Câu 36. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10 câu, mỗi câu chỉ chọn 1 đáp án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ?
A. 41. B. 10001. C. 1048576. D. 1048577.
Lời giải. Mỗi phiếu có 4 phương án trả lời (hay nói cách khác mỗi phiếu có 4 cách chọn đáp án). Do đó có 410 kết quả khác nhau có thể xảy ra đối với các phiếu hợp lệ.
Vậy cần tối thiểu ( )C4110+ =1 1048577 phiếu hợp lệ để có hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu. Chọn D.
Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó. Người ta xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10. Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó.
A. 77220. B. 77221. C. 5080320. D. (10!)2C C42 168.
Lời giải. ● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề thứ nhất, sau đó sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có C C42. 168.10! cách.
● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có 10! cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C C42. 168.10!.10!=(10! . .)2C C42 168. Chọn D.
Câu 38. Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu. Đề thi được hình thành bằng cách chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương. Một học sinh chỉ học thuộc 25 câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã học thuộc là
A. 323 .
1827 B. 3553.
7917 C. 4346.
7917 D. 8075.
23751 Lời giải. Ta có ( )
( )
10 9 1 10
30 25 5 25
9 1 10 10 25 5 25 30
3553. 7917
n C C C C
P C
n A C C C
ỡù W = +
ùù ắ ắđ = =
ớù = +
ùùợ Chọn B.
9 câu thuộc – 1 câu không thuộc: có C C25 59 1 khả năng.
10 câu đã học thuộc hết: có C2510 khả năng.
Câu 39. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có môn thi bắt buộc là môn Toán. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Toán nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Toán trong kỳ thi là
A. 10( )40
5 5
0 0. 3
4 .
C B. 20 ( )20
5 5
0 0. 3
4 .
C C. 20 ( )30
5 5
0 0. 3
4 .
C D. 40 ( )10
5 5
0 0. 3
4 .
C
Lời giải. Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50- x là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x- 0,1. 50( - x)= 4Û x= 30. Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có 450 khả năng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W = 450. Gọi X là biến cố ''Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu''. Vì mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có C5030. 3( )20 khả năng thuận lợi cho biến cố X. Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C5030. 3( )20.
Vậy xác suất cần tính ( ) ( )
50 50
20 20
30 20
50 50 .
4 4
. 3 . 3
P C C
= = Chọn B.
Câu 40. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời.
Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là A. 108 .
40
C B. 10108 . 4
C C. 10810.32 4 .
C D. 109 .
262144
Lời giải. Ta có ( )
( ) 108 ( )2 109 1010
410 109
262144.
. 3 .3
n P
C
A C C
n ỡù W =
ùù ắ ắđ =
ớùùùợ = + +
Chọn B.
Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.
● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C108. 3( )2 khả năng thuận lợi.
● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C109.3 khả năng thuận lợi.
● 10 câu đúng: có C1010 khả năng thuận lợi.
Câu 41. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm là
A. 105. 3( )5 40 .
C B. 105 ( )5
10
. 3 . 4
C C. 105 ( )5 1010 10
. 3 .
4
C +C D. 8192210 . 4
Lời giải. Thí sinh A không dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ở cả hai môn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n( )W = 410.
Gọi X là biến cố ''Thí sinh A làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là chọn ngẫu nhiên'' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X.
Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.
● 5 câu đúng – 5 câu sai: có C105. 3( )5 khả năng thuận lợi.
● 6 câu đúng – 4 câu sai: có C106. 3( )4 khả năng thuận lợi.
● 7 câu đúng – 3 câu sai: có C107. 3( )3 khả năng thuận lợi.
● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C108. 3( )2 khả năng thuận lợi.
● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C109.3 khả năng thuận lợi.
● 10 câu đúng: có C1010 khả năng thuận lợi.
Suy ra n X( )=C105. 3( )5+C106. 3( )4+C107. 3( )3+C108. 3( )2+C109.3+C1010= 81922.
Vậy xác suất cần tính 8192210 . P= 4
Cách 2. Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là 1
4, trả lời sai là 3
4 . Ta có các trường hợp:
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 câu là
5 5
5 10
1 3
. ;
4 4
C ổ ử ổ ửỗỗỗố ứ ố ứữữữ ỗỗỗ ữữữ
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu là 106 1 6. 3 4;
4 4
C ổ ử ổ ửỗỗỗố ứ ố ứữữữ ỗỗỗ ữữữ
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 7 trên 10 câu là
7 3
7 10
1 3
. ;
4 4
C ổ ử ổ ửỗỗỗố ứ ố ứữữữ ỗỗỗ ữữữ
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 câu là
8 2
8 10
1 . 3 ;
4 4
C ổ ử ổ ửỗỗỗố ứ ố ứữữữ ỗỗỗ ữữữ
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu là
9 9 10
1 3
4 . ;4 C ổ ửữỗ ữỗ ữỗố ứ
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 10 trên 10 câu là 1010 1 10 C ổ ửữỗ ữỗ ữỗố ứ4 . Cộng các xác suất trên ta được xác suất cần tính.
Câu 42. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệm Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất bạn An được 9,4 điểm là
A. 55
1536. B. 455
3456. C. 379
13824. D. 499
13824. Lời giải. Ta chỉ quan tâm 8 câu còn lại. Trong 8 câu còn lại mình chia làm 2 loại:
Loại 1: gồm 3 câu có 3 đáp án A, B, C
ắ ắđ xỏc suất chọn đỏp ỏn đỳng là 1,
3 xác suất chọn đáp án đúng là 2. 3
Loại 2: gồm 5 câu có 4 đáp án A, B, C, D
ắ ắđ xỏc suất chọn đỏp ỏn đỳng là 1,
4 xác suất chọn đáp án đúng là 3. 4
Để bạn An đạt được 9,4 điểm (tức cần đúng thêm 5 câu trong 8 câu còn lại) thì xảy ra một trong các khả năng sau
Đỳng 0 cõu loại 1 & Đỳng 5 cõu loại 3: ắ ắđ xỏc suất
3 5
5 5
2 1
. .
3 C 4
ổ ửữ ổ ửữ ỗ ữ´ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Đỳng 1 cõu loại 1 & Đỳng 4 cõu loại 3: ắ ắđ xỏc suất 31. .1 2 2 54. 1 4. .3
3 3 4 4
C ổ ửỗỗỗố ứữữữ´ C ổ ửỗỗỗố ứữữữ
Đỳng 2 cõu loại 1 & Đỳng 3 cõu loại 3: ắ ắđ xỏc suất
2 3 2
2 3
3 5
1 2 1 3
. . . . .
3 3 4 4
C ổ ửỗỗỗố ứữữữ ´ C ổ ử ổ ửỗỗỗố ứ ố ứữữữ ỗỗỗ ữữữ
Đỳng 3 cõu loại 1 & Đỳng 2 cõu loại 3: ắ ắđ xỏc suất 33. 1 3 52. 1 2. 3 3.
3 4 4
C ổ ửỗỗỗố ứữữữ´ C ổ ử ổ ửỗỗỗố ứ ố ứữữữ ỗỗỗ ữữữ Cộng các xác suất lại ta được xác suất cần tính 499 .
13824
P= Chọn D.