Trong mặt phẳng định hướngEta gọi góc định hướng giữa hai tiaOx, Oylấy theo thứ tự đó là góc mà tiaOxphải quay theo chiều xác định đến trùng với vị trí củaOy.
Hình 1.6.
Hình 1.7.
Góc định hướng đó được ký hiệu là (Ox, Oy) trong đó Ox gọi là cạnh đầu, Oy gọi là cạnh cuối của góc. Số đo của góc định hướng là dương hay âm tùy theo cạnh đầu quay xung quanh điểmOđến trùng với cạnh cuối theo chiều dương hay chiều âm của mặt phẳng (đã định hướng). Ví dụ(Ox, Oy) = 45◦,(Oy, Ox)) = −45◦.
Chú ý rằng sau khi quay tiaOxcho trùng với tiaOy ta có thể quay thêm một, hai hay một số vòng nữa đến trùng với Oy. Tất cả các giá trị của các góc nói trên đều gọi là các giá trị của góc định hướng suy rộng. Như vậy góc định hướng suy rộng (Ox, Oy)có vô số giá trị sai khác bội của hay bội của (radian), ký hiệu như sau:
(Ox, Oy) =α+k.360◦,
hoặc nếu đo bằng radian (Ox, Oy) = α +k.2π với k là số nguyên. Ta còn dùng ký hiệu(Ox, Oy) =α (mod 2π).Khi chú ý đến bộikta viết(Ox, Oy)k.
Ta có định lí sau mà phép chứng minh dựa theo [3]:
Định lí 1.2. Với ba tia Ox, Oy,Oz và ba số k, l, m ∈ Zta có hệ thức Chales cho góc lượng giác giữa hai tia:
(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π).
Chứng minh. Bỏ qua các trường hợp đơn giản : các tiaOx,Oy trùng nhau hoặcOx, Oy đối nhau.
Không mất tính tổng quát giả sử(Ox, Oy) có hướng dương. Có 4 trường hợp cần xem xét:
Trường hợp 1.TiaOz nằm trong góc∠xOy.
Hình 1.8.
Theo hệ thức Chales dạng mịn (k = 0) cho góc giữa hai tia ta có
(Ox, Oy)0 =∠xOy =∠xOy+∠yOz = (Ox, Oy)0+ (Oy, Oz)0. Do đó
(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π).
Trường hợp 2.TiaOz nằm trong góc∠yOx′. Có hai khả năng xảy ra:
2.a. Tia Oz không trùng với tia Ox′. Theo Hệ thức Chales cho góc giữa hai tia, ta có
(Ox, Oy)0 = ∠xOy =∠xOy+∠yOz = (Ox, Oy)0+ (Oy, Oz)0. Do đó
(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π).
Hình 1.9.
Hình 1.10.
2.b. TiaOztrùng với tiaOx′. Có 2 tình huống xảy ra:
– Khi(Ox, Oz)0 = πtheo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia ta có:
(Ox, Oy)0 =∠xOy =π−∠zOy = (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0 – Khi(Ox, Oz)0 = −πtheo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia ta có:
(Ox, Oy)0 =∠xOy =π−∠zOy = 2π−π−∠zOy
= 2π+ (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0. Do đó(Ox, Oy)=(Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π).
Trường hợp 3.TiaOz nằm trong góc∠x′Oy′. Có hai khả năng xảy ra
3.a. TiaOzkhông trùng với tiaOy′. Theo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia, ta có:
(Ox, Oy)0 =∠xOy = 2π−∠xOz−∠zOy = 2π+ (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0. Do đó(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π).
3.b. TiaOztrùng với tiaOy′. Có hai tình huống xảy ra:
Hình 1.11.
Hình 1.12.
– Khi(Oz, Oy)0 = πtheo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:
(Ox, Oy)0 =∠xOy =π−∠xOz = (Oz, Oy)0+ (Ox, Oz)0. Do đó(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π).
– Khi(Oz, Oy)0 = −πtheo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:
(Ox, Oy)0 = π−∠xOz
= 2π−π−∠xOz = 2π+ (Oz, Oy)0+ (Ox, Oz)0. Do đó(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π)
Trường hợp 4.TiaOz nằm trong gócy′Ox.
Theo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:
(Ox, Oy)0 =∠(xOy) =−∠(xOz) +∠(zOy) = (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0. Do đó (Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π). Định lí được chứng minh.
Hình 1.13.
Hệ quả 1.1. (Ox, Oy)k = (Oz, Oy)m −(Oz, Ox)l (mod 2π).
Đó là vì(Ox, Oz)l =−(Oz, Ox)l.
Chú ý. Khi không quan tâm tới chu kì của góc định hướng giữa hai tia định lí được viết đơn giản như sau(Ox, Oy) = (Ox, Oz) + (Oz, Oy) (mod 2π).
Hệ quả 1.2. (Ox, Oy) = (Oz, Oy)−(Oz, Ox) (mod 2π).
Hệ quả 1.3. Với ba vector khác không−→a , −→
b , −→c và ba số nguyênk,l,mta có (−→a ,−→
b )k = (−→a ,−→c )l + (−→c ,−→
b )m (mod 2π) (Hệ thức Salơ cho góc lượng giác giữa hai vector) và cũng suy ra
(−→a ,−→
b )k = (−→c ,−→
b )m −(−→c ,−→a)l (mod 2π).
Khi không quan tâm tới chu kì của góc lượng giác giữa hai vector, hệ quả được viết đơn giản như sau(−→a ,−→
b ) = (−→a ,−→c ) + (−→c ,−→
b) (mod 2π)và (−→a ,−→
b ) = (−→c ,−→
b)−(−→c ,−→a) (mod 2π).