Trong có điểm yếu. Nếu là hai điểm yếu trong thì không so sánh được theo tiền thứ tự Rudin-Kiesler.
4.2.2. Định nghĩa
Cho là không gian tôpô và . Ta nói rằng là compact mạnh nếu mỗi dãy trong , có dãy tập mở sao cho
D⊆* ⊆ X ⊆β X D ω
− − q∈* D⊆*\SRK( )q
* 22ω ,P− p q, P−
* p q,
X D⊆* X D−
( )xn n∈ X ( )Un n∈
∀ ∈n và với mỗi thì là giả compact và
( ,( )n n∈ )
L p U là compact .
Định lí sau đây cho chúng ta thấy với một không gian là: compact địa phương, D−compact mạnh nhưng không kéo theo phải là giả
bị chặn. Tinh thần của định lí này cho thấy thêm một số tính chất của không gian giả bị chặn.
4.2.3. Định lí
Cho là một điểm yếu. Cho tập tất cả các siêu lọc trên nhưng không so sánh theo với . Kí hiệu là tập . Khi đó, và thỏa những tính chất sau :
(1) X là compact địa phương.
(2) X là D−compact mạnh.
(3) X là giả− − Q bị chặn và Q là trù mật trong *.
(4) X không là q−compact.
(5) X không là giả− − ω bị chặn.
Ngoài ra ta có thể chọn sao cho
Chứng minh : Rõ ràng là không gian compact bởi vì . Do là mở trong , nên compact địa phương . Rõ ràng là . Do bổ đề 3.1.1, có , điểm yếu trong nhưng không so sánh theo với , như thế, ta giả sử . Hơn nữa cho mỗi
n n
x ∈U p D ∈ X p−
X
X −
ω−
−ω −
q∈* P− D
RK − q Q * \SRK( )q
{ }
\
X =β q Q
q Q = D =22ω
X q − q∉X
X β X D ⊆ Q
22ω P− *
RK − q Q = D =22ω
, ; như thế trù mật trong . Do hệ quả 3.2.8, là giả bị chặn và nó là không gian giả bị chặn.
Cuối cùng, ta chỉ ra rằng là compact mạnh. Cho dãy điểm trong . Xét tập . Cho là hai tập đóng rời nhau của sao cho và . Cho mỗi , lấy nếu và đặt là lân cận chính qui đóng của
nếu .
Cho , nếu , thì (do mệnh đề 2.1.3) ta
được: .
Do là tập compact khác rỗng, cũng là compact. Mặt khác, nếu thì ta được:(do mệnh đề 2.1.3 và chú ý 2.1.8): β( ) ( ,( ) ∈ )={ − }⊆ ( )⊆
n n C n RK
L p U p lim x P p X .
Do đó, là tập compact con khác rỗng của .
Đặc biệt, nếu là điểm yếu và là không so sánh được theo với , thì không gian là compact địa phương p−compact mạnh, không là q−compact và không là giả
bị chặn.
p Q ∈ PRK( )q ⊆ X Q * X
−Q − −ω −
X D −
( )xn n∈ X A={xn:n∈}∩* U V,
β ClX( )A ⊆U q V ∈ n∈
n { }n
U = x xn∈ Un ⊆U xn xn∈*
p D ∈ B={n∈:xn∈*}∈p
( ,( ) ) ( ,( ) ) ( ,( ) )
X n n X n n B U n n B
L p U ∈ =L p U ∈ =L p U ∈ U LU(p U,( )n n B∈ )
{ : n *}
C = n∈ x ∈ ∈p
( ,( ) )
X n n
L p U
∈ X
q∈* P− p∈*
≤ −RK q X =β\{ }q
ω
− −
KẾT LUẬN
Siêu lọc và các tính chất liên quan đến tính compact là một đề tài mang tính thời sự. Trong luận văn này chúng tôi giới thiệu và phân tích những khái niệm về không gian compact mạnh, p−giả−compact mạnh, giả−ω −bị chặn, không gian p−giả− −ω bị chặn, không gian hầu giả− −ω bị chặn, không gian D−compact mạnh, không gian giả − −D bị chặn. Đồng thời giải quyết được nhiều bài toán tôpô tổng quát. Chúng tôi tập trung chứng minh các định lí quan trọng như:
+ Mỗi không gian compact mạnh là compact.
