9. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH (SIMPLEX METHOD)
9.6. Bảng đơn hình thứ hai (The second simplex tableau)
Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành theo 5 bước liệt kê ở trên để di chuyển nghiệm ban đầu đến nghiệm cải thiện hơn của bài tốn cơng ty Phương Nam.
Mục tiêu của chúng ta là xác định biến mới vào cột nghiệm (cột biến cơ bản) để tăng lợi nhuận tính tốn của bảng đơn hình ban đầu chỉ là 0 USD.
9.6.1. Bước 1. Xác định biến vào (entering variable)
Để xác định biến nào sẽ là biến vào (entering variable) trong cột nghiệm kế tiếp (ở bài tốn này là biến x1 hoặc biến x2 vì chúng là 2
biến khơng cơ bản duy nhất cho đến thời điểm này), chúng ta sẽ chọn biến tương ứng cĩ cĩ giá trị ở hàng (Cj - Zj) của bảng đơn hình ban đầu (bảng 1) là số dương lớn nhất.
Biến x1 (số lượng bàn) cĩ giá trị (Cj - Zj) là 70 USD, nghĩa là mỗi đơn vị của biến x1 thêm vào cột nghiệm sẽ đĩng gĩp một lợi nhuận là 70 USD.
Biến x2 (số lượng ghế) cĩ giá trị (Cj - Zj) là 50 USD, nghĩa là mỗi đơn vị của biến x2 thêm vào cột nghiệm sẽ đĩng gĩp một lợi nhuận là 50 USD.
Cịn 2 biến cịn lại là s1 và s2 cĩ giá trị ở hàng (Cj - Zj) là 0 nên khơng thể tạo ra thêm lợi nhuận.
Vì vậy, chúng ta chọn biến vào cột nghiệm là biến x1, và cột tương ứng chứa biến này là cột quay (xem bảng 4.6).
Bảng 4.6. Cột quay xác định từ bảng đơn hình ban đầu Cj (USD) 70 50 0 0 Nghiệm x1 x2 s1 s2 RHS 0 s1 2 1 1 0 100 0 s2 4 3 0 1 240 Zj (USD) 0 0 0 0 0 Cj - Zj (USD) 70 50 0 0 0
9.6.2. Bước 2. Xác định biến ra (leaving variable)
Bởi vì x1 là biến vào, chúng ta cần xác định biến ra để thay thế nĩ. Để xác định biến ra, chúng ta chia mỗi số trong cột vế phải tương ứng với mỗi số trong cột quay đã xác định ở bước 1 (cột chứa biến x1):
+ Đối với hàng chứa s1:
100
50 2
(giờ sơn sẵn có)
(cái bàn)
(giờ sơn đối với mỗi cái bàn)= .
+ Đối với hàng chứa s2:
240
60 (giờ đóng mộc sẵn có)
(cái bàn)
4 (giờ đóng mộc đối với mỗi cái bàn)= .
Chúng ta thấy số nhỏ nhất trong 2 tỷ số là 50, diễn tả số lượng bàn tối đa cĩ thể sản xuất ra mà khơng vi phạm bất cứ ràng buộc nào của bài tốn (tương ứng với điểm gĩc D của hình 4.21 sau đây). Cịn tỷ số 60 tương ứng với điểm E trên đồ thị.
Hình 4.21. Đồ thị của vấn đề cơng ty sản xuất nội thất Phương Nam
Vì vậy, chúng ta chọn tỷ số khơng âm nhỏ nhất là để nghiệm
tiếp theo được khả thi. Khi x1 = 50 thì biến thiếu s1 = 0, nghĩa là s1 sẽ là biến ra trong giải thuật của phương pháp đơn hình. Vì vậy biến cơ bản mới là x1 và s2. Hàng chứa tỷ số khơng âm nhỏ nhất (hàng s1) chính là hàng quay. Cịn số 2 chính là số quay (xem bảng 4.7).
