2.3.1 Khả năng của một mạng
Cho một mạngG= (A,U,d(u))và một hệ yêu cầu{pi}, trị số của một luồng tương thích trong G được gọi làkhả năng của mạng đối với hệ yêu cầu đã cho.
Trong thực tế, nhiều khi nảy ra vấn đề sau đây: có thể làm tăng khả năng của mạng bằng cách thêm một cung mới, hay bằng cách tăng khả năng thông qua d(u) của một cung nào đó được không?
Để trả lời câu hỏi đó, ta cần đưa vào một số khái niệm. ChoX={x(u)}là một luồng tương thích lớn nhất. Ta nói một đỉnh i của G là thừa nếu nó là một trạm phát chưa thỏa mãn hay nếu có một dây chuyền chưa bão hòa đi từ một trạm phát chưa thỏa mãn đến nó; thiếu, nếu nó là một trạm thu chưa thỏa mãn hay nếu có một dây chuyền chưa bão hòa đi từ nó đến một trạm thu chưa thỏa mãn; đủ trong mọi trường hợp khác. Do đặc trưng của luồng tương thích lớn nhất (Định lý 2.1.3), ta thấy ngay rằng tính thừa, thiếu hay đủ của mỗi đỉnh là hoàn toàn xác định. Hơn
nữa có thể chứng minh rằng tính thừa, thiếu, đủ không phụ thuộc luồng tương thích lớn nhất, mà là hoàn toàn xác định khi cho biết mạngG= (A,U,d(u))và các yêu cầu pi. Để cho gọn, ta qui ước nói rằng một đỉnh thừa là “mạnh” hơn đỉnh thiếu hay đủ, đỉnh đủ là “mạnh” hơn đỉnh thiếu.
Bổ đề 2.3.1.
(1) Mọi trạm thu thừa hay đủ, mọi trạm phát thiếu hay đủ, đều được thỏa mãn.
(2) Nếuulà một cung nối một đỉnh bất kỳ với một đỉnh mạnh hơn thìx(u) =0. Nếuulà một cung nối một đỉnh bất kỳ với một đỉnh yếu hơn thìx(u) =d(u).
Chứng minh. Kết luận (1) hoàn toàn rõ ràng. Để chứng minh điểm (2), ta xét một cungu= (i,j)với chẳng hạni thừa hay đủ, j thiếu. Theo định nghĩa, có một dây chuyền chưa bóo hũa à đi từ j tới một trạm thu chưa thỏa mónk(à cú thể thu lại một đỉnh). Nễux(u)<d(u)thỡ cungusẽ tạo nờn với à một dõy chuyền chưa bóo hòa từitớik, vàisẽ là đỉnh thiếu, trái với giả thiết. Vậy phải cóx(u) =d(u).
Định lý sau đây trả lời câu hỏi đã nêu ở trên.
Định lí 2.3.2. Giả sử ta thayd(u)của một cungu= (i, j)bằngd′(u)>d(u).
(1) Nếui thừa, j thiếu thì khả năng của mạng tăng lên;
(2) Nếui đủ, j thiếu thì khả năng của mạng không đổi, nhưng trong mạng mới đỉnhitrở thành thiếu, và mọi đỉnh thiếu vẫn là thiếu, đỉnh thừa vẫn là thừa.
Chứng minh. (1) Nếu i thừa, j thiếu thì theo định nghĩa có một dây chuyền chưa bão hòa từ một trạm phát chưa thỏa mãn tớii, và một dây chuyền chưa bão hòa j tới một trạm thu chưa thỏa mãn. Khi ta thayd(u) =d′(u)thìx(u)<d′(u)và do đó usẽ tạo nên với hai dây chuyền kia một dây chuyền chưa bão hòa từ một trạm phát chưa thỏa mãn tới một trạm thu chưa thỏa mãn. Như vậy, X không còn là luồng tương thích lớn nhất nữa, tức là khả năng của mạng tăng lên.
trạm thu chưa thỏa mãn, và khi ta thay d(u)bằng d′(u)thì dây chuyền đó sẽ tạo nên vớiumột dây chuyền chưa bão hòa từi tới một trạm thu chưa thỏa mãn, cho nênisẽ trở thành thiếu và định lý được chứng minh xong.
