Xem Hình 2.6).
Chứng minh. i) Xét tam giác OBP với góc ở đỉnh O là β. Khi đó tam giác ORQ, với R = Q−A cũng là tam giác có góc ở đỉnh O là β. Theo định lý về các tam giác đồng dạng ta có
|BP|
kBk = |RQ|
kRk ⇔ θkAk
kBk = kAk
kRk ⇒ kRk = 1 θkBk.
Hình 2.5.
Do đó
R = kRk
kBkB = 1
θB nên Q = A+R = A+ 1 θB.
ii) Xét tam giác OAP với góc ở đỉnh O là γ. Khi đó tam giác ORQ, với R = Q−B cũng là tam giác có góc ở đỉnh O là γ.
Hình 2.6.
Theo định lý về các tam giác đồng dạng ta có
|AP|
kAk = |RQ|
kRk ⇔ θkBk
kAk = kBk
kRk ⇒ kRk = 1 θkAk. Do đó
R = kRk
kAkA = 1
θA nên Q= B +R = B + 1 θA.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 2.2.7 (Xây dựng điểm ngoài). Cho A và B là các điểm nguyên không âm. Giả sử α là số vô tỉ, α ∈ (0,1), argA > α > argB và L là đường
có độ nghiêng α (tức là L = {(q, qα) |q ∈ R}). Bây giờ ta sẽ xây dựng điểm ngoài của A và B là C = C(A, B;α) như sau.
i) Giả sửL cắt hình bình hành OBF A ở gốc O và ở điểm P (đó là giao điểm giữa L với đoạn BF). Lấy Q là giao điểm giữa L với phần kéo dài của đoạn AF. Khi đó theo Bổ đề 2.2.6, tồn tại 0 < θ < 1 để P = θA + B, và đồng thời lúc đó ta có Q = A+ 1
θB. Từ đó suy ra rằng điểm Q nằm trên cạnh của lưới và Q nằm giữa điểm C = A+⌊1
θ⌋B và G = B + C. Điều này kết thúc việc xây dựng điểm ngoài C = C(A, B;α) của A và B (xem Hình 2.7).
Hình 2.7.
ii) Giả sử L cắt hình bình hành OBF A ở gốc O và ở một điểm P (là giao điểm giữa L với đoạn AF). Cho Q là giao điểm giữa L với phần kéo dài của đoạn BF. Ta có P = θB +A, với 0< θ < 1, và định lý tam giác đồng dạng sẽ cho ta thấy rằng Q = B + 1
θA. Lưu ý rằng Q nằm trên cạnh lưới và nằm giữa C = B +⌊1
θ⌋A và G = A+C. Điều này kết thúc việc xây dựng điểm ngoài C = C(A, B;α) của A và B.
Định lý 2.2.8. Với mọi n ∈ Z mà n ≥ 0, khi đó các lưới ZCn−1 + ZCn và ZCn+ZCn+1 là như nhau, tức là với mọi n ∈ Z+ ta có
ZCn−1 +ZCn = ZCn+ ZCn+1.
Chứng minh. Trong không gian véc tơR2, ta chọn một cơ sở làb = {Ck−2, Ck−1}. Lấy M là ma trận được xác định bởi M = [[Ck−1]b [Ck]b] (trong đó [−]b là tọa độ cột của véc tơ "−" đối với cơ sở b). Bởi vì
Ck−1 = 0Ck−2 + Ck−1 và Ck = Ck−2 +akCk−1, nên ta có
M =
0 1 1 ak
.
Hơn nữa, do định thức detM = −1 (không phụ thuộc vào ak), suy ra Ck−1
và Ck là hai véc tơ độc lập tuyến tính của R2 (không phụ thuộc vào ak); vì vậy chúng tạo nên cơ sở mới là b′ = {Ck−1, Ck}. Rõ ràng M ∈ GL(2,Z) và ma trận nghịch đảo của M là M−1 cũng thỏa mãn M−1 ∈ GL(2,Z), bởi vì
M−1 =
−ak 1 1 0
.
Từ đó ta suy ra được
ZCk−2 +ZCk−1 = ZCk−1 + ZCk.
Vì đẳng thức trên không phụ thuộc vàoak nên nó cũng không phụ thuộc vào k ∈ Z+. Vậy đẳng thức
ZCn−1 +ZCn = ZCn+ ZCn+1
cũng đúng với mọi n∈ Z mà n ≥ 0. Định lý được chứng minh.
Từ định lý trên ta thấy rằng ta có thể chọn {Cn−1, Cn} làm cơ sở cho lưới nguyên Z2 với n nguyên không âm tùy ý.