Bảng 4.7. Cột quay, hàng quay và số quay xác định từ bảng đơn hình ban đầu Cj (USD) 70 50 0 0 Nghiệm x1 x2 s1 s2 RHS 0 s1 2 1 1 0 100 0 s2 4 3 0 1 240 E (60,0)
Hàng quay (Pivot Row) Số quay (Pivot Number)
Zj (USD) 0 0 0 0 0
Cj - Zj
(USD)
70 50 0 0 0
9.6.3. Bước 3. Tính tốn các giá trị mới của hàng quay quay
Ở các bước trên, chúng ta đã xác định được biến vào là x1 và biến ra là s1. Ở bước 3 này, chúng ta sẽ tính tốn các giá trị mới của hàng quay (hàng x1) bằng cách chia các số của hàng quay cho số quay (2). Các giá trị mới của hàng quay được thể hiện trong bảng sau đây:
Bảng 4.7a. Các giá trị mới của hàng quay
Nghiệm x1 x2 s1 s2 RHS
x1 2/2 =1 1/2 = 1/2 1/2 = 1/2 0/2 =0 100/2
=50 Khi đĩ, x1 là biến vào cột nghiệm nên cĩ 50 cái bàn được sản xuất. Giá trị Cj là 70 USD của một đơn vị bàn cho chúng ta thấy lợi nhuận của cơng ty Phương Nam lớn hơn 0 (kết quả tính của bảng đơn hình ban đầu).
Bảng 4.7b. Bảng đơn hình trung gian 1
Cj (USD) 70 50 0 0 Nghiệm x1 x2 s1 s2 RHS 70 x1 1 1/2 1/2 0 50 0 s2 4 3 0 1 240 Zj (USD) 0 0 0 0 0 Cj - Zj (USD) 70 50 0 0 0
9.6.4. Bước 4. Tính tốn các giá trị mới của các hàng cịn lại trong bảng đơn hình. cịn lại trong bảng đơn hình.
Trong bước 4 này chúng ta sẽ tính tốn các giá trị mới của các hàng cịn lại trong bảng đơn hình. Ở bài tốn của cơng ty Phương Nam, đĩ chính là hàng s2. Chúng phải dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa các hệ số cịn lại trong cột x1 thành 0 theo cơng thức:
(Số mới trong hàng s2) = (Số cũ trong hàng s2) - [(Số nằm dưới số quay) * (Số mới tương ứng trong hàng quay x1)] 0 = 4 - 4 * 1 1 = 3 - 4 * (1/2) -2 = 0 - 4 * (1/2) 1 = 1 - 4 * 0 40 = 240 - 4 * 50
Như vậy, hàng s2 mới sẽ được thể hiện trong bảng đơn hình thứ 2 như sau:
Nghiệm x1 x2 s1 s2 RHS
0 x1 1 1/2 1/2 0 50
0 s2 0 1 -2 1 40
Bảng 4.7c. Bảng đơn hình trung gian 2
Cj (USD) 70 50 0 0 Nghiệm x1 x2 s1 s2 RHS 70 x1 1 1/2 1/2 0 50 0 s2 0 1 -2 1 40 Zj (USD) 0 0 0 0 0 Cj - Zj (USD) 70 50 0 0 0
Rõ ràng, biến x1 và s2 trong cột nghiệm là các biến cơ bản bởi vì cột
của biến s1 là chứa vectơ 1 0
, cịn cột của biến x2 chứa vectơ 0 1 . Điều này cĩ được là do trong bước 3, chúng ta đã tính tốn giá trị mới của hàng quay bằng cách chia hàng quay cho số quay. Nĩ sẽ làm cột x1 hàng trên chứa số 1. Cịn trong hàng mới 2, chúng ta nhân hàng 1 cho 4 số khơng đổi (số 4) và trừ đi cho hàng 2. Điều này làm cho hàng mới s2 cĩ số 0 trong cột x1.