Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a đường cao SO. Mặt bên tạo với đáy một góc 60 .° Mặt phẳng ( )α chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 30° cắt các cạnh SC, SD tại M, N.
1. Tính góc giữa AN với (ABCD) và BD.
2. Tính khoảng cách giữa AN và BD.
3. Tính thể tích hình khối ABCDMN.
Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a 2 tâm O. Trên tia Oz⊥(ABCD) lấy
điểm S, mặt phẳng (SAD tạo với đáy góc .) α
1. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD.
2. Mặt phẳng ( )β qua AC và vuông góc (SAD chia hình chóp thành hai phần. )
Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD, AB a, AD= =b. Trên tia Az vuông góc
(ABCD lấy điểm S, SA) =h. Mặt phẳng ( )α qua A và vuông góc SC cắt SB, SC, SD tại B'C' D'.
1. Chứng minh tứ giác AB'C' D' có hai góc đối diện vuông.
2. Chứng minh (AB'C' D') luôn đi qua đường thẳng cố định khi h thay đổi.
3. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, B', C', D' luôn thuộc một mặt cầu cố định khi h thay đổi.
4. Cho a=b, SC, SAB ( )= ϕ =30 .° Tính tỉ số thể tích giữa hai hình S.AB'C' D' và S.ABCD.
+
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và
SA=a 2. Mặt phẳng ( )α qua A và ( )α ⊥SC;( )α cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1. Chứng minh rằng AH⊥SB, AK⊥SD.
2. Chứng minh BD ( )α và BD HK.
3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC.∆ 4. Tính VS.AHMK.
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB a, AD= =2a, đường cao SA=2a. Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho MD=x0(0≤x0≤a).
1. Tìm vị trí M để S∆SBM lớn nhất, nhỏ nhất.
2. Tìm vị trí M để (SBM) chia hình chóp thành hai phần với CSBM 1 S.ABCD
V V .
=3
3. Cho 0 a
x .
=3 Gọi K là giao điểm BM và AD. Tính góc giữa phẳng (ASK và ) (SKB )
Bài tập 9: Cho hình chóp S, ABCD, đáy hình chữ nhật với AB a, AD= =b, SA=2a vuông góc với đáy. Trên cạnh SA lấy điểm M, AM=m 0( ≤m≤2a .)
1. Mặt phẳng (MBC cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì. Tính diện tích thiết )
diện ấy.
2. Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện lớn nhất.
3. Tìm vị trí điểm M để (MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng )
nhau.
Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SAB∆ đều và (ABC) (⊥ ABCD .) H là trung điểm AD.
1. Tính d D, SBC , d HC, SD . ( ) ( )
2. Mặt phẳng ( )α qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( )α cắt các cạnh SB, SD và tính B,SC, D .
Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Trên cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N. Đặt
( )
CM=x, CN=y 0 x, y a .< <
1. Tìm hệ thức giữa x, y để M, AS, N = 45 .° 2. Tìm hệ thức giữa x, y để (SAM) (⊥ SMN .)
+
Bài tập 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a 2 , đường cao SH=2a. M là điểm bất kì thuộc đoạn AH. Mặt phẳng ( )α qua M song song với AD và SH cắt AB, DC, SD, SA lần lượt tại I, J, K, L.
1. Xác định vị trí của M để thiết diện IJKL là tứ giác ngoại tiếp được.
2. Xác định vị trí của M để thể thích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhất.
3. Mặt phẳng ( )α cắt DB tại N. Gọi E=MK∩NL. P, Q là trung điểm của AD, BC.
Tìm M để PEQ 90 .= °
Bài tập 17: Trong mặt phẳng ( )α cho hình vuông ABCD. Trên tia Az⊥ α( ) lấy
điểm S. Đường thẳng ( ) (∆ ⊥1 SBC) tại S cắt ( )α tại M,( ) (∆2 ⊥ SCD) tại S cắt ( )α
tại N. Gọi I là trung điểm MN.
1. Chứng minh A, B, M thẳng hàng. A, D, N thẳng hàng.
2. Khi S di động trên Az chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định.
3. Vẽ AH⊥SI tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực tâm SMN.∆
4. Cho OS=2, AB 1.= Tính VASMN.
Bài tập 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
( )
a, SA⊥ ABCD và SA=h. Vẽ AE⊥SB tại E, AF⊥SD tại F.
1. Chứng minh (AEF)⊥SC.
2. Gọi P là giao điểm SC và (AEF . Tính h theo a để ) VP.ABCD lớn nhất.
3. Với h tìm được ở câu 2 tính d BD, AEF , ( ) ϕ = S, BD,C .
Bài tập 19: Cho hình chữ nhật ABCD, AD=2a, AB a.= Trên tia Az⊥(ABCD) lấy
điểm S. Mặt phẳng ( )α qua CD cắt SA, SB tại K, L.
1. Cho SA=2a, AK=k 0( ≤ ≤k 2a).
- Tính SCDKL. Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ nhất.
- Chứng tỏ d KD, BC không đổi. ( )
- Tính k theo a để ( )α chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
2. Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Tìm quỹ tích giao điểm I của AN, BM khi S di động trên tia Az.
Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a, BD=2a, chúng cắt nhau tại O. Đường cao hình chóp là SO=h. Mặt phẳng ( )α qua A vuông góc với SC và cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'.
1. Xác định h để B'C' D'∆ đều.
2. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp theo a và h.
+
Bài tập 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a 2 , đường cao SO, cạnh bên bằng a 5.
1. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu ( )S nội tiếp
hình chóp.
2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP cắt )
SB, SD tại Q và R. Tính diện tích thiết diện.
3. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (MNP chia hình chóp ra thành hai phần có thể tích )
bằng nhau.
Bài tập 1:
( )