Qui tắc thực hành. Trên thực tế, muốn xác định các đỉnh thừa, thiếu, đủ có thể tiến hành như sau: đánh dấu (+) tất cả các trạm phát chưa thỏa mãn, đánh dấu (−)tất cả các trạm thu chưa thỏa mãn. Khi một đỉnh i đã được đánh dấu(+) thì đánh dấu(+)cho mọi đỉnh j sao cho: (i,j)∈U,x(i,j)<d(i, j), hoặc(j,i)∈U, x(j,i)>0. Khi một đỉnh i đã được đánh dấu(−)thì đánh dấu (−)cho mọi đỉnh j sao cho:(j,i)∈U,x(j,i)<d(j,i), hoặc (i,j)∈U,x(i, j)>0. Cho đến bao giờ không thể tiếp tục được nữa thì các đỉnh đã đánh dấu(+)là đỉnh thừa, dấu(−)là đỉnh thiếu, các đỉnh khác là đỉnh đủ.
2.3.2 Thiết diện nhỏ nhất
Cho một tập hợpS⊂Ađể cho gọn ta sẽ ký hiệu:
US−={u= (i, j):i∈/S, j∈S}, US+={u= (i, j):i∈S, j∈/S},
p−(S) = ∑
i∈S,pi<0
pi, p+(S) = ∑
i∈S,pi≥0
pi,
d(US−) = ∑
u∈US−
d(u).
Nếu p−(S)≥ p+(S)thì ta nóiSlà mộtkhu vực thừa; trái lại, nếu p−(S)< p+(S) thì ta nóiSlà mộtkhu vực thiếu.
Ta hãy xét một sự phân hoạch tập hợp đỉnh của mạngG thành hai bộ phận rời nhauS1,S2sao choS1là một khu vực thừa,S2là một khu vực thiếu. Tập hợp cung có gốc trongS1, đầu kia trongS2 (US+
1 hayUS−
2) gọi làthiết diện (S1,S2)của mạng G, và số
d(US−
1) +p−(S1) +p+(S2)
gọi là khả năng của thiết diện. Một thiết diện có khả năng nhỏ nhất gọi là thiết diện nhỏ nhất.
Định lí 2.3.3. Trị số của luồng tương thích lớn nhất bằng khả năng của thiết diện nhỏ nhất.
Chứng minh. Trước hết, xét một thiết diện bất kỳ(S1,S2)và một luồng tương thích bất kỳX ={x(u)}. Ta cóσ(X) =σ1+σ2 với
σ1= ∑
i∈S1,αi>0
αi(X), σ2 = ∑
i∈S2,αi>0
αi(X).
Ta thấyσ2là tổng số hàng nhận ở các trạm thu trongS2 nhỏ hơn hoặc bằng tổng số hàng có thể phát đi từ các trạm phát trongS2 cộng với tổng số hàng đưa từ ngoài S2 vào, bằng với đại lượng p−(S2) +d(US−), và σ1 ≤ p+(S1), cho nên trị số của một luồng tương thích bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn khả năng của một thiết diện.
Mặt khác, nếuX là một luồng tương thích lớn nhất,S1là tập hợp các đỉnh thừa và đủ,S2 là tập hợp các đỉnh thiếu trong luồng đó, thì theo Bổ đề 2.3.1:
1) Các trạm thu trong S1, và các trạm phát trong S2 đều được thỏa mãn, tức là αi(X) = pivới mọi đỉnh ấy, cho nên σ1 =p+(S1)và
− ∑
i∈S2,αi<0
αi= p−(S2).
2) Các cungu∈US−
2 đều cóx(u) =d(u), các cungu∈US+
2 đều cóx(u) =0, tức là chỉ có hàng đưa vàoS2(với số lượng bằngd(US−
2)) mà không có hàng đưa ra khỏi S2, cho nên
σ2= ∑
i∈S2,αi<0
αi+d(US−2) = p−(S2) +d(US−2).
Trường hợp riêng. Trong trường hợp bài toán luồng lớn nhất trong một mạng Ford-Fulkerson thì rõ ràng là mọi thiết diện(S1,S2)đều có1∈S1,n∈S2,p−(S1) = p+(S2) =0, nên khả năng của thiết diện thu lại còn d(US−2), tức là bằng tổng số hàng hóa có thể đưa từ ngoài vàoS2. Định lý 2.3.3 trong trường hợp cụ thể này đã được Ford và Fulkerson phát biểu và chứng minh từ năm 1956.