+ Trong lớp không gian compact địa phương không gian compact mạnh và không gian compact là tương đương, không gian p−giả− −ω bị chặn và không gian giả compact cũng tương đương.
+ Cho hai siêu lọc p q, ∈*, p≤RK q nếu và chỉ nếu mỗi không gian X là q−giả−compact mạnh thì X là p−giả−compact mạnh (⊆ X ⊆β).
Các kết quả đạt được trong luận này chúng tôi xin trình bày cụ thể trong các chương 2,3,4 như sau:
Chương 2 : Nghiên cứu không gian p−compact mạnh bao gồm các nghiên cứu sau:
+) Các tập con đặc biệt, tính chất bất biến dưới của ánh xạ, tính trù mật, tính di truyền, tích, ảnh, nghịch ảnh.
+) Và chứng minh hai định lí quan trọng trong chương này là: không gian p− compact mạnh là không gian p−compact, trong lớp không gian compact địa phương không gian p−compact mạnh và không gian p−compact là tương đương.
Chương 3:
p−
p− p−
p− p−
p−
+) Xây dựng hai không gian p −giả compact mạnh và không gian giả− −bị chặn và chứng minh được mối quan hệ mật thiết của hai không gian này.
+) Tìm mối quan hệ giữa không gian p−compact là giả compact mạnh.
+) Nghiên cứu tính di truyền, trù mật, tích, ảnh và ánh xạ của hai không gianp− giả compact mạnh và không gian giả− −bị chặn.
+) Đặc biệt là ta tìm thấy mối quan hệ giữa tiền thứ tự Rudin-Keisler và không gian p−giả compact mạnh và mở rộng nghiên cứu hai không gian giả
bị chặn và không gian hầu giả bị chặn.
Chương 4: Trên nền không gian giả−ω −bị chặn ta có thể phát triển khái niệm không gian giả bị chặn với D là một tập khác rỗng của . Và tương tự trên nền không gian compact mạnh ta có thể phát triển khái niệm không gian compact mạnh. Trong chương này ta nghiên cứu hai không gian giả bị chặn và compact mạnh và đưa ra một vài tính chất đặc trưng của hai không gian này và tìm thấy mối quan hệ của chúng.
Qua luận văn này giúp tôi hiểu được ý nghĩa sự mở rộng tính compact, nắm được kĩ thuật xây dựng một số không gian, phương pháp nghiên cứu các thuộc tính của không gian đang xây dựng trong mối liên hệ đến các không gian có trước, phát hiện một số tính chất cơ bản của các không gian liên quan. Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi nhận thấy một số vấn đề chưa được giải quyết trọn vẹn và một số vấn đề có thể mở rộng tiếp tục. Chúng tôi xin nêu để quí đọc giả và các nhà toán học cùng nghiên cứu:
Vấn đề 1. Có thể tìm một không gian p−compact mạnh , một không gian không p−compact mạnh và một hàm liên tục
Vấn đề 2. Có hay không với siêu lọc tự do p trên mỗi không gian tôpô là p− giả−compact mạnh nếu và chỉ nếu nó là p−giả compact?
ω
p−
ω
p− − −ω ω
− −
− −D *
p−
D− − −D
D−
X Y
: ?
f X → Y
X
Vấn đề 3. Có hay không mỗi siêu lọc tự dop trên , mỗi không gian tôpô là p−compact nếu và chỉ nếu nó là p−giả compact mạnh?
Mặc dù tôi rất cố gắng trình bày luận văn một cách khoa học, thỏa mãn các yêu cầu đặt ra. Nhưng do thời gian hạn chế và trình độ nghiên cứu có hạn nên chắc chắn rằng trong luận văn này còn một số vấn đề thiếu sót. Kính mong Quí Thầy Cô phản biện, các đọc giả quan tâm đến đề tài xem xét, phản biện và góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
X