Định lý 2.2.9. Với mọi số tự nhiên n, các kết luận sau đây là đúng.
i) Nếu n = 0 thì C1 = C(C−1, C0;α).
ii) Nếu n > 0 và n chẵn thì Cn+1 = C(Cn−1, Cn;α) (tức là xây dựng điểm ngoài của Cn−1, Cn bằng hình học cho ta điểm mới trùng với điểm Cn+1).
iii) Nếu n > 0 và n lẻ thì Cn+1 = C(Cn, Cn−1;α).
Chứng minh. i) Cho n = 0 và đặt A = C−1 = (0,1), B = C0 = (Q0, P0) = (1, a0) = (1,0) (vì a0 = 0), nên ta có argA > α > argB. Theo Bổ đề 2.2.6, ta có
P = B +θA = 1
θ
;
mặt khác lại vì P ∈ L = {(q, αq) | q ∈ R}, nên θ
1 = α hay θ = α = α0 = α0 −a0 = f rac(α0) (lưu ý α0 = α theo Định lý 1.2.5, và a0 = 0). Suy ra
P =
1 f rac(α0)
. Do đó ⌊1
θ⌋ = ⌊ 1
f rac(α0)⌋ = ⌊α1⌋ = a1. Từ đó ta có C1 = a1C0 + C−1 = ⌊1
θ⌋C0 +C−1 = C(C−1, C0;α), đó chính xác là biểu diễn đại số của C1.
ii) Xét trường hợp n chẵn dương.
+) Cho P ∈ BF và đặt A = Cn−1, B = Cn, nên theo Định lý 1.1.10 ta có argA = argCn−1 = cn−1 > α > cn = argCn = argB.
Ta cũng coi {A, B} là cơ sở của lưới nguyên Z2 (theo Định lý 2.2.8). Vì P ∈ BF nên theo Bổ đề 2.2.6 ta có
P = θA+ B = θCn−1 +Cn =
θQn−1 + Qn
θPn−1 + Pn
,
mà P ∈ L nên θPn−1 + Pn = α(θQn−1 + Qn). Mặt khác theo chứng minh của Định lý 1.2.5, ta có
α = αn+1Pn+Pn−1
αn+1Qn+Qn−1
,
do đó
θ = αQn −Pn
Pn−1 −αQn−1
=
(αn+1Pn+Pn−1
αn+1Qn+Qn−1)Qn−Pn
Pn−1 −( αn+1Pn +Pn−1
αn+1Qn +Qn−1
)Qn−1
= (αn+1Pn +Pn−1)Qn −Pn(αn+1Qn+Qn−1) Pn−1(αn+1Qn+Qn−1)−(αn+1Pn +Pn−1)Qn−1
= Pn−1Qn−PnQn−1
αn+1(Pn−1Qn−PnQn−1)
= 1 αn+1
= f rac(αn).
Vì vậy ⌊1
θ⌋ = ⌊ 1
f rac(αn)⌋ = ⌊αn+1⌋ = an+1. Do đó theo Định nghĩa 2.2.7 i) của quá trình xây dựng điểm ngoài của A và B ta có
C(Cn−1, Cn, α) =C(A, B;α) = A+⌊1 θ⌋B
= Cn−1 +⌊1 θ⌋Cn
= Cn−1 +an+1Cn = Cn+1.
Như vậy cách xây dựng điểm ngoài bằng hình học của Cn−1 và Cn cho ta một điểm mới trùng với điểm Cn+1.
+) Cho P ∈ AF và đặt A= Cn−1, B = Cn, nên theo Định lý 1.1.10, ta có argA = argCn−1 = cn−1 > α > cn = argCn = argB.
Do P ∈ AF nên P = A+ θB = Cn−1 +θCn =
θQn+Qn−1
θPn+Pn−1
, mà P ∈ L nên θPn+ Pn−1 = α(θQn+ Qn−1). Mặt khác theo chứng minh của Định lý
1.2.5, ta có α = αn+1Pn+ Pn−1
αn+1Qn+ Qn−1
nên
θ = αQn−1 −Pn−1
Pn−αQn
=
(αn+1Pn+Pn−1
αn+1Qn+Qn−1
)Qn−1 −Pn−1
Pn −( αn+1Pn +Pn−1
αn+1Qn +Qn−1
)Qn
= (αn+1Pn +Pn−1)Qn−1 −Pn−1(αn+1Qn+Qn−1) Pn(αn+1Qn+Qn−1)−(αn+1Pn +Pn−1)Qn
= αn+1PnQn−1 −Pn−1Qn
PnQn−1 −Pn−1Qn
= αn+1 = 1
f rac(αn) > 1,
điều này mâu thuẫn với 0< θ < 1. Vậy khi n chẵn thì P /∈ AF. iii) Xét trường hợp n lẻ dương.
+) Lấy P ∈ BF và đặt A = Cn, B = Cn−1. Ta có
argA = argCn = cn > α > cn−1 = argCn−1 = argB.
Khi đó có
P = θA+ B = θCn +Cn−1 =
θQn+ Qn−1
θPn+ Pn−1
,
mà P ∈ L nên ta còn có θPn+Pn−1 = α(θQn+Qn−1). Mặt khác theo chứng minh của Định lý 1.2.5, ta lại có
α = αn+1Pn+Pn−1
αn+1Qn+Qn−1
, nên suy ra
θ = αQn−1 −Pn−1
Pn−αQn
=
(αn+1Pn+Pn−1
αn+1Qn+Qn−1
)Qn−1 −Pn−1
Pn −( αn+1Pn +Pn−1
αn+1Qn +Qn−1
)Qn
= (αn+1Pn +Pn−1)Qn−1 −Pn−1(αn+1Qn+Qn−1) Pn(αn+1Qn+Qn−1)−(αn+1Pn +Pn−1)Qn
= αn+1
PnQn−1 −Pn−1Qn
PnQn−1 −Pn−1Qn
= αn+1 = 1
f rac(αn) > 1
điều này mâu thuẫn với 0< θ < 1. Vậy khi n lẻ thì P /∈ BF.
+) Cho P ∈ AF và đặt A= Cn, B = Cn−1, khi đó ta có argA= argCn > α > argCn−1 = argB.
Ta có
P = A+θB = Cn +θCn−1 =
θQn−1 + Qn
θPn−1 + Pn
, mà P ∈ L nên
θPn−1 +Pn = α(θQn−1 +Qn).
Mặt khác, theo chứng minh của Định lý 1.2.5, ta còn có α = αn+1Pn+Pn−1
αn+1Qn+Qn−1
nên suy ra
θ = αQn −Pn
Pn−1 −αQn−1
=
(αn+1Pn+Pn−1
αn+1Qn+Qn−1)Qn−Pn
Pn−1 −( αn+1Pn +Pn−1
αn+1Qn +Qn−1
)Qn−1
= (αn+1Pn +Pn−1)Qn −Pn(αn+1Qn+Qn−1) Pn−1(αn+1Qn+Qn−1)−(αn+1Pn +Pn−1)Qn−1
= Pn−1Qn−PnQn−1
αn+1(Pn−1Qn−PnQn−1)
= 1
αn+1 = f rac(αn);
vì vậy ⌊1
θ⌋= ⌊ 1
f rac(αn)⌋ = ⌊αn+1⌋= an+1. Do đó Cn+1 = an+1Cn+ Cn−1 = ⌊1
θ⌋Cn +Cn−1
= ⌊1
θ⌋A+B = C(A, B;α)
= C(Cn, Cn−1;α).
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.2.10. Ta minh họa việc xây dựng các điểm ngoài C−1, C0, C1, C2, C3, . . . đối với α =
√5−1
2 = [0; 1,1,1, . . .]. Rõ ràng 0< α < 1.
Hình 2.8.
C1 = C0 +C−1, C2 = C1 +C0, C3 = C2 + C1, C4 = C3 + C2, . . . . Ta thấy các điểm Ci ngày càng gần đường thẳng L hơn. Ở đây đường thẳng L = {(q, αq) | q ∈ R}. Các điểm Ci nằm trên L khi i lẻ; các điểm Ci nằm dưới khi i chẵn.
Kết luận
Luận văn đã trình bày và đạt được một số kết quả sau
1. Trình bày một số kiến thức cơ bản của liên phân số và một số ứng dụng của liên phân số trong toán sơ cấp như: giải phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn, giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn, giải phương trình Pell. Mỗi loại phương trình đều được nêu ra dạng và phương pháp giải của từng dạng, đồng thời đưa ra các ví dụ có lời giải minh họa cho phương pháp giải đó.
2. Trình bày về xấp xỉ tốt nhất loại một và xấp xỉ tốt nhất loại hai của một số vô tỉ dưới góc độ đại số trong mối liên hệ với liên phân số, tính chất của số hữu tỉ đủ gần một số vô tỉ, và việc có thể tìm được một số xấp xỉ tốt hơn nữa trong một vài trường hợp đặc biệt.
3. Luận văn cũng trình bày việc minh họa dưới góc độ hình học tính xấp xỉ của số vô tỉ bởi các số hữu tỉ thông qua việc mô tả khoảng cách từ các điểm nguyên (q, p) đến một đường thẳng L có độ nghiêng là số vô tỉ α. Qua đó cho thấy số hữu tỉ p/q là xấp xỉ tốt nhất của α khi mà điểm nguyên (q, p) là điểm gần nhất đối với đường thẳng L khi xét trong một miền giới hạn nào